函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(1)

1、課 題：3. 3函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)(1)教學(xué)目的：1. 理解兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)法則，學(xué)會用法則求一些函數(shù)的導(dǎo)數(shù).2理解兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)法則，學(xué)會用法則求乘積形式的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)+教學(xué)重點(diǎn)：用定義推導(dǎo)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)的積的求導(dǎo)法則的推導(dǎo).授課類型：新授課課時安排：1課時教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 *教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)y = f(x)在x=x。處附近有定義，如果x 0時，：y與x的比衛(wèi)(也叫函數(shù)的平均變化率) 有極限即 竺無限趨近于某個常數(shù)，ZAx我們把這個極限值叫做函數(shù)y = f(x)在XT x0處的導(dǎo)數(shù)，記作y X芻，即f(Xo

2、二X) - f(Xo)Ax2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：是曲線y = f (x)上點(diǎn)(x0, f (x0)處的切線的斜率+因此，如果y二f(x)在點(diǎn)X0可導(dǎo)，則曲線y = f (x)在點(diǎn)(X0, f (X0)處的切 線方程為 y - f (x0) = f / (x0)(x-x0 )，3.導(dǎo)函數(shù)(導(dǎo)數(shù))：如果函數(shù)y二f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)， 此時對于每一個(a,b)，都對應(yīng)著一個確定的導(dǎo)數(shù)f/(x)，從而構(gòu)成了一個新的函數(shù)f/(x),稱這個函數(shù)fix)為函數(shù)y = f(x)在開區(qū)間內(nèi)的 導(dǎo)函數(shù)，簡 稱導(dǎo)數(shù)，4可導(dǎo)：如果函數(shù)y二f (x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)每一點(diǎn)都有導(dǎo)數(shù)，則稱函數(shù)y

3、=f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)+5. 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系： 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)X。處連續(xù)，反之不成立函數(shù)具有連續(xù)性是函數(shù)具有可導(dǎo)性的必要條件，而不是充分條件.6. 求函數(shù)y二f (x)的導(dǎo)數(shù)的一般方法：(1) 求函數(shù)的改變量 冷二f (x ：C；x)f(X).(2) 求平均變化率衛(wèi)(x x)-f(x)AxAx(3) 取極限，得導(dǎo)數(shù) y/ = f (x) = lim -y +7.常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：C = 0 ; (xn)= nxnJL ； (sinx) = cosx ； (cosx)=-sinx.二、講解新課：法則1兩個函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這

4、兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即 (u _v)y f_v +證明：令 y = f(x) =u(x)二v(x),：y =u(x：x) _v(x：x) _u(x)_v(x)二u(x：x)u(x) -v(x：x) -v(x) = u - v ,AyAu Av* *=x=x=x3(u也 u也 vlim ljmlim lim -0 -x収_0 , Lxx x .x=0 =x即 u(x) _v(x)二 u(x)_v(x).法則2兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)，加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即 (uv)二uv uv證明：令 y = f (x) = u(x)v(x)，則y = u(

5、x x) v(x ：x) - u(x)v(x)二 u(x =x) v(x、=x) - u(x) v(x ： =x) + u(x) v(x =x) - u(x)v(x),v(x ： _x) -v(x)m = u(xx)-u(x)v(x“)+ u(x)因為v(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，所以它在點(diǎn) x處連續(xù)，于是當(dāng)x 0時,v(x x) v(x)，從而yu(x . ：x) u(x)v(x . ：x) v(x)limlimv(x -x) +u(x) lim XT xJ0x.x_o：x二 u(x)v(x)u(x)v(x),即 y = (uv)二 uv uv.說明：(uv)nuv, (uv) = u v；(Cu)

6、二 Cu Cu = O Cu = Cu常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)兩個可導(dǎo)函數(shù)的和、差、積一定可導(dǎo)；兩個不可導(dǎo)函數(shù)和、差、積不一定不可導(dǎo).三、講解范例：3例1 求y=x +sin x的導(dǎo)數(shù).解: y =(x3+sin x)，=(x3)，+(sin x)，=3x2+cosx例2求y=x4 x2 x+3的導(dǎo)數(shù).42,4,23解：y =(x x x+3) =(x ) (x ) x +3 =4x 2x 1,2例3求y = 2x -3x5-4的導(dǎo)數(shù).解：y二 3x2 6x 5.例4求y =(2x3)(3x -2)的導(dǎo)數(shù).解：y = (2x23)(3x-2)(2x23)(3x-2)4x(

7、3x 2) (2x2 3) 3 = 1 &2 -8x 9 +例 5 y=3x2+xcosx，求導(dǎo)數(shù) y .22解: y =(3x +xcosx) =(3 x ) +(xcosx)=3 2x+x cosx+x(cos x) =6x+cosx+xsin x10例 6 y=5x sin x 2 . x cosx 9，求 y .解：y =(5x1sinx 2 xcosx 9) =(5 x10sin x) (2X cosx) 9 =5(x10) sin x+5x10(sin x) 2( , x) cosx+2、x (cos x) 0=5 10x9sin x+5x10cosx ( 2 X2 cosx 2、

8、Xsin x)2=50x9sin x+5x10cosx-cosx+2 Jx sin xVx=(50x9+2 . x )sin x+(5x10 )cos x四、課堂練習(xí)：1. 求函數(shù)的導(dǎo)數(shù).32(1) y=2 x +3x 5x+4323222解：(2 x+3x-5x+4) =(2x ) +(3x) -(5x) +4 =2 3x+3 2x-5=6 x+6x-5(2) y=sin x x+1解: y =(sin x x+1) =(sin x) x +1 =cosx 1 y=(3x2+1)(2 x)222解：y = : (3 x +1)(2 x): =(3x +1) (2 x)+(3 x +1)(2

9、x)2 2=3 2x(2 x)+(3 x +1)( 1)= 9x +12x 12(4) y=(1 + x )cos x222解: y =(1 + x)cosx =(1 + x ) cosx+(1 + x )(cos x)22=2xcosx+(1 + x )( sin x)=2xcosx (1+ x )sin x2. 填空：2 2 2 2(1) C (3 x+1)(4 x 3): =( )(4 x 3)+(3 x+1)()解：(3x +1)(4 x 3): =(3x +1) (4x 3)+(3 x +1)(4 x 3)2 2 2 2=3 2x(4 x 3)+(3 x +1)(4 2x)=(6 x)(4 x 3)+(3 x +1)(8 x)(2) ( x3sin x) =( ) x2sin x+x3()解:(x3sinx)=(x3) sinx+x3(sinx) =(3)x2sin x+x2(cos x)3. 判斷下列求導(dǎo)是否正確，如果不正確，加以改正23322:(3+ x )(2 x): =2x(2 x )+3x (3+x )232323解：不正確.(3+x) (2 x): =(3+x ) (2 x ) + (3 + x )