河北省正定中學高三下學期第一次考試(數(shù)學文)

1、河北正定中學高三年級下學期第一次考試 數(shù)學（文科）試題 一、選擇題： 1 已知集合 A = CcosO ,cos90 ?, B =x|x2 x = 0,則 B 為（） A.1 B . : -1,1C . : 1D . （O） 2. 某連隊身高符合建國 60周年國慶閱兵標準的士兵共有45人，其中18歲LI 19歲的士兵有15人，20歲 U 22歲的士兵有20人，23歲以上的士兵有10人，若該連隊有9個參加閱后的名額，如果按年齡分層 選派士兵，那么，該連隊年齡在23歲以上的士兵參加閱兵的人數(shù)為（） A. 5B. 4C. 3D. 2 3. 下列說法錯誤的是（） A. 命題“若x2 -3x 2 = 0

2、則x =1 ”的逆否命題為：“若x =1,則x2 -3x 2 = 0 ” . B. “ x =1 ”是“ x2 -3x 2 =0”的充分不必要條件. C. 若p且q為假命題，則p、q均為假命題. D. 命題p :存在x ：二R使得x2x 0.則p :任意x ：二R,均有x2 x T _ 0 . 4. 對于平面:-和共面的直線m, n，下列命題中真命題的是（） A.若m, n與所成的角相等，貝U m/n ； B .若m/，n/ ,則m/n C.若 m _ ： ,m _ n，貝U n/：D . 若 m 二，n/：,則 m/n 5. 已知sin_：sin :，那么下列命題成立的是 （） A. 若二、

3、：是第一象限角，則 cos cos ：. B. 若、：是第二象限角，則tan用 tan :. C. 若、：是第三象限角，則 cos、* cos ：. D .若：、 1是第四象限角，貝U tan tan 1 . 6. 已知等差數(shù)列an的前13項之和為 ，則tan（比 a? a*）等于（） 4 A. 3B. . 3C. 1D. 1 3 7. 若函數(shù)y =x3 -3ax a在（1,2）內(nèi)有極小值，則實數(shù) a的取值范圍是（） A.1 ： a : 2B.1 : a : 4C.2 ： a 4D.a4或a: 1 函數(shù) f (x) =x x + px + q(x R)為奇函數(shù)的充要條件是 q=0 ； 已知 a

4、, b, m均是正數(shù)，且 a b，貝U a一m 。 b + m b 三、解答題： 17 .(本題滿分10分) 1 1 已知向量 a = (,), b 二(2,cos 2x)，其中 x - sin x sin x (1)試判斷向量a與b能否平行，并說明理由? 0,2 . (2)求函數(shù)f(x)二a b的最小值. 18. (本題滿分12分) 為預防H.N,病毒暴發(fā)，某生物技術(shù)公司研制出一種新流感疫苗，為測試該疫苗的有效性(若疫苗有 效的概率小于90%則認為測試沒有通過)，公司選定2000個流感樣本分成三組，測試結(jié)果如下表： A組 B組 C組 疫苗有效 673 X y 疫苗無效 77 90 z 已知在

5、全體樣本中隨機抽取1個，抽到B組疫苗有效的概率是 0.33. (1 )求X的值； (2) 現(xiàn)用分層抽樣的方法在全體樣本中抽取360個測試結(jié)果，問應在 C組抽取多少個? (3) 已知y _ 465, z _ 25 ,求不能通過測試的概率. 19. (本題滿分12分) 在正三角形 ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足 AE:EB= CF:FA= CP:PB =1:2 (如圖1 )。將厶AEF沿EF折起到M1EF的位置，使二面角 A - EF- B成直二面角，連結(jié) AE AP (I)求證：AE丄平 A / BEP (n)求直線 ae與 E A BP所成角的大??； F (川)求二面

6、角 B- / / 的大小(用反三角函數(shù)表 ZZ A 20.(本題滿分12分) BP C 1 圖1 直線丨過點P(t,) t (如圖2) 圖2 1 (t 1)斜率為 2，與直線m ： y = kx(k - 0)交于點 A,與X軸交于點B,點A, B的橫坐標分別為Xa , Xb , 記 f (t) =Xa Xb . (I)求f (t)的解析式; (n)設(shè)數(shù)列an(n _1,N) 滿足a1 1,an f(fan_1)(2)，求數(shù)列an的通項公式; 3 (川)在(n)的條件下，當 1 k : 3時，證明不等式1 an. n k 21.(本題滿分12分) 3 已知函數(shù) f(x)二 ax3(a 2)x2

7、6x-3。 2 (1):當a .2時，求函數(shù)f(x)的極小值； ：試討論函數(shù) 目二f (x)零點的個數(shù)。 22. (本題滿分12分) 2n 已知動圓C過點A -2, 0，且與圓M : x-2 y = 64相內(nèi)切. 2 仏=1 12 BE =0，若存在，指出這樣的直線有多少條？ (1)求動圓C的圓心的軌跡方程; 2 x (2)設(shè)直線l : kx m (其中k, m Z)與(1)中所求軌跡交于不同兩點 B ,D，與雙曲線 交于不同兩點 E, F ,問是否存在直線l，使得向量DF BE 若不存在，請說明理由. 河北正定中學高三年級下學期第一次考試 數(shù)學(文)答案 DDCDD CBCCC CA 5血

8、14. 4 13. 2n 15.3 16. 17.解: (1)若 a 二：b, 則有 sin x cos2x = -2，這與 cos2x 200，即z33 事件A包含的基本事件有：(465, 35)、(466, 34)共2個 22 .P(A)故不能通過測試的概率為 1111 19.解法一：不妨設(shè)正三角形 ABC的邊長為3 在圖 1 中，取 BE中點 D,連結(jié) DF. AE: EB=CF FA=1: 2： AF=AD=2而/ A=60 ,ADF是正三角 形，又 AE=DE=1, EF丄AD在圖2中，AiE丄EF, BE丄EF, / AiEB為二面角 A-EF- B的平面角。 由題設(shè)條件知此二面角

9、為直二面角，AiE丄BE,又BEP|EF =E. AiE丄平面BEF,即AiE丄平面BEP 在圖2中，AiE不垂直 AB, AiE是平面 AiBP的垂線，又 AiE丄平面BEP, 設(shè)AE在平面AiBP內(nèi)的射影為 （9分） （12 分） （1） (2) AE丄BE.從而BP垂直于AiE在平面AiBP內(nèi)的射影(三垂線定理的逆定理) AQ,且Ai Q交BP于點Q,則/ EiAQ就是AE與平面 AiBP所成的角 ,且 BP丄 AiQ.在厶 EBP 中,BE=EP=2 而/ EBP=60,EBP是等邊三角形.又 AiE丄平面 BEP, AB=AP, Q為BP的中點，且EQ3 ,又AiE=1, 在 Rt

10、AiEQ中，tan N EAQ = EQ = 3, ./ EAQ=60, A,E 直線Ai E與平面Ai BP所成的角為600 （3）在圖 3 中，過 F 作 FMLAiP與 M,連結(jié) QM,QF,v CP=CF=1, 1 / C=600, FCP是正三角形， PF=1.有 PQ BP =1 2 PF=PQD, / AE丄平面 BEP, EQ 二 EF 二、3 A E=AQ, A FPA Ai QP 從而/ / Ai PQ, 由及MP為公共邊知 QMP, / QMP=/ FMP=90 且 從而/ FMQ為二面角 B- 的平面角 圖1 FMP APF= MF=MQ, AP- F AQQ MQ 二

11、 a,p 在 Rt AiQP 中,AiQ=AF=2,PQ=1,又人卩=亦./ MQ1 AP： 2MF MQ FCQ中,FC=1,QC=2, / C=6C,由余弦定理得 QF 二面角 IB A1P F 的大小為- -arccos7 8 1 20.解：(I) 直線l的方程為 (x t)，令 y = 0，得 xB = 2t 由y 由 1 y - y t f7(X t) ，得x 2t 4t2 因此, f (t)的解析式為: f(t) 當 當 k an 3 21.解: (1) n 一2時，an 二3時, 4an J kan1 a13 2, r x A kt 1 4t2 kt2 an Xb kt21 kt

12、21 -7(t J) kanj 4an J an J 4,即 an 4( 3) k =0 ,數(shù)列丄-1 是以0為首項的常數(shù)數(shù)列，則 an 二 1 an 1 數(shù)列丄 an -3 k1 是以-3為首項，2為公比的等比數(shù)列, 航綜合、得 a, k 4n3-k f (x) =3ax? -3(a 2)x 6 =3(ax-2)(x-1) (4,2) a 2 a (-,1) a 1 (1,畑) 廠(X) + 0 - 0 + f(x) 增 極大值 減 極小值 增 當a = 0時，顯然f (x)只有一個零點; 2 f (x) =3a(x )(x -1) a 2 當 a 0 時，f (x)在(-：,), a 2_

13、 (1,)遞減；在(一，1)遞增，f(1)0, f (二)0 aa 則f (x)有三個零點。 當 0 a ：2 時，f (x)在(-：，1)， 2)遞增；在(1,-)遞減，f0, f (?) 0 aa (；， 2 2 2 在厶 FMQ中, cos FMQ = MF MQ 一QF 則f (x)只有一個零點。 當a =2時，f(x)在R上是增函數(shù)，f (0) - 一3 ： 0,二f (x)只有一個零點。 一 2 2 2 當 a 2 時，f (x)在(_：, ), (1,：)遞減；在(,1)遞增，f (1)0, f ( )0 aaa 則f (x)只有一個零點。 綜上所述：當a_0時，f(x)只有一個

14、零點；當 a 0時，f (x)有三個零點12分 22解：(1)圓M : x-2 2 y2 =64,圓心M的坐標為 2, 0，半徑R = 8 . AM = 4 R ,點 A(2, 0 )在圓 M 內(nèi). ,且 CM = R r , 設(shè)動圓C的半徑為r，圓心為C ,依題意得r = CA 即 CM| +CA =8”AM . 圓心C的軌跡是中心在原點，以A, M兩點為焦點，長軸長為 8的橢圓,設(shè)其方程為 二 a2 -c2 =12 2 2 篤y -1 a b 0 ,則 a = 4, c = 2 . b2 a b 2 y .1. 12 2 所求動圓C的圓心的軌跡方程為 x 16 y = kx 十 m, x2 y2 消去y化簡整理得: + - = 1 16 12 3 4k2 x2 8kmx 4m2 -48 二 0 8km 設(shè) B(X1, yj , D(X2, y2)，貝V 為 x? - - 3 喬 1 = 8km2 -4 3 4k2 4m2 -480. y 二 kx m, 由 x2 y2 消去 y化簡整理得：3-k2 x2 -2kmx-m2 -12 = 0. .412 設(shè) E X3, y3 , F X4, y4，則 X3 X4 二旦務(wù)， 3 k (gm 2+4(3 k2 Km2+12 卜0. DF BE 二0 , (x4 -