比例線段的證明

1、“成比例線段”定理及其應用與拓展夏志雄成比例線段問題貫穿平面幾何的相似形與圓兩大章的內(nèi)容，本文將從成比例線段的定義，性質(zhì)及如何證明四條線段成比例問題作出探討。在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么，這四條線段叫做成比例線段。例：如果a、b、c、d四條線段滿足，則a、b、c、d是成比例線段。如果，則ad=bc;如果，則即；如果，則（a、b、c、d為線段，）。證明四條線段成比例問題，是常見的一種類型證明題，此類型題如果能清晰地給學生講明思路，學生將會茅塞頓開，他們的聰明才智和奇妙思想都將一齊涌現(xiàn)出來，得到問題的最佳證明。一、從基本圖形得到四條線段成比例（1）、平行線分線段成比

2、例：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例。如基本圖1，L1/L2/L3，L4交L1、L2、L3于分別于點A、B、C，L5交L1、L2、L3于分別于點D、E、F，則AB/BC=DE/EF（基本圖1）此定理課本幾何第二冊并沒有給出嚴密證明，現(xiàn)證明如下：證明：連AE、BD、CE、BFAD/BE/CFSABE =SBED， SBCE=SBEAB/BC=SABE/SBCE，DE/EF=SBED/SBEFAB/BC=DE/EF（2）、由平行線分線段成比例定理的推論得四條線段成例。如基本圖2、基本圖3（基本圖2）（基本圖3）AD/DB=AE/EC上兩圖，若DE/BC，則 AD/AB=AE/ACBD/A

3、B=CE/AC二、由兩個三角形相似得四條線段成比例這種方法，應用得非常普遍。即把要證明的四條線段放在兩個合適的三角形中，通過證明兩個三角形相似，然后應用兩個三角形對應邊成比例得到證明。此種方法常規(guī)方法大多數(shù)同不都能熟練應用，因此不再贅述。三、引入中介值或替換的思想，得四條線段成比例例1、如圖，過ABCD的頂點A作一條直線與BD、BC、DC的延長線分別交于E、F、G，求證：AE是EF、EG的比例中項。證明：AD/BF，DG/ABEF/AE=BE/DE，AE/EG=BE/DEEF/AE=AE/EG，即AE是EF、EG的比例中項。以上解法就應用了“引入中介值”的方法。它的原理便是利用等式的傳遞性，即A=B，B=C，則A=C。例2、如圖，在ABC中，AD平分BAC交BC于D，AD的垂直平分線交AD于E，交BC的延長線于F，求證：FD2=FBFC證明：連AFEF垂直平分ADFA=FDFAD=FDAFAC=FADDAC，B=FDABAD而FAD=FDA，DAC=BADFAC=B又AFC=BFAFACFBAFC/FA=FA/BF，即FA2=FBFCFD2=FBFC以上解法便利用“FA”取代“FD”，證明取代后的四條線段成比例即可。評注：本文提供的證明四條線段