高中數(shù)學(xué)圓錐曲線問題解題技巧

1、 (2005全國全國卷文科卷文科)已知雙曲線已知雙曲線 的一條準(zhǔn)線為的一條準(zhǔn)線為 ，則該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的離心率為 ( ) a b c d )0( 1 2 2 2 ay a x 2 3 x 2 3 2 3 2 6 3 32 x y o f1f2 b cos 1 e 2 a x c 222 2 22 cab e aa =1+k2. (k為雙曲線漸近線的斜率為雙曲線漸近線的斜率.) (2004全國東北理科卷全國東北理科卷)設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上軸上,兩條漸近線為兩條漸近線為y = x，則該雙曲線的離，則該雙曲線的離 心率心率e=( ) a. 5 b. c. d.5 5

2、 2 5 4 1 2 222 2 22 cab e aa =1+k2. 其中其中k為雙曲線漸近線的斜率為雙曲線漸近線的斜率. c e2=5/4. (2005全國全國卷文科卷文科)已知雙曲線已知雙曲線 的一條準(zhǔn)線為的一條準(zhǔn)線為 ，則該雙曲線的離心率為，則該雙曲線的離心率為 ( ) a b c d )0( 1 2 2 2 ay a x 2 3 x 2 3 2 3 2 6 3 32 x y o f1f2 b a 1 k a 2 3 2 a c 2 ; 3 k e 將將k2=e2- -1代入上式代入上式, 整理得整理得 9e4- -9e2- -4=0e2=4/3. d 4 2 212 2 12 ,2

3、, 1 . 3 b pfffc a pf ff 2 22 1 , 3 2 b a ab 42 3440kk 已知已知f1、f2為雙曲線為雙曲線 (a 0, b 0)的焦點(diǎn)，過的焦點(diǎn)，過f2作垂直于作垂直于 x 軸的直線交軸的直線交 雙曲線于雙曲線于p, 且且pf1f230(如圖如圖), 求雙求雙 曲線的漸近線方程曲線的漸近線方程. 22 22 1 xy ab x y o p f1f2 即即 ec 3a, e23, 11 costan2. 3e 已知已知f1、f2為雙曲線為雙曲線 (a 0, b 0)的焦點(diǎn)，過的焦點(diǎn)，過f2作垂直于作垂直于 x 軸的直線交雙曲軸的直線交雙曲 線于線于p, 且且p

4、f1f230(如圖如圖), 求雙曲線的漸近求雙曲線的漸近 線方程線方程. 22 22 1 xy ab x y o p f1f2 |pf1|2|pf2|， exp+a=2(exp- -a)， exp3a, k2=e2- -1=2. y= x.2 (2005福建理科福建理科) 已知已知f1、f2是雙曲線是雙曲線 - = - = 1(a0, b0)的兩焦點(diǎn)的兩焦點(diǎn), 以線段以線段f1f2為邊作正三角為邊作正三角 形形mf1f2, 若邊若邊mf1的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲的中點(diǎn)在雙曲線上，則雙曲 線的離心率是線的離心率是 ( ) a. 4+2 b. - -1 c. d. +1 2 2 x a 2 2 y

5、 b 333 31 2 x y o f1f2 m a 30 x1 由已知由已知, |af1|=c, |af2|= c,3 即即 ex1- -a=c, ex1+a= c, 3 兩式相減：兩式相減：2a=( - -1)c, 3 兩邊同除以兩邊同除以a得得 e= 2 31. 31 (2005福建理科福建理科)已知已知f1、f2是雙曲線是雙曲線 (a 0,b 0)的兩個焦點(diǎn)，以線段的兩個焦點(diǎn)，以線段f1f2為邊作為邊作正三正三 角形角形mf1f2, 若邊若邊mf1的的中點(diǎn)中點(diǎn)在雙曲線上在雙曲線上, 則雙曲則雙曲 線的離心率是線的離心率是 ( ) a. 4+2 b. - -1 c. d. +1 22 2

6、2 1 xy ab 333 31 2 因?yàn)橐驗(yàn)閨nf1|=exn- -a=c, 即即exn+a= c 3 y x o m f2 n f1 又又|nf2|= |nf1|, 3 d 3 2exn=( +1)c 將將xn=c/2代入即得代入即得. 要點(diǎn)提煉：設(shè)雙曲線的離心率為設(shè)雙曲線的離心率為e, 一條有一條有 較小傾斜角較小傾斜角 的漸近線的斜率為的漸近線的斜率為k,則雙曲線的則雙曲線的 如下性質(zhì)在解題時十分有用：如下性質(zhì)在解題時十分有用： 過焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線過焦點(diǎn)作一條漸近線的垂線,垂足在雙曲線垂足在雙曲線 的準(zhǔn)線上的準(zhǔn)線上, 垂線段的長等于半虛軸長；垂線段的長等于半虛軸長； arccos

7、(1/e)； e2k21. 此外此外, 雙曲線的焦半徑公式：雙曲線的焦半徑公式：r1 |ex0a|，r2|ex0a| 在處理涉及雙曲線的在處理涉及雙曲線的 焦半徑問題時是十分有用的焦半徑問題時是十分有用的,必須要學(xué)生熟記必須要學(xué)生熟記 它它. 1122 ,pfr pfr設(shè)設(shè) .162 21 2 2 2 1 rrrr 222 12 (2 )4 520,rrc, 2 21 rr 12 12 1 2 f pf sr r 設(shè)而不求 (1994全國全國)設(shè)設(shè)f1, f2為雙曲線為雙曲線 的兩的兩 個焦點(diǎn)，點(diǎn)個焦點(diǎn)，點(diǎn)p在雙曲線上，且在雙曲線上，且f1pf2=90則則 f1pf2的面積是的面積是 ( )

8、a. 1 b. c. 2 d. 1 4 2 2 y x 2 5 5 12 4rr =1. a x y o f1f2 p 1 2 12 1 2 pf fp sffy 22 22 44, 5 xy xy 2 11 . 55 p yy 12 12 111 2 51. 225 pf fp sf fy 以以f1f2為直徑的圓為直徑的圓 的方程是：的方程是： x2+y2=5, (2005全國全國卷卷)已知雙曲線已知雙曲線 的焦的焦 點(diǎn)為點(diǎn)為f1、f2, 點(diǎn)點(diǎn)m在雙曲線上且在雙曲線上且mf1mf2=0,則點(diǎn)則點(diǎn) m到到 x軸的距離為軸的距離為( ) a b c d 1 2 2 2 y x 4 3 5 3 2

9、 3 3 3 x y o f1f2 m x2+y2=3 mf1mf2=0mf1mf2 x2+y2=3, 2x2- -y2=2 2 p y = 4 . 3 平幾知識的應(yīng)用 c 已知已知f1、f2為雙曲線為雙曲線 (a 0,b 0)的焦點(diǎn)，的焦點(diǎn)，m為雙曲線上的點(diǎn)為雙曲線上的點(diǎn), , 若若f1mf2 90, 則則f1mf2的面積等于的面積等于_. 22 22 1 xy ab x y o f1f2 m 一般化 x2+y2=c2, b2x2- -a2y2=a2b2 c2y2=b2(c2- -a2)=b4 y=b2/c s f1mf2=b2. (2005全國全國卷卷)已知雙曲線已知雙曲線 的焦的焦 點(diǎn)為

10、點(diǎn)為f1、f2, 點(diǎn)點(diǎn)m在雙曲線上且在雙曲線上且mf1mf2=0,則點(diǎn)則點(diǎn) m到到 x 軸的距離為軸的距離為( ) a b c d 1 2 2 2 y x 4 3 5 3 2 3 3 3 x y o f1f2 m c s f1mf2=b2=2 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)m到到 x 軸的距離為軸的距離為d, 則則 cd=s d= 2 . 3 將直角坐標(biāo)系中的曲線平移將直角坐標(biāo)系中的曲線平移(或平或平 移坐標(biāo)軸移坐標(biāo)軸)，曲線上任意兩點(diǎn)之間的距，曲線上任意兩點(diǎn)之間的距 離（弦長）、兩條定弦之間的夾角、離（弦長）、兩條定弦之間的夾角、 以及曲線上任一點(diǎn)處的切線的斜率，以及曲線上任一點(diǎn)處的切線的斜率， 都是平移變換下的

11、都是平移變換下的不變量不變量. (1995全國全國)直線直線l過拋物線過拋物線y2a(x+1) (a0)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn), 并且與并且與x軸垂直軸垂直, 若若l被拋物線被拋物線 截得的線段長為截得的線段長為4, 則則a . 直線直線l過拋物線過拋物線 y24(x+1)的焦點(diǎn)的焦點(diǎn), 并且并且 與與x軸垂直軸垂直, 若若 l 被拋物線截得的線段長被拋物線截得的線段長 為為 . 4 4 y2a(x- -3) （2003 新課程卷）設(shè)新課程卷）設(shè)a0，f(x)=ax2+bx+c, 曲曲 線線 y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) p(x0, f(x0)處的切線的傾斜角的處的切線的傾斜角的 取值范圍為取值范圍為 ，則點(diǎn)，

12、則點(diǎn)p到曲線到曲線y=f(x)對稱軸對稱軸 距離的取值范圍為距離的取值范圍為 ( ) a. b. c. d. 0, 4 1 0, a 1 0, 2a 0, 2 b a 1 0, 2 b a 曲線曲線 y=f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) p(x0, f(x0)處處 的切線的斜率的切線的斜率 k=2ax0. 依題意依題意,0k1,1,即即 002ax01.1. 0 1 0. 2 x a b f (x)=2ax, x y o fp y=ax2 y=- - 1 4a y =2ax, y | =1.1 2 x a 2 1 xy a 證明：點(diǎn)證明：點(diǎn)p處的切線斜率為處的切線斜率為1 x y o f p 證明：點(diǎn)證明：點(diǎn)

13、p處的切線斜率為處的切線斜率為1 法一法一：由由 y2=2px 2yy =2p, , p y y 1. yp y 法二法二：由由2ypx 12 22 p y px 2 1.p x y f 回回 顧顧 y2=2px pf = p x y o a 2 p x x = - 命題命題1 設(shè)拋物線設(shè)拋物線y2=2px(p0)的通徑為的通徑為pq，則則 拋物線在點(diǎn)拋物線在點(diǎn)p、q處的切線的斜率分別為處的切線的斜率分別為1和和- -1, 且切線通過拋物線的準(zhǔn)線與且切線通過拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn). x y o p q f 2 p x= - m x y o f p (2004 全國東部卷全國東部卷)

14、設(shè)拋物線設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與的準(zhǔn)線與x 軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)q，若過點(diǎn)，若過點(diǎn)q的直線的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，與拋物線有公共點(diǎn)， 則直線則直線l的斜率的取值范圍是的斜率的取值范圍是 ( ) a. b. - -2,2 c. - -1,1 d. - -4,4 1 1 , 2 2 y2=18x y2=8(x- -6) c 已知已知f為拋物線為拋物線c：y24x的焦點(diǎn)，的焦點(diǎn)，p為為c上的上的 任一點(diǎn)，過點(diǎn)任一點(diǎn)，過點(diǎn)f且斜率為且斜率為1的直線與的直線與c交于交于a、b 兩點(diǎn)，若兩點(diǎn)，若 pab的面積為的面積為4 ，則這樣的點(diǎn)，則這樣的點(diǎn)p有有 ( ) (a) 1個個 (b) 2個個 (c) 3個

15、個 (d) 4個個 2 ab：x- -y- -1=0 求得求得|ab|=8 ；取點(diǎn)取點(diǎn)m(1,2) mab的面積為的面積為42 c 2 點(diǎn)點(diǎn)m到直線到直線ab的距離為的距離為 x y o a b f m 引申引申1 1橢圓通徑一個端點(diǎn)處切線的斜率橢圓通徑一個端點(diǎn)處切線的斜率 x y o f1 p 22 , b yax a 由由 22 12 . 2 bx y a ax 得得 22 . xc bc ye a ac 引申引申2 2 雙曲線通徑端點(diǎn)處切線的斜率為雙曲線通徑端點(diǎn)處切線的斜率為 e. 引申引申3 3 過橢圓過橢圓 上一點(diǎn)上一點(diǎn) p (x0, y0) 的切線方程為：的切線方程為： 22 22

16、 1(0) xy ab ab 00 22 1; x xy y ab 2 0 0 2 0 (). b x kfx a y 切 引申引申4 4 過雙曲線過雙曲線 上一點(diǎn)上一點(diǎn) p (x0, y0) 的切線方程為：的切線方程為： 22 22 1(0,0) xy ab ab 00 22 1; x xy y ab 2 0 0 2 0 (). b x kfx a y 切 引申引申5 5 過拋物線過拋物線y2=2px上一點(diǎn)上一點(diǎn)p (x0, y0)的切的切 線方程為：線方程為： y0y=p (x+x0 ) y0y=p (x+x0 )k切 切= 0 p y 命題命題2 若若pq為焦點(diǎn)在為焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線

17、軸上的圓錐曲線 的通徑，則曲線在點(diǎn)的通徑，則曲線在點(diǎn)p、q處的切線的斜率處的切線的斜率 為為e和和- -e，且切線通過相應(yīng)準(zhǔn)線與，且切線通過相應(yīng)準(zhǔn)線與x軸的交軸的交 點(diǎn)點(diǎn). 或表述為：過焦點(diǎn)在或表述為：過焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線軸上的圓錐曲線 的準(zhǔn)線與的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，且斜率為軸的交點(diǎn)，且斜率為e(或或- -e)的的 直線，與圓錐曲線相切，且切點(diǎn)為圓錐曲直線，與圓錐曲線相切，且切點(diǎn)為圓錐曲 線一條通徑的端點(diǎn)線一條通徑的端點(diǎn). x y o 作離心率為作離心率為1/2的橢圓的橢圓 x y o f a b |of|c, |fa|b, |oa|a. c|ab|2ab |ab| 2ab c 2 . b

18、e 作離心率為作離心率為2的雙曲線的雙曲線 (2004湖南理科卷湖南理科卷)如圖，過拋物線如圖，過拋物線x2=4y的對的對 稱軸上任一點(diǎn)稱軸上任一點(diǎn)p(0,m) (m0)作直線與拋物線交于作直線與拋物線交于 a，b兩點(diǎn)，點(diǎn)兩點(diǎn)，點(diǎn)q是點(diǎn)是點(diǎn)p關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn). ( i ) 設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)p分有向線段分有向線段ab所成的比為所成的比為 ，證明，證明 qp(qa- - qb)； ( ii ) 設(shè)直線設(shè)直線ab的方程是的方程是 x- -2y+12=0，過過a、b兩點(diǎn)兩點(diǎn) 的圓的圓c與拋物線在點(diǎn)與拋物線在點(diǎn)a處有處有 共同的切線，求圓共同的切線，求圓c的方程的方程. x y o a p b

19、q x y o a p b q(0,- -m) (x1,y1) (x2,y2) ap=(- -x1, m- -y1), pb=(x2, y2- -m), 由已知由已知, x1=- - x2, y1- -m=- - (y2- -m). 即即 22 2222 1212 ,.xxymym 因?yàn)橐驗(yàn)閍、p、b共線共線, 且且ap= pb. qp= qa+ qb= (qa+ qb). 1 11 1 1 欲證欲證qp(qa- - qb), 只須證只須證qp (qa- - qb)=0, 即證即證|qa|2- - 2|qb|2=0. 而而 |qa|2- - 2|qb|2= +(y1+m)2- - 2 +(y2

20、+m)2 2 1 x 2 2 x 光 的 反 射 基本原理: ()光的傳播遵循光的傳播遵循“光行最速原理光行最速原理”; ()光的反射應(yīng)滿足：光的反射應(yīng)滿足：“入射角入射角=反射角反射角”; 由此推得由此推得 入射線與反射線關(guān)于入射線與反射線關(guān)于法線法線對稱對稱; 投影線為水平線時投影線為水平線時, k入射線 入射線+k反射線反射線=0. 光 的 反 射 基本技巧: 始始點(diǎn)點(diǎn) 終終點(diǎn)點(diǎn) 入射線入射線; 始始點(diǎn)點(diǎn)終終點(diǎn)的對稱點(diǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn) 反射線反射線.始始點(diǎn)的對稱點(diǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)終終點(diǎn)點(diǎn) (1989全國全國) 自點(diǎn)自點(diǎn)a( -3, 3 )發(fā)出的光線發(fā)出的光線 l 射到射到x 軸上被軸上被 x 軸反射

21、，其反射光線所在直線與圓軸反射，其反射光線所在直線與圓 x2+y2- -4x- -4y+7=0相切相切, 求光線求光線 l 所在直線的方程所在直線的方程. (x-2)2+(y-2)2=1 x1 y o 1 - -1 . . a . . a? 始點(diǎn)的對稱點(diǎn)始點(diǎn)的對稱點(diǎn)終終點(diǎn)點(diǎn) -反射線反射線； 終終點(diǎn)的對稱點(diǎn)點(diǎn)的對稱點(diǎn)始始點(diǎn)點(diǎn) -入射線入射線. (2005江蘇江蘇) 點(diǎn)點(diǎn)p(- -3,1)在橢圓在橢圓 的左準(zhǔn)線上的左準(zhǔn)線上, 過點(diǎn)過點(diǎn)p且方向?yàn)榍曳较驗(yàn)閍=(2,- -5)的光線的光線, 經(jīng)經(jīng) 直線直線y=- -2反射后通過橢圓的左焦點(diǎn)反射后通過橢圓的左焦點(diǎn), 則這個橢圓則這個橢圓 的離心率為的離

22、心率為 ( ) a. b. c. d. 22 22 10 xy ab ab 3 3 1 3 2 2 1 2 x y o p(- -3,1) f(- -c,0) m n l 解法一： 依題意依題意, 入射線方程為入射線方程為 y- -1=- - (x+3) 5 2 令令y=- -2, 得得m(- - , - -2); 9 5 令令y=0, 得得n(- - ,0). 13 5 f(- -1,0) a2=3 2 3 a c 3 3 e x y o p(- -3,1) f(- -c,0) m n l 解法二： 點(diǎn)點(diǎn)f關(guān)于直線關(guān)于直線y=- -2的的 對稱點(diǎn)為對稱點(diǎn)為q(- -c,- -4 ). c=1

23、 a2=3 2 3 a c 依題意依題意, kpq=- - , 5 2 q 3 3 e 要點(diǎn)提煉： 光反射的理論依據(jù)，是物理學(xué)中的光反射的理論依據(jù)，是物理學(xué)中的光行最速光行最速 原理原理；數(shù)學(xué)中處理這類問題的基本方法是運(yùn)用；數(shù)學(xué)中處理這類問題的基本方法是運(yùn)用 平面幾何中的平面幾何中的對稱性對稱性，這就是，這就是“通法通法”. 只有把只有把 握住握住“通法通法”，不論題目如何變化，你才能在，不論題目如何變化，你才能在 解題時得心應(yīng)手，游刃有余解題時得心應(yīng)手，游刃有余. (2004江蘇卷江蘇卷)已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心已知橢圓的中心在原點(diǎn)，離心 率為率為 ，一個焦點(diǎn)是，一個焦點(diǎn)是f(- -m,0

24、) (m是大于零的常是大于零的常 數(shù)數(shù)). ()求橢圓方程；求橢圓方程； ()設(shè)設(shè)q是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，且過點(diǎn)f，q的直的直 線線l與與y軸交于點(diǎn)軸交于點(diǎn)m，若，若|mq|=2|qf|，求直線，求直線l的的 斜率斜率. 1 2 () 22 22 1. 43 xy mm () 22 22 1. 43 xy mm x y o m q f |mq|=2|qf| ()分析：由題設(shè)，由題設(shè)，|xm- -xq|=2|xq- -xf|， 即即|xq|=2|xq+m|，即即xq=- -2m 或或 xq=- - m. 2 3 3x2+4y2=12m2, y=k(x+m) (3+4k2)x2+8

25、k2mx+4k2m2- -12m2=0 令令x=- -2m ，得，得k=0； 令令x=- - m ，得，得k=2 .6 2 3 (2004東北理科卷東北理科卷) 給定拋物線給定拋物線c：y2=4x，f 是是c的焦點(diǎn)，過點(diǎn)的焦點(diǎn)，過點(diǎn)f的直線的直線l與與c相交于相交于a、b兩點(diǎn)兩點(diǎn). () 設(shè)設(shè)l的斜率為的斜率為1，求，求oa與與ob的夾角；的夾角； () 設(shè)設(shè)bf= fa, 若若 4, 9，求，求l在在y軸上截距軸上截距 的變化范圍的變化范圍. x y o a b f () 由對稱性，我們只須研由對稱性，我們只須研 究如圖的情況究如圖的情況. x y o a b f 2 4 , 1 yx xm

26、y ( 1 ) 當(dāng)當(dāng)yb=- -4ya時，時， 2 34 , 44 aba aba yyym yyy 2 440ymy ya=1 m = . 3 4 令令x=0，得，得y1= 4 . 3 ( 2 ) 當(dāng)當(dāng)yb=- -9ya時，同理可得時，同理可得y2= 3 . 4 m 433 4 ,. 344 3 cd ab e (2000新課程卷新課程卷) 如圖如圖, 已知梯形已知梯形abcd中中, |ab|=2|cd|, 點(diǎn)點(diǎn)e分有向線段分有向線段ac所成的比為所成的比為 ，雙，雙 曲線過曲線過c、d、e三點(diǎn)，且以三點(diǎn)，且以a、b為焦點(diǎn)為焦點(diǎn). 當(dāng)當(dāng) 時，求雙曲線離心率時，求雙曲線離心率e的取值范圍的取值

27、范圍. 23 34 由由|ae|= |ec|, x y 設(shè)設(shè)|ab|=2c, 則則a(- -c,0), c( , yc), 又設(shè)又設(shè)e(x0, y0), 2 c 得得 x0+c= ( - -x0), 2 c x0= (2) 2(1) c |ec|= (exc+a)- -(- -ex0- -a)=2a+e(xc+x0), 因?yàn)橐驗(yàn)閨ec|=|ac|- -|ae| 因?yàn)橐驗(yàn)閨ec|= (exc+a)- -(- -ex0- -a)=2a+e(xc+x0), |ae|= |ec|, x0= (2) 2(1) c 所以所以- -ex0- -a= 2a+e( +x0) 2 c t = 0 (2) 2(1)

28、 xe a - -2et- -2= 4+e(e+2t) 2e( +1)t= - -(e2 +4 +2) 將將代入代入 兩邊同乘以兩邊同乘以 2 a e2( - -2)= - -(e2 +4 +2) e2= 123 2 11 因?yàn)橐驗(yàn)?23 34 所以所以 7 e210, 得得710.e (2004天津理科卷天津理科卷)橢圓的中心是原點(diǎn)橢圓的中心是原點(diǎn)o，它的，它的 短軸長為短軸長為2 ，相應(yīng)于焦點(diǎn)，相應(yīng)于焦點(diǎn)f(c,0)的準(zhǔn)線的準(zhǔn)線l與與x軸軸 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)a，|of|=2|fa|.過點(diǎn)過點(diǎn)a的直線與橢圓相的直線與橢圓相 交于交于p、q兩點(diǎn)兩點(diǎn). ()求橢圓的方程及離心率；求橢圓的方程及離心率； ()若若opoq=0，求直線，求直線 pq的方程；的方程； ()設(shè)設(shè)ap= aq( 1).過點(diǎn)過點(diǎn)p且平行于且平行于l的直線的直線 與橢圓相交于另一點(diǎn)與橢圓相交于另一點(diǎn)m. 證明：證明：fm=- - fq. 2 m a p q o f x y 2