8圓內(nèi)接正多邊形.ppt

1、8 圓內(nèi)接正多邊形 1.1.了解正多邊形和圓的有關(guān)概念了解正多邊形和圓的有關(guān)概念. . 2.2.理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心理解并掌握正多邊形半徑和邊長(zhǎng)、邊心距、中心 角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫多角之間的關(guān)系，會(huì)應(yīng)用多邊形和圓的有關(guān)知識(shí)畫多 邊形邊形 你還能舉出更多正多邊形的例子嗎？你還能舉出更多正多邊形的例子嗎？ 正多邊形：正多邊形： _，_的多邊形叫做正多邊形的多邊形叫做正多邊形. . 正正n n邊形：如果一個(gè)正多邊形有邊形：如果一個(gè)正多邊形有n n條邊，那么這個(gè)正多邊條邊，那么這個(gè)正多邊 形叫做正形叫做正n n邊形邊形. . 三條邊相等，三個(gè)角也相三條邊相等

2、，三個(gè)角也相 等（等（6060）. . 四條邊都相等，四個(gè)角四條邊都相等，四個(gè)角 也相等（也相等（9090）. . 各邊相等各邊相等各角也相等各角也相等 菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？菱形是正多邊形嗎？矩形是正多邊形嗎？為什么？ a b c d e 求證：正五邊形的對(duì)角線相等求證：正五邊形的對(duì)角線相等 【想一想想一想】 怎樣找圓的內(nèi)接正三角形？怎樣找圓的內(nèi)接正三角形？ 怎樣找圓的外切正三角形？怎樣找圓的外切正三角形？ 怎樣找圓的內(nèi)接正方形？怎樣找圓的內(nèi)接正方形？ 怎樣找圓的外切正方形？怎樣找圓的外切正方形？ 怎樣找圓的內(nèi)接正怎樣找圓的內(nèi)接正n n邊形？邊形？ 怎樣找圓的外切正怎樣

3、找圓的外切正n n邊形？邊形？ e f g h a b c d 0 a b c d 【例例1 1】把圓分成把圓分成5 5等份，求證：等份，求證： 依次連接各分點(diǎn)所得的五邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接依次連接各分點(diǎn)所得的五邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接 正五邊形；正五邊形； 經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為 頂點(diǎn)的五邊形是這個(gè)圓的外切正五邊形頂點(diǎn)的五邊形是這個(gè)圓的外切正五邊形. . 【例題例題】 1 2 3 a b cd e 4 5 證明證明: :(1(1）ab=bc=cd=de=eaab=bc=cd=de=ea， ab=bc=cd=de=eaab=bc=cd=de=ea

4、， bce=cda=3abbce=cda=3ab， 1=21=2， 同理同理2=3=4=52=3=4=5， 又又頂點(diǎn)頂點(diǎn)a a，b b，c c，d d，e e都在都在o o上，上， 五邊形五邊形abcdeabcde是是o o的內(nèi)接正五邊形的內(nèi)接正五邊形. . （2 2）連接連接oaoa，obob，ococ，則，則 oab=oba=obc=ocb.oab=oba=obc=ocb. tptp，pqpq，qrqr分別是以分別是以a a，b b，c c為切為切 點(diǎn)的點(diǎn)的o o的切線，的切線， oap=obp=obq=ocq.oap=obp=obq=ocq. pab=pba=qbc=qcb.pab=pb

5、a=qbc=qcb. a b cd e p q r s t o 又又ab=bcab=bc， ab=bcab=bc， pabpab與與qbcqbc是全等的等腰三角形是全等的等腰三角形. . p=q,pq=2pa.p=q,pq=2pa. 同理同理q=r=s=tq=r=s=t， qr=rs=st=tp=2pa qr=rs=st=tp=2pa， 五邊形五邊形pqrstpqrst的各邊都與的各邊都與o o相切，相切， 五邊形五邊形pqrstpqrst是是o o的外切正五邊形的外切正五邊形. . 把圓分成把圓分成n n（n3n3）等份：）等份： 依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正依次連接各分點(diǎn)所得

6、的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n n邊邊 形；經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為形；經(jīng)過(guò)各分點(diǎn)作圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為 頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n n邊形邊形. . 一個(gè)正多邊形是否一定有外接圓和內(nèi)切圓？一個(gè)正多邊形是否一定有外接圓和內(nèi)切圓？ 【定理定理】 正三角形正三角形 有沒(méi)有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？有沒(méi)有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？ 這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？ 正方形正方形 有沒(méi)有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？有沒(méi)有外接圓和內(nèi)切圓？怎樣作出這兩個(gè)圓？ 這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？這兩個(gè)圓有什么位置關(guān)系？ 那么，正

7、那么，正n n邊形呢？邊形呢？ 任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓，并且 這兩個(gè)圓是同心圓這兩個(gè)圓是同心圓. . 【類比聯(lián)想類比聯(lián)想】 【定理定理】 以中心為圓心以中心為圓心, ,邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關(guān)系邊心距為半徑的圓與各邊有何位置關(guān)系? ? e e f f c c d d . 中心角中心角 半徑半徑r r 邊心距邊心距r r 正多邊形的中心正多邊形的中心: : 一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心. . 正多邊形的半徑正多邊形的半徑: : 外接圓的半徑外接圓的半徑 正多邊形的中心角正多邊形的中心角: : 正多邊形的每

8、一邊所對(duì)的圓心角正多邊形的每一邊所對(duì)的圓心角. . 正多邊形的邊心距：正多邊形的邊心距： 中心到正多邊形的一邊的距離中心到正多邊形的一邊的距離. . a ab b 以中心為圓心以中心為圓心, ,邊心距為半徑的圓為正多邊形的內(nèi)切圓。邊心距為半徑的圓為正多邊形的內(nèi)切圓。 e e f f c c d d a a b b r a 中心角中心角 n 360 中心角 n bogaog 180 邊心距把邊心距把a(bǔ)obaob分成分成 2 2個(gè)全等的直角三角形個(gè)全等的直角三角形 設(shè)正多邊形的邊長(zhǎng)為設(shè)正多邊形的邊長(zhǎng)為a,a,邊數(shù)為邊數(shù)為n n， 圓的半徑為圓的半徑為r,r,它的周長(zhǎng)為它的周長(zhǎng)為l=na.l=na.

9、 2 2 r 11 slrnar 22 a r 2 邊心距， 面積邊心距（ ）邊心距（ ） （ ） e d c b o a f e d c b o a 正多邊形是軸對(duì)稱圖形，正正多邊形是軸對(duì)稱圖形，正n n邊形有邊形有n n條對(duì)稱軸條對(duì)稱軸. . 若若n n為偶數(shù)，則其為中心對(duì)稱圖形為偶數(shù)，則其為中心對(duì)稱圖形. . 1.1.各邊相等，各角相等各邊相等，各角相等. . 2.2.圓的內(nèi)接正圓的內(nèi)接正n n邊形的各個(gè)頂點(diǎn)把圓分成邊形的各個(gè)頂點(diǎn)把圓分成n n等份等份. . 3.3.圓的外切正圓的外切正n n邊形的各邊與圓的邊形的各邊與圓的n n個(gè)切點(diǎn)把圓分成個(gè)切點(diǎn)把圓分成 n n等份等份. . 4.4

10、.每個(gè)正多邊形都有一個(gè)內(nèi)切圓和外接圓，這兩個(gè)每個(gè)正多邊形都有一個(gè)內(nèi)切圓和外接圓，這兩個(gè) 圓是同心圓，圓心就是正多邊形的中心圓是同心圓，圓心就是正多邊形的中心. . 正多邊形的性質(zhì)正多邊形的性質(zhì)【歸納歸納】 5.5.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，如果邊數(shù)是偶數(shù)那么正多邊形都是軸對(duì)稱圖形，如果邊數(shù)是偶數(shù)那么 它還是中心對(duì)稱圖形它還是中心對(duì)稱圖形. . 6.6.正正n n邊形的中心角和它的每個(gè)外角都等于邊形的中心角和它的每個(gè)外角都等于360360/n/n， 每個(gè)內(nèi)角都等于每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)180(n-2)180/n ./n . 7.7.邊數(shù)相同的正多邊形相似，周長(zhǎng)比、邊長(zhǎng)比、半邊數(shù)相同的正多邊形相似

11、，周長(zhǎng)比、邊長(zhǎng)比、半 徑比、邊心距比、對(duì)應(yīng)對(duì)角線比都等于相似比，面徑比、邊心距比、對(duì)應(yīng)對(duì)角線比都等于相似比，面 積比等于相似比的平方積比等于相似比的平方. . 在在rtrtopcopc中中,oc=4,pc=2.,oc=4,pc=2.利用勾股定理利用勾股定理, ,可可 得邊心距得邊心距 【解析解析】如圖，如圖，正六邊形正六邊形abcdefabcdef的中心角為的中心角為6060，obcobc是是 等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑等邊三角形，從而正六邊形的邊長(zhǎng)等于它的半徑. . 因此因此, ,亭子地基的周長(zhǎng)亭子地基的周長(zhǎng) l =4 =46=24(m).6=24(m). 22 422 3

12、m .r（） 亭子地基的面積亭子地基的面積 2 11 242 341.6(m ). 22 slr o a bc d ef r p r 【例例2 2】有一個(gè)亭子有一個(gè)亭子, ,它的地基是半徑為它的地基是半徑為4m4m的正六邊形的正六邊形, ,求地求地 基的周長(zhǎng)和面積基的周長(zhǎng)和面積( (精確到精確到0.1m0.1m2 2).). 【跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練】分別求出半徑為分別求出半徑為r r的圓內(nèi)接正三角形、的圓內(nèi)接正三角形、 正方形的邊長(zhǎng)、邊心距和面積正方形的邊長(zhǎng)、邊心距和面積. . 【解析解析】作等邊作等邊abcabc的的bcbc邊上的高邊上的高ad,ad,垂足為垂足為d d 連接連接obob，則，則

13、ob=rob=r， 在在rtrtobdobd中中,obd=30,obd=30, , 1 . 2 r 在在rtrtabdabd中中,bad=30,bad=30, , 13 22 adoaodrrr， a bc d o 3r,ab=ab= ss abcabc= = 2 3 3rr 3 3r 2 . 24 邊心距邊心距od=od= 連接連接obob，oc oc 作作oebcoebc，垂足為，垂足為e e，oeb=90oeb=90， obe=boe=45obe=boe=45， rtrtobeobe為等腰直角三角形，為等腰直角三角形， 222 ,beoeob 22 2,oeob 2 2 . 2 ob o

14、e 22 , 22 oeobr邊心距 2 222 , 2 bcberr邊長(zhǎng) 2 2 22. abcd sab bcrr 正方形 a b c d o e 1.1.下列圖形中：正五邊形；等腰三角形；正八下列圖形中：正五邊形；等腰三角形；正八 邊形；正邊形；正2n2n（n n為自然數(shù)）邊形；任意的平行四邊為自然數(shù)）邊形；任意的平行四邊 形形. .是軸對(duì)稱圖形的有是軸對(duì)稱圖形的有_,_,是中心對(duì)稱圖形的是中心對(duì)稱圖形的 有有_,_,既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形的 有有_._. 2.2.兩個(gè)正七邊形的邊心距之比為兩個(gè)正七邊形的邊心距之比為3:43:4，則它們的邊長(zhǎng)比

15、，則它們的邊長(zhǎng)比 為為_(kāi)，面積比為，面積比為_(kāi)，外接圓周長(zhǎng)比是，外接圓周長(zhǎng)比是_，中，中 心角度數(shù)比是心角度數(shù)比是_._. 3:43:49:169:163:43:4 1:11:1 3.3.正方形正方形abcdabcd的外接圓圓心的外接圓圓心o o叫做正方形叫做正方形abcdabcd的的_ 4.4.正方形正方形abcdabcd的內(nèi)切圓的內(nèi)切圓o o的半徑的半徑oeoe叫做正方形叫做正方形abcdabcd的的 _ 5.5.若正六邊形的邊長(zhǎng)為若正六邊形的邊長(zhǎng)為1,1,那么正六邊形的中心角是那么正六邊形的中心角是_度，度， 半徑是半徑是_，邊心距是，邊心距是 ，它的每一個(gè)內(nèi)角是，它的每一個(gè)內(nèi)角是 _ 6.6.正正n n邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的邊形的一個(gè)外角度數(shù)與它的_角的度數(shù)相等角的度數(shù)相等 中心中心 邊心距邊心距 6060 1 1 120120 中心中心 2 3 7.7.將一個(gè)正五邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn)將一個(gè)正五邊形繞它的中心旋轉(zhuǎn), ,至少要旋轉(zhuǎn)至少要旋轉(zhuǎn) 度度, , 才能與原來(lái)的圖形位置重合才能與原來(lái)的圖形位置重合. . 7272 1 1正多邊形和圓的有關(guān)概念：正多邊形的中心，正多正多邊形和圓的有關(guān)概念：正多邊形的中心，正