線性代數(shù)知識點集錦

1、課時授課計劃課次序號： 8 一、課 題：矩陣的初等變換與初等矩陣二、課 型：課堂講授三、目的要求：熟練掌握用初等行變換把矩陣化成行階梯形和行最簡形；知道矩陣等價的概念。知道初等矩陣，了解初等矩陣與初等變換的聯(lián)系。掌握用初等變換求可逆矩陣的逆矩陣的方法。四、重點、難點：矩陣初等變換的方法；用初等變換求逆矩陣的方法。 五、教學(xué)方法及手段：采用課堂講授的方法，并以多媒體課件輔助。六、參考資料：線性代數(shù)學(xué)習(xí)輔導(dǎo)與習(xí)題選解，同濟大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社線性代數(shù)學(xué)習(xí)與考試指導(dǎo)，趙樹源編，中國人民大學(xué)出版社工程數(shù)學(xué)例題與習(xí)題，工程數(shù)學(xué)課程教學(xué)指導(dǎo)委員會本科組編，高等教育出版社七、作業(yè)：P791(1)

2、(3),4八、授課記錄：授課日期班次九、授課效果分析： 十、教學(xué)進(jìn)程（教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)環(huán)節(jié)及時間分配等）1、復(fù)習(xí) 回顧高中階段用消元法解線性方程組所用到的幾種運算。2、導(dǎo)入課題 矩陣的初等變換是矩陣的一種十分重要的運算，它在解線性方程組，求逆矩陣及矩陣?yán)碚摰奶接懼卸伎善鸬街匾淖饔?。為引進(jìn)矩陣的初等變換，先來回憶一下以前所接觸的用消元法解線性方程組。 在用消元法解線性方程組的時候，用到三種變換，即：交換方程的次序；以不等于零的數(shù)乘某個方程；一個方程加上另一個方程的倍。由于這三種變換都是可逆的，所以變換前后的方程組是同解的。 在上述變換過程中，實際上只對方程組的系數(shù)和常數(shù)進(jìn)行運算，未知數(shù)并沒有參與

3、運算。因此把線性方程組的系數(shù)和常數(shù)放在一個數(shù)表里，構(gòu)成方程組的增廣矩陣，即，那么上述對方程組的變換完全可以轉(zhuǎn)化為對增廣矩陣的變換。把方程組的上述三種同解變換移植到矩陣上，就得到矩陣的三種初等變換。 3、教學(xué)內(nèi)容 定義1 下面三種變換稱為矩陣的初等行變換： （1）對調(diào)兩行（對調(diào)兩行，記作） （2）以數(shù)乘某一行中的所有元素（第行乘，記作） （3）把某一行中所有元素的倍加到另一行對應(yīng)的元素上去（第行的倍加到第行上，記作） 把定義中的行換成列，即得矩陣初等列變換的定義。初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換。 顯然，三種初等變換都是可逆的，而且其逆變換是同一類型的初等變換。 如果矩陣經(jīng)過有限次初等變換變成

4、矩陣，就稱矩陣和是等價的，記作。 矩陣之間的等價關(guān)系具有下列性質(zhì)： （1）反身性 ； （2）對稱性 若則； （3）傳遞性 若則。 定義：矩陣稱為行階梯形矩陣，其特點是：可畫出一條階梯線，線的下方全為0；每個臺階只有一行，臺階數(shù)即是非零行的行數(shù)，階梯線的豎線后面的第一個元素為非零元，也就是非零行的第一個非零元。行階梯形矩陣稱為行最簡形矩陣，其特點是：非零行的第一個非零元為1，且這些非零元所在的列的其他元素都為0。對行最簡形矩陣再進(jìn)行初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣，稱為標(biāo)準(zhǔn)型。 例1：設(shè)把化成行最簡形。 上式最后一個矩陣即為矩陣的行最簡形。 矩陣的初等變換是矩陣的一種最基本的運算，它有著廣

5、泛的應(yīng)用。下面我們進(jìn)一步介紹一些有關(guān)知識。 定義2 由單位矩陣經(jīng)過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。 三種初等變換對應(yīng)著三種初等矩陣。 1.對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列 把單位矩陣中第兩行（列）對調(diào)，得初等矩陣 用階初等矩陣左乘矩陣得 其結(jié)果相當(dāng)于對矩陣施行第一種初等行變換：把的第行與第行對調(diào)。類似的，以階初等矩陣右乘矩陣，其結(jié)果相當(dāng)于對矩陣施行第一種初等列變換。 2.以數(shù)乘某行或某列 以數(shù)乘單位陣的第行（或第列） 第行可以驗知：以左乘矩陣，其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)乘的第行；以右乘矩陣，其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)乘的第列。 3.以數(shù)乘某行（列）加到另一行（列）上去 以乘的第行加到第行上或以乘的第列加到第列上，得初等矩陣

6、 可以驗知：以左乘矩陣，其結(jié)果相當(dāng)于把的第行乘加到第行上，以右乘矩陣，其結(jié)果相當(dāng)于把的第列乘加到第列上。 綜上所述，可得下述定理。 定理1 設(shè)是一個矩陣，對施行一次初等行變換，相當(dāng)于在的左邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣；對施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的階初等矩陣。 因為初等變換是可逆的，所以其對應(yīng)的初等矩陣也是可逆的，并且 定理2 方陣可逆的充要條件是存在有限個初等矩陣，使 （證明略） 推論1 方陣可逆的充要條件是。 推論2 矩陣與等價的充要條件是存在階可逆矩陣及階可逆矩陣，使. 設(shè)有階矩陣及矩陣，求矩陣使。如果可逆，則。而當(dāng)可逆時，根據(jù)定理2，有初等矩陣，使，從而。于是 上式表明經(jīng)一系列初等行變換化為，經(jīng)同一系列初等行變換化成，即 例2：求