高中數(shù)學(xué)必修四之知識講解_兩角和與差的正弦、余弦與正切公式_基礎(chǔ)

1、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式【學(xué)習(xí)目標】1能以兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.2掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并能靈活運用這些公式進行簡單的恒等變換.【要點梳理】要點一：兩角和的余弦函數(shù)兩角和的余弦公式：cos(a+b)=cosacosb-sinasinbc(a+b)要點詮釋：(1)公式中的a、b都是任意角；(2)和差角的余弦公式不能按分配律展開，即cos(ab)cosacosb；(3)公式使用時不僅要會正用，還要能夠逆用，在很多時候，逆用更能簡捷地處理問題.如：由cos50cos20+sin50sin20能迅速地想到cos50cos20

2、+sin50sin20=cos(50-20)=cos30=32；(4)第一章所學(xué)的部分誘導(dǎo)公式可通過本節(jié)公式驗證；(5)記憶：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反.要點二：兩角和與差的正弦函數(shù)兩角和正弦函數(shù)sin(a+b)=sinacosb+cosasinbs(a+b)在公式s(a+b)中用-b代替b，就得到：兩角差的正弦函數(shù)sin(a-b)=sinacosb-cosasinbs(a-b)要點詮釋：(1)公式中的a、b都是任意角；(2)與和差角的余弦公式一樣，公式對分配律不成立，即sin(ab)sinasinb；(3)和差公式是誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和差公式

3、的特例.如sin(2p-a)=sin2pcosa-cos2psina=0cosa-1sina=-sina當a或b中有一個角是p的整數(shù)倍時，通常使用誘導(dǎo)公式較為方便；2(4)使用公式時，不僅要會正用，還要能夠逆用公式，如化簡sin(a+b)cosb-cos(a+b)sinb時，不要將sin(a+b)和cos(a+b)展開，而應(yīng)采用整體思想，進行如下變形：sin(a+b)cosb-cos(a+b)sinb=sin(a+b)-b=sina這也體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的整體原則.(5)記憶時要與兩角和與差的余弦公式區(qū)別開來，兩角和與差的余弦公式的等號右端的兩部分為同名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相反

4、；兩角和與差的正弦公式的等號右端的兩部分為異名三角函數(shù)積，連接符號與等號左邊角的連接符號相同.要點三：兩角和與差的正切函數(shù)利用已有的和(差)角的正弦、余弦以及同角關(guān)系式推導(dǎo).tan(a+b)=sin(a+b)sinacosb+cosasinbtana+tanb=cos(a+b)cosacosb-sinasinb1-tanatanbsin(a-b)sinacosb-cosasinbtana-tanbtan(a-b)=cos(a-b)cosacosb+sinasinb1+tanatanbtan(a+b)=tana+tanbt1-tanatanb(a+b)tan(a-b)=要點詮釋：tana-tan

5、b1+tanatanbt(a-b)2+kp,b2+kp或a-b2+kp，其中kz；(1)公式成立的條件是：app2+kp,a+bpp(2)公式的變形：tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb)tana-tanb=tan(a-b)(1+tanatanb)(3)兩角和與差的正切公式不僅可以正用，也可以逆用、變形用，逆用和變形用都是化簡三角恒等式的重要手段，如tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb)就可以解決諸如tan25+tan20+tan25tan20的求值問題.所以在處理問題時要注意觀察式子的特點，巧妙運用公式或其變形，使變換過程簡單明了.(4)公式對分配

6、律不成立，即tan(ab)tanatanb.要點四：理解并運用和角公式、差角公式需注意的幾個問題1兩角和與差的正弦、余弦、正切公式之間的內(nèi)在聯(lián)系（1）掌握好表中公式的內(nèi)在聯(lián)系及其推導(dǎo)線索，能幫助學(xué)生理解和記憶公式，是學(xué)好本部分的關(guān)鍵（2）誘導(dǎo)公式是兩角和、差的三角函數(shù)公式的特殊情況a,b中若有為p的整數(shù)倍的角時，使用誘2導(dǎo)公式更靈活、簡便，不需要再用兩角和、差公式展開2重視角的變換三角變換是三角函數(shù)的靈魂與核心，在三角變換中，角的變換是最基本的變換，在歷年的高考試題中多次出現(xiàn)，必須引起足夠的重視常見的角的變換有：=a+bsinx+cosxa=(a+b)-b;a=b-(b-a)；a=(2a-b)

7、-(a-b)；a=三角變換有：切化弦、1=sin2a+cos2a等要點五：輔助角公式1形如asinx+bcosx的三角函數(shù)式的變形：asinx+bcosxab22a2+b2a2+b21(a+b)-(b-a)等，常見的2a2+b2,sinj=令cosj=aba2+b2，則asinx+bcosx=a2+b2(sinxcosj+cosxsinj)=a2+b2sin(x+j)（其中j角所在象限由a,b的符號確定，j角的值由tanj=bb確定，或由sinj=和aa2+b2cosj=a+ba22共同確定）2輔助角公式在解題中的應(yīng)用通過應(yīng)用公式asinx+bcosx=a2+b2sin(x+j)（或asinx

8、+bcosx=a2+b2cos(a-j)），將形如asinx+bcosx（a,b不同時為零）收縮為一個三角函數(shù)a2+b2sin(x+j)（或a2+b2cos(a-j)）這種恒等變形實質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個三角函數(shù)，這樣做有利于函數(shù)式的化簡、求值等【典型例題】類型一：兩角和與差的三角函數(shù)公式的正用a,p，cosb=-例1已知sina=45，p2513，b是第三象限角，求cos(a+b)、sin(a+b)、【解析】由sina=4a,p得sin(a-b)的值【思路點撥】利用同角三角函數(shù)關(guān)系式確定cosa、sinb的值，然后利用兩角和與差的余弦、正弦公式求值p，52a

9、=-1-sin2a=-1-=-，tana=-cos5534234又由cosb=-513，b為第三象限角得sinb=-1-cosb=-1-=-，tanb=-=4(-)+-=4(-)-521212213135cos(a+b)=cosacosb-sinasinb354126351351365sin(a+b)=sinacosb+cosasinb5312513513=1665sin(a-b)=sinacosb-cosasinb5312513513=-5665【總結(jié)升華】已知a，b的某種三角函數(shù)值，求ab的正弦或余弦，先要根據(jù)平方關(guān)系求出a、b的另一種三角函數(shù)值求解過程中要注意先根據(jù)角的范圍判斷所求三角函

10、數(shù)值的符號，然后再將求得的函數(shù)值和已知函數(shù)值代入和角或差角的余弦公式中，求出和角或差角的余弦舉一反三：q是第二象限角，求cosq-、cosq+、sinq+和sinq-的【變式1】已知sinq=值12，333133【解析】由sinq=1213，q是第二象限角，得cosq=-1-(125)2=-1313所以cosq-=cosqcos+sinqsin333pp=-123-526pppcos(q+)=cosqcos-sinqsin333=-5+12326sinq+=sinqcos+cosqsin=121pp33353+(-)132132=12-532

11、6sinq-=sinqcos-cosqsin=121pp33353-(-)132132=12+5326例2（1）tan(a+b)=21,tan(a-b)=,求tan2a的值；54,p,sin(a+b)=-,sin(b-)=,求cos(a+)的值（2）已知a,b3p3p12p454134,【思路點撥】（1）分析所給的兩個已知角a+ba-b和所求的角2a之間有關(guān)系a(a+b)+(a-b)=2（2）a+【解析】pp=(a+b)-(b-)44（1）tan2a=tan(a+b)+(a-b)=tan(a+b)+tan(a-b)1-tan(a+b)tan(a-b)4=132118=21+51-54(2)a,

12、b,p,a+b,2p,b-(,),3p3ppp3p42424又34sin(a+b)=-,cos(a+b)=;55p12p5sin(b-)=,cos(b-)=-.413413cos(a+)=cos(a+b)-(b-)pp44=cos(a+b)cos(b-pp)+sin(a+b)sin(b-)444531256=(-)+(-)=-51351365【總結(jié)升華】此類題目重在考察所給已知角與所求角之間的運算關(guān)系，主要是指看兩角之間的和、差、倍的關(guān)系，如(a+b)-(b-p4)=a+p4，a=(a-b)+b,2a=(a+b)+(a-b)等，找到它們的關(guān)系可以簡化運算，同時在求三角函數(shù)值時應(yīng)關(guān)注函數(shù)值的符號

13、舉一反三：【高清課堂：兩角和與差的三角公式401863例6】【變式1】已知a與b均為銳角，cosa=35，cos(a+b)=-，求cosb513【解析】由a(0，)，cosa=,sina=p34255p由a,b(0,)a+b(0,p)2sin(a+b)=1-cos2(a+b)=1-5212=13213故cosb=cos(a+b-a)=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sina5312433=-+=.13513565類型二：兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形應(yīng)用例3計算下列各式的值：（1）cos12cos18-sin12sin18；（2）3-tan151+3tan15；（3）tan17

14、+tan28+tan17tan28【思路點撥】注意兩角和差公式的逆用和變形【解析】（1）cos12cos18-sin12cos72=cos12cos18-sin12sin18=cos(12+18)=cos30=32.（2）3-tan15tan60-tan15=tan(60-15)=tan45=11+3tan151+tan60tan15（3）tan(17o+28o)=tan17o+tan28o1-tan17otan28otan17+tan28=tan(17+28)(1-tan17tan28)=1-tan17tan28原式=1-tan17tan28+tan17tan28=1【總結(jié)升華】三角變換的一

15、般規(guī)律：看角的關(guān)系、看函數(shù)名稱、看運算結(jié)構(gòu)以上題目是給角求值問題，應(yīng)首先看角的關(guān)系：先從所給角的關(guān)系入手，觀察所給角的和、差、倍（下一節(jié)學(xué)習(xí)）是否為特殊角，然后看包含的函數(shù)名稱，以及所給三角式的結(jié)構(gòu)，結(jié)合三角公式，找到題目的突破口公式tan(a+b)=tana+tanb的變形tana+tanb=tan(a+b)(1-tanatanb)應(yīng)予以靈活運用1-tanatanb（3）原式=tan45-tan15c=75c=45【變式1】在abc中，sina=3【證明】cosb=5，b,且sinb=舉一反三：【變式1】求下列各式的值：（1）cos15cos105+sin15sin105；（2）sinxsi

16、n(x+y)+cosxcos(x+y)（3）1-tan151+tan15【解析】（1）原式=cos(15105)=cos(90)=0；（2）原式=cosx(x+y)=cos(y)=cosy3=tan(45-15)=tan30=1+tan45tan153【高清課堂：兩角和與差的三角公式401863例3】【變式2】求值：sin7+cos15sin8cos7-sin15sin8【解析】原式=sin(15-8)+cos15sin8=tan15=2-3cos(15-8)-sin15sin8類型三：兩角和與差的三角函數(shù)在三角形中的應(yīng)用例在非直角abc中，（1）求證：tana+tanb+tanc=tanat

17、anbtanc；（2）若2b=a+c，且tanatanc=2+3，求abc的三內(nèi)角的大小【思路點撥】注意三角形內(nèi)角和a+b+c=p這一隱含條件的運用【解析】（1）證明：a+b+c=180，tan（a+b）=tanc，tana+tanb+tanc=tan(a+b)(1tanatanb)+tanc=tanc(1tanatanb)+tanc=tanatanbtanc（2）2b=a+c，a+b+c=180，b=60，a+c=120，tana+tanc=tan(a+c)(1-tanatanc)=-31-(2+3)=3+3，又tanatanc=2+3，a=45a=75tana=1tana=2+3，或，b=

18、60，或b=60tanc=2+3tanc=1【總結(jié)升華】本題主要考查兩角和正切公式的應(yīng)用三角函數(shù)式的化簡與證明，主要從三方面尋求思路：一是觀察函數(shù)的特點，已知和所求中包含什么函數(shù)，它們可以怎樣聯(lián)系；二是觀察角的特點，它們之間可經(jīng)何種形式聯(lián)系起來（如本題中a+b+c=）；三是觀察結(jié)構(gòu)特點，它們之間經(jīng)過怎樣的變形可達到統(tǒng)一舉一反三：5，cosb=，求cosc5132pp121324213sina=3，a0,p又bpp,，若a,p，則a+bp,與a+b+c=矛盾，a,p因此a0,，且cosa=2p3p52443p3p42423pp4445從而cosc=cosp-(a+b)=-cos(a+b)4531216=-cosacosb+sinasinb=-+=51351365（3）2sin-x+cos-x【解析】（1）sinx+cosx=2sinx22=2sinxcos+cosxsin=2sinx+（2）2(sinx-cosx)=22sinx22=2sinxcos-cosxsin=2sinx-（3）2sin-x+cos-x類型四：輔助角公式的應(yīng)用例5將下列各式化成asin(x+j)的形式（1）sinx+cosx；（2）2(sinx-cosx)；6pp4444【思路點撥】形如sinx+cosx、sinx-cosx，3sinx-cosx等，化成一