第4章剛體的轉(zhuǎn)動

1、第四章 剛體的轉(zhuǎn)動剛體是一個理想化的力學(xué)模型，它是指各部分的相對位置在運動中（無論有無外力作用）均保持不變的物體。即運動過程中沒有形變的物體。本章主要內(nèi)容：剛體定軸轉(zhuǎn)動定律；力矩和轉(zhuǎn)動慣量；角動量定理和角動量守恒定律剛體定軸轉(zhuǎn)動動能定理。重點：基本概念（定軸轉(zhuǎn)動、轉(zhuǎn)動慣量、力矩、角速度、角加速度等）；剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律；轉(zhuǎn)動慣量的計算。難點：剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律的應(yīng)用第一節(jié) 剛體的平動、轉(zhuǎn)動和定軸轉(zhuǎn)動剛體運動研究的基礎(chǔ)：剛體由無數(shù)個連續(xù)分布的質(zhì)點組成的質(zhì)點系，每個質(zhì)點稱為剛體的一個質(zhì)量元。每個質(zhì)點都服從質(zhì)點力學(xué)規(guī)律。剛體的運動：平動和轉(zhuǎn)動。任何復(fù)雜的運動為兩者的疊加。一、剛體的運動1. 平動剛體

2、上任一給定直線（或任意二質(zhì)點間的連線）在運動中空間方向始終不變而保持平行。 平動 轉(zhuǎn)動2. 轉(zhuǎn)動如果剛體上所有的質(zhì)點都繞同一直線作圓周運動，這種運動稱剛體的轉(zhuǎn)動，這條直線稱轉(zhuǎn)軸。（1）定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸相對參考系靜止。 （2）定點轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸上只有一點相對參考系靜止，轉(zhuǎn)動方向不斷變動。（3）剛體的一般運動可以看作是平動和轉(zhuǎn)動的疊加。二、剛體轉(zhuǎn)動的角速度和角加速度定軸轉(zhuǎn)動的特征：剛體上不同點的不同，但相同。如何更好地描述這些特征呢？1. 角位置，角坐標(biāo)、角速度（標(biāo)量）（1）角位置q：位矢與ox軸的夾角。（2）角位移dq：dt時間內(nèi)角位置的增量。定軸轉(zhuǎn)動的只有兩個轉(zhuǎn)動方向，對dq，我們規(guī)定：位矢從ox軸

3、逆時針方向轉(zhuǎn)動時角位置為正，反之，為負(fù)。（3）角速度w：2. 角速度和角加速度（矢量，后面應(yīng)用）（1）角速度矢量一般情況下，角速度用矢量表示，而且，其方向與剛體的轉(zhuǎn)動方向滿足右手螺旋關(guān)系。質(zhì)元的速度：（2）角加速度矢量：大?。悍较颍簽榧铀俎D(zhuǎn)動，與同向； 為減速轉(zhuǎn)動，與反向；3. 線量與角量的關(guān)系（第一章已經(jīng)介紹）178、179頁兩個例題較容易，請自學(xué)。第九講第二節(jié) 剛體的角動量 轉(zhuǎn)動動能 轉(zhuǎn)動慣量在討論質(zhì)點相對于空間某一定點的運動時，我們用角動量來描述物體的運動狀態(tài)。角動量是一個很重要的概念，在轉(zhuǎn)動問題中，它所起的作用和(線)動量所起的作用相類似。在研究力對空間的累積作用時，引出動能定理，從而

4、得到機械能守恒定律和能量守恒定律。至于力矩對時間的累積作用，可得出角動量定理和角動量守恒定律；而力矩對空間的累積作用，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動動能定理，本節(jié)主要討論的是繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體的角動量、轉(zhuǎn)動動能、轉(zhuǎn)動慣量。一、剛體的角動量：1. 質(zhì)點的角動量如圖，質(zhì)量為m的質(zhì)點位于A點，相對原點O的位矢為，并具有動量（速度）。定義：該質(zhì)點對原點O的角動量為即 大?。悍较颍捍怪庇诤停ɑ颍┑钠矫妫⒆袷赜沂致菪▌t。單位：（千克二次方米每秒）注意：（1）質(zhì)點的角動量是與和有關(guān)的，即與參考點O的選擇有關(guān)。因此在講述質(zhì)點的角動量時，必須指明是對哪一參考點而言。（2）若質(zhì)點在作半徑為r的圓周運動，則對圓心O的角動量的

5、大小為，方向與相同。（3）角動量的概念，在大到天體的運動，小到質(zhì)子、電子的運動的描述中，都要應(yīng)用到。例如，電子繞核運動，具有軌道角動量，電子本身還有自旋運動，具有自旋角動量等等。原子、分子和原子核系統(tǒng)的基本性質(zhì)之一，是它們的角動量僅具有一定的不連續(xù)的量值。這叫做角動量的量子化。因此，在這種系統(tǒng)的性質(zhì)的描述中，角動量起著主要的作用。2.剛體的角動量：如圖（見書P180圖4-7），以角速度w繞定軸Oz轉(zhuǎn)動的一根均勻細(xì)棒，把細(xì)棒分成許多質(zhì)點，其中第i個質(zhì)點的質(zhì)量mi繞軸作半徑為r的圓周運動相對于O點的位置Ri，它對O點的角動量為： Li=Ri(mivi) 因vi垂直Ri，所以的Li大小Li=miRi

6、vi，方向如圖（見書P180圖4-7）；剛體對O點的總角動量（剛體繞定軸的角動量）L的方向和每個Lz的方向一致。Liz=Licos，因此：Lz=Licos=miRivicos=mirivi=(miri2) w式中(miri2) w 叫做剛體對OZ軸的轉(zhuǎn)動慣量。則剛體的角動量和剛體的轉(zhuǎn)動慣量表達式：J=miri2 Lz=Jw推廣：如右圖，一剛體以角速度w繞定軸Oz轉(zhuǎn)動，則其上每一個質(zhì)點都以相同的角速度繞軸Oz作圓周運動，任一質(zhì)點對軸Oz的角動量為，于是剛體上所有質(zhì)點對軸Oz的角動量，即剛體對定軸Oz的角動量為：，其中為剛體繞軸Oz的轉(zhuǎn)動慣量，所以剛體對定軸Oz的角動量為：二、剛體轉(zhuǎn)動慣量： 1.

7、 定義剛體繞給定軸的轉(zhuǎn)動慣量 J 等于剛體中每個質(zhì)元的質(zhì)量與該質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸距離的平方的乘積之總和。它與剛體的形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)，也就是說，它只與繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體本身的性質(zhì)和轉(zhuǎn)軸的位置有關(guān)。2. 物理意義：轉(zhuǎn)動慣量是描述剛體在轉(zhuǎn)動中的慣性大小的物理量。3. 單位：4. 轉(zhuǎn)動慣量的計算：點線面體（1） 如果剛體上的質(zhì)點是連續(xù)規(guī)則分布的，則其轉(zhuǎn)動慣量可以用積分進行計算，即；（2）幾何形狀不規(guī)則剛體的J，由實驗測定。（3）回轉(zhuǎn)半徑為剛體的總質(zhì)量。5. 幾種常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量見表4-2。(p.185，10個公式全部記憶三、剛體的轉(zhuǎn)動動能：剛體轉(zhuǎn)動時的動能，是組成剛體的各個質(zhì)點的動能之和。設(shè)剛

8、體上各質(zhì)元質(zhì)量速率到轉(zhuǎn)軸的垂直距離當(dāng)剛體以角速率w 繞定軸轉(zhuǎn)動時，第i個質(zhì)元的動能為。整個剛體的動能為 。因此，即剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動動能等于剛體的轉(zhuǎn)動慣量與角速度二次方的乘積的一半。其形式與質(zhì)點動能的相似。平動與轉(zhuǎn)動相應(yīng)物理量的比較：平動： 平動動能 mv2/2 線動量mv轉(zhuǎn)動： 轉(zhuǎn)動動能 角動量Jw例4-1：（p.178） 例4-2：（p.179） 例4-3（P。182） 例4-4（P。184） 習(xí)題：P。219第2、4、6題第三節(jié) 力矩 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律 思考：剛體為什么會轉(zhuǎn)動？剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變的規(guī)律是什么？一、力矩舉例：門的轉(zhuǎn)動 如圖剛體的一個橫截平面，可繞通過點O且垂直于該平面的轉(zhuǎn)軸

9、Oz旋轉(zhuǎn)。作用在剛體內(nèi)點P上的力亦在此平面內(nèi)。從轉(zhuǎn)軸與截面的交點O到力的作用線的垂直距離d叫做力對轉(zhuǎn)軸的力臂，力的大小F和力臂d的乘積，就叫做力對轉(zhuǎn)軸的力矩M： 為由點O到力的作用點P的矢徑，q為徑矢與力之間的夾角。上述力矩大小為：。力矩不僅有大小，而且有方向。1. 力矩的矢量式（1）力在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)，大?。?，方向：滿足右手螺旋關(guān)系，垂直于與所構(gòu)成的平面。（2）一般情況下，其中為平行轉(zhuǎn)軸的分力，為垂直轉(zhuǎn)軸的分力，這時只有能改變剛體的定軸轉(zhuǎn)動狀態(tài)，因此有：大小為：M=Frsin= Fd（3）單位：2. 合力矩 3. 注意（1）與轉(zhuǎn)動垂直但通過轉(zhuǎn)軸的力對轉(zhuǎn)動不產(chǎn)生力矩；（2）與轉(zhuǎn)軸平行的力對

10、轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩；（3）剛體內(nèi)各質(zhì)點間內(nèi)力對轉(zhuǎn)軸不產(chǎn)生力矩。（4）對于剛體的定軸轉(zhuǎn)動，不同的力作用于剛體上的不同位置（或不同作用方向）可以產(chǎn)生相同的效果。二、定軸轉(zhuǎn)動定律1. 定律的推導(dǎo)如圖所示，剛體上某一質(zhì)點i，質(zhì)量為，繞Oz軸作半徑為的圓周運動。設(shè)質(zhì)點i受外力和剛體中其它質(zhì)點作用的內(nèi)力的作用，并設(shè)這兩種力均在與Oz軸相垂直的同一平面內(nèi)。由牛頓第二定律，質(zhì)點i的運動方程為：切向方程為：法向方程為：上式兩邊各乘以，得：外力矩 內(nèi)力矩若考慮所有質(zhì)點，則由可得令，它為剛體所受的外力矩，因為轉(zhuǎn)動慣量，則有：2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動定律表述表述一：在總外力矩Mz的作用下，所獲得的角加速度與總外力矩的大小成正比

11、，并與剛體對此定軸的轉(zhuǎn)動慣量成反比，這個關(guān)系叫剛體定軸轉(zhuǎn)動定律。=Jd/dt表述二：剛體所受到的對某給定軸的總外力矩等于剛體對該軸的角動量的時間變化率Mz=d(J)/dt=dLz/dt。3. 討論（1）和牛頓第二定律相比較，地位相當(dāng)；（2）瞬時性。同一時刻對同一剛體，同一轉(zhuǎn)軸而言。（3）定軸轉(zhuǎn)動情況下，可以使用雙向標(biāo)量來處理。)三、平行軸定理剛體繞任何一軸的轉(zhuǎn)動慣量J和繞通過其質(zhì)心平行軸的轉(zhuǎn)動慣量JC的關(guān)系：兩軸平行； JC 為剛體繞質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量； d為兩平行軸間距離。思考：如何證明平行軸定理（利用質(zhì)心的定義）。例4-5、4-6：（p.189-192） 作業(yè)：221頁第11題，222第13

12、、14題。第四節(jié) 定軸轉(zhuǎn)動的動能定理本節(jié)通過考慮力對空間的累積作用而引出動能定理。一、力矩作功當(dāng)剛體在外力矩的作用下繞定軸轉(zhuǎn)動而發(fā)生角位移時，力矩對剛體作了功。1. 力矩所作的元功如圖，設(shè)剛體在切向力的作用下，繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過的角位移為。則力的作用點位移的值為。由功的定義得力在這段位移內(nèi)所作的功為考慮對轉(zhuǎn)軸的力矩為，所以力矩所作的元功為：?？梢?，力矩所作的元功等于力矩與角位移乘積。2. 恒力矩所作的功即恒力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功，等于力矩的大小與轉(zhuǎn)過的角度的乘積。3. 變力矩所作的功注意：上兩式的是指作用在繞定軸轉(zhuǎn)動剛體上諸外力的合力矩。即上兩式研究的是合外力矩對剛體所作的功。4. 力矩的功率

13、用于表示力矩作功的快慢。定義：單位時間內(nèi)力矩對剛體所作的功，即： 可見，力矩的功率等于力矩與角速度的乘積。二、剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理合外力矩M對剛體作用使其繞定軸轉(zhuǎn)過角位移時所作的元功為若J為常量，把轉(zhuǎn)動定律代入得：在時間內(nèi)，合外力矩使剛體的角速率從變到時，對剛體所作的功為即 合外力矩對繞定軸轉(zhuǎn)動的剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。三、剛體的重力勢能：如果一個剛體受到保守力的作用取地面坐標(biāo)系，對于一個質(zhì)量為m的剛體，其重力勢能是組成剛體的各個質(zhì)點的重力勢能之和，即：Ep=migh=gmihi,椐質(zhì)心的定義，此剛體的質(zhì)心高度為hc=mihi/m，上式改寫為：Ep=mg

14、hc。一個不太大的剛體的重力勢能與它的質(zhì)量集中在質(zhì)心時所具有的勢能一樣。例題：P195。4-7；P196。4-8。第五節(jié) 剛體的自由度 *剛體的平面平行運動一、 剛體的自由度：1、 自由度的定義：決定系統(tǒng)在窨的位置所需要的獨立坐標(biāo)數(shù)目。例一個行賄點在空間自由運動，它的位置需要三個獨立坐標(biāo)來決定，該質(zhì)點就有三個自由度。2、 剛體自由度：剛體有六個自由度，三平動自由度，三個轉(zhuǎn)動自由度A、 要指出剛體上某定點（例質(zhì)點）的位置，需要三個獨立坐標(biāo)來決定（書圖4-18）；B、 用兩個獨立坐標(biāo)確定通過剛體內(nèi)定點C的直線CA的方位；C、 因為剛體可繞直線CA轉(zhuǎn)動，表征剛體的轉(zhuǎn)動，還需用一個角度。 3、物體運動

15、方程與自由度：物體有幾個自由度，它的運動定律就可歸結(jié)為幾個獨立的方程式。例質(zhì)點數(shù)為N 的系統(tǒng)，每個質(zhì)點能自由運動，則N個質(zhì)點將有3N個自由度，與之對應(yīng)的獨立的方程式也有3N個。二、 剛體的平面平行運動：1、 剛體平面平行運動：剛體運動時，其中各點始終和某一平面保持的距離，或剛體中各點都平行于某一平面而運動。2、 平面平行運動剛體的自由度2 個平動自由度和一個轉(zhuǎn)動自由度。3、 剛體平面平行運動方程：質(zhì)心在OXY平面內(nèi)運動，平動方程為：Fx=macx Fy=macy剛體在X軸、Y軸方向所受合力Fx 、Fy，剛體質(zhì)量m；質(zhì)心加速度acx，macy椐剛體繞通過質(zhì)心并垂直于平面的軸的轉(zhuǎn)動得：Mc=Jc4

16、、 剛體的動能： 書P021圖4-20，車輪在地面沿直線軌跡作純粹滾動（無滑動），質(zhì)心C前進的速度為vc，車輪半徑R，每滾動一周，車輪質(zhì)心前進的距離等于車輪周長，知：x =R對時間t求導(dǎo)得：dx/dt=Rd/dt,vc=R因vc=dx/xt =d/dt; 車輪看著隨質(zhì)心的平動和繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動的合成，則滾動時，輪邊緣上任的速度是V=Vc+r計論：G點，Vc和r大小相等，方向相反，無滑動； RA B RB 同理，在A點Vc和r方向相同 vA=vc+R=2vc RB vB= vc 2+(R)21/2 =21/2vc C 質(zhì)心為基點，剛休體的動能： Ek= mvc2/2+mi(ri )2 A RA RA

17、 = mvc2/2+J2/2 剛體質(zhì)心的全部動能等于質(zhì)心運動的平動動能與剛體對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動動能的和例題：P203。4-9；P206。4-10 G第六節(jié)定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理1、 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量如圖，一剛體以角速度w繞定軸Oz轉(zhuǎn)動，則其上每一個質(zhì)點都以相同的角速度繞軸Oz作圓周運動，任一質(zhì)點對軸Oz的角動量為，于是剛體上所有質(zhì)點對軸Oz的角動量，即剛體對定軸Oz的角動量為：，其中為剛體繞軸Oz的轉(zhuǎn)動慣量，所以剛體對定軸Oz的角動量為：2. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理 （1）剛體定軸轉(zhuǎn)動定理的另一種表述因為作用在第i個質(zhì)點上的合力矩應(yīng)等于質(zhì)點的角動量隨時

18、間的變化率，即包含有外力矩和內(nèi)力矩，但對繞定軸Oz轉(zhuǎn)動的剛體來說，剛體內(nèi)各質(zhì)點的內(nèi)力矩之和應(yīng)為零，即。故由上式可得作用于繞定軸Oz轉(zhuǎn)動剛體的合外力矩M為：即剛體繞某定軸轉(zhuǎn)動時，作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動量隨時間的變化率。注意： 上式更具普遍意義。即使轉(zhuǎn)動慣量J因內(nèi)力作用而發(fā)生變化時，前述的轉(zhuǎn)動定律已不適用，但上式仍然成立。就如較之更普遍的情況一樣。 我們在這里沒有采用矢量描述，要注意實際上我們是使用了分量式，表達式中的有關(guān)物理量可正可負(fù)，為雙向標(biāo)量。（2）力矩對給定軸的沖量矩和角動量定理考慮在合外力矩M的作用下，在時間內(nèi)，剛體的角速度由變?yōu)?。由上式積分得：定義：力矩對給定軸的沖

19、量矩（角沖量）為，則可得角動量定理：即當(dāng)轉(zhuǎn)軸給定時，作用在物體上的沖量矩等于角動量的增量。注意：對定軸轉(zhuǎn)動的剛體來說，J1=J2；但上述定理適用于質(zhì)點系，例如芭蕾舞演員，這時J1可以不等于J2。3. 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量守恒定律當(dāng)時，得J = 恒量。即，如果物體所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的所用，物體的角動量保持不變角動量守恒定律。書P210表4-2例子：（1）動畫演示（2）在日常生活中，符合角動量守恒定律的例子也是很多的。例如，舞蹈演員、溜冰運動員等，在旋轉(zhuǎn)的時候，往往先把兩臂張開旋轉(zhuǎn)，然后迅速把兩臂靠攏身體，使自己對體中央豎直軸的轉(zhuǎn)動慣量迅速減小，因而旋轉(zhuǎn)速度加快。又如跳水運動員在

20、空中翻筋斗時(如圖)，跳水員將兩臂伸直，并以某一角速度離開跳板，跳在空中時，將臂和腿盡量卷縮起來，以減小他對橫貫腰部的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量，因而角速度增大，在空中迅速翻轉(zhuǎn)，當(dāng)快接近水面時，再伸直臂和腿以增大轉(zhuǎn)動慣量，減小角速度，以便豎直地進入水中。例4-11：（p.211） 例4-12：（p.212） 例4-13 例4-14習(xí)題：P。224 4-25 4-26 第三章、第四章例題講解第一部分 公式對照表質(zhì)點的直線運動剛體的定軸轉(zhuǎn)動速度角速度加速度角加速度勻速直線運動勻角速轉(zhuǎn)動勻變速直線運動v=v0+ats=v0+at2/2v2-v02=2as勻變速轉(zhuǎn)動力F，質(zhì)量m牛頓第二定律F=ma力矩M，轉(zhuǎn)動慣量

21、J轉(zhuǎn)動定律M=Jb動量mv，沖量Ft（恒力）動量定理ft=mv-mv0（恒力）角動量Jw，沖量矩Mt（恒力矩）角動量定理Mt= Jw -J0w0（恒力矩）動量守恒定律角動量守恒定律平動動能常力的功動能定理轉(zhuǎn)動動能常力矩的功動能定理第二部分 例題講解例題一 質(zhì)量分別為m1及m2 的二滑塊，分別穿于二平行水平光滑的導(dǎo)桿上，二導(dǎo)桿間的距離為 d，再以一勁度系數(shù)為k1，原長為 d 的輕質(zhì)彈簧連接二滑塊。設(shè)開始m1時位于x1=0處，m2位于x2=l處，且其速度均為零，求釋放后兩滑塊的最大速度分別是多少？解：選擇二滑塊及彈簧組成的系統(tǒng)為研究對象，則系統(tǒng)不受外力作用，只有內(nèi)部保守力作功，因此系統(tǒng)機械能守恒及

22、動量守恒。如圖所示：t=0時刻：彈簧伸長量為：，初動能：EK=0；初始勢能為：t時刻：設(shè)兩滑塊的速度分別為v1和v2，則系統(tǒng)動能，勢能為EPt。由機械能守恒定律可得顯然EPt=0時兩個滑塊的速度達到最大值，因此： （1）由動量守恒定律可得： （2）聯(lián)立方程（1）和（2），即可解得：例題二 某彈簧不遵守胡克定律，若施力F，則相應(yīng)伸長為x，力與伸長的關(guān)系為，求：（1）將彈簧從定長拉伸到定長時，外力需做的功。（2）將彈簧橫放在水平光滑桌面上，一端固定，另一端系一個質(zhì)量為 2.17 kg 的物體，然后將彈簧拉伸到一定長，再將物體由靜止釋放，求當(dāng)彈簧回到時，物體的速率。（3）此彈簧的彈力是保守力嗎？解：

23、（1）外力作的功為（2）根據(jù)動能定理有 （3）為保守力，因為其功只與彈簧的始末位置有關(guān)和運動過程無關(guān)。例題三 質(zhì)量為m的木塊置于一質(zhì)量為M 的鍥上，鍥體傾角為并放在水平桌面上，所有表面都是光滑的，如圖。如果系統(tǒng)由靜止釋放，任其自由運動，當(dāng)木塊滑下h高碰到桌面時，鍥體的速度為多大？解：選桌面為參照系，建立如圖（2）所示的坐標(biāo)系。設(shè) m 相對 M 速度為，M 相對桌面速度為，m相對桌面速度為，則有：圖（1） 圖（2），從而有：注意到水平方向動量守恒：解得： （1）系統(tǒng)機械能守恒： （2）將（1）代入（2）即得當(dāng)木塊滑下h高碰到桌面時，鍥體的速度為： #例題四 兩個質(zhì)量分別為m1和m2的木塊 A 和

24、 B，用一質(zhì)量可以忽略不計，勁度系數(shù)為 k 的彈簧聯(lián)接起來，放置在光滑水平面上，使 A 緊靠墻壁，然后用力推木塊 B 使彈簧壓縮了 x0，然后釋放。已知m1=m，m2=3m，求：（1）釋放后，A、B 兩木塊速度相等時的瞬時速度的大小；（2）釋放后，彈簧的最大伸長量。解：（引導(dǎo)學(xué)生思考分析外力釋放后系統(tǒng)中物體的運動狀態(tài)變化過程和遵循的規(guī)律）。（1）釋放后，彈簧恢復(fù)到原長時，A 要離開墻壁，設(shè)此時B的速度為vB0，由機械能守恒得，。A 離墻后，系統(tǒng)在光滑水平面上運動，動量守恒和機械能守恒，有： （1） （2）當(dāng)時，由（1）式可得：（2）彈簧有最大伸長量時：，代入（2）式得：例題五 如圖，一個質(zhì)量為

25、 m 的物體與繞在定滑輪上的繩子相聯(lián)，繩子質(zhì)量可以忽略，它與定滑輪之間無滑動。假設(shè)定滑輪的質(zhì)量為M 、半徑為 R，其轉(zhuǎn)動慣量為，滑輪軸光滑。試求該物體由 靜止開始下落的過程中，下落速度與時間的關(guān)系。解：如圖，選取向下為坐標(biāo)軸正向，設(shè)物體下落的角速度為a，滑輪轉(zhuǎn)動的角加速度為，根據(jù)牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定律，對m： （1）對M： （2）又因為： （3）聯(lián)立（1）、（2）、（3）解得：，可見物體作勻加速直線運動。由初始條件，得。例題六 如圖所示，A、B兩圓盤可分別繞O1，O2軸無摩擦地轉(zhuǎn)動。重物C系在繩上（繩不伸長），且與圓盤邊緣之間無相對滑動。已知 A、B 的半徑分別為R1，R2，A 、B、C 的質(zhì)量分別為m1，m2，m，求：重物 C 由靜止下降 h 時的速度 v 。解法一：應(yīng)用機械能守恒定律不打滑：有：考慮到： 得： 解法二：（應(yīng)用牛頓第二定律和剛體定軸轉(zhuǎn)動定理）作為課后作業(yè)。例