北京市高考試題立體幾何大全

1、側(cè)（左）視圖正（主）視圖2011 -2017北京市高考試題立體幾何匯編1、（2011文5）某四棱錐的三視圖如右圖所示，該四棱錐的表面積是（）A. 32B. 16+16 .2C. 48D. 16+32.22、（2011理7）某四面體的三視圖如右圖所示，該四面體四個面的面積中最大的是（）A. 8 B. 6 2C.10 D. 8 23、（2012理7,文7）某三棱錐的三視圖如右圖所示, 該三棱錐的表面積是（）A. 28 6亦B. 30 6苗C. 56 12,5D. 60 12,54、（2013，文8）如右圖，在正方體 ABCD- AB1C1D中，P為對角線BD的三等分點(diǎn)，P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值A(chǔ)

2、. 3個 B . 4個 C . 5個 D . 6個5、（2013，文10）某四棱錐的三視圖如下圖所示，該四棱錐的體積為 .5卄H- I 2H斷左拠圖7、（2014,理7）在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中，已知 A(2,0,0)，B(2,2,0)，D1ABCC1& （2013,理14）如右圖，在棱長為2的正方體ABCD ABGUC(0,2,0)，D（1,1，運(yùn)），若S，S2，S3分別表示三棱錐標(biāo)平面上的正投影圖形的面積，則(A) SS2S3(B) S S2 且 S S3（C） S Q 且 S2 2（ D） S3 且 S S38、（2014,文11）某三棱錐的三視圖如右圖所示，則該 三棱錐的最長棱的棱

3、長為 .ABC 在 xOy， yOz， zOx 坐正（主）視圖側(cè)（左）視圖9、（2015理5）某三棱錐的三視圖如下圖所示，則該三 棱錐的表面積是俯視圖中，E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段D1E上，點(diǎn)P到直線CG的距 離的最小值為.B. 4.5A. 25D. 5側(cè)（左）視圖* i *M10、（ 2015文7）某四棱錐的三視圖如右圖所示，該四棱錐最長棱的棱長為(A)1(B)(D)2as11、（ 2016理6）某三棱錐的三視圖如右圖所示, 則該三棱錐的體積為（）A.丄 B.丄 C.丄 D. 1側(cè)左）視團(tuán)63212、（2016文11）某四棱柱的三視圖如右圖所示，則該四棱柱的體積為正（主）視圖側(cè)（左;視低13

4、、（2017理7）如右圖，某四棱錐的三視圖如圖所示, 則該四棱錐的最長棱的長度為（）（A）3 2（ B） 2 3（C） 2 2（D） 214、( 2017 文 6)某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的體積為（）(A) 60(C) 2015、（ 2017理16）如下圖，在四棱錐 P-ABCD中，底面ABCD為正方形，平面 PAD丄平面ABCD點(diǎn)M在線段PB上, PD/平面 MAC，PA=PD= . 6，AB=4.俯視圖（I）求證：M為PB的中點(diǎn);（II）求二面角B-PD-A的大小;（III）求直線MC與平面BDP所成角的正弦值.,wE16、（ 2017文 18）如圖，在三棱錐 P1ABC中，P

5、A丄 AB, PA丄 BC, AB丄 BC, PA=AB=BC=2,D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).(I) 求證：PA丄BD；(U)求證：平面BDE丄平面PAQ(川)當(dāng)PA/平面BDE時，求三棱錐E-BCD的體積.17、（2016理17）如右圖，在四棱錐P-ABCD中 平面PADL平面ABCDPA!PD， PA=PD AB丄 AD AB=1, AD=2 AC=CD=5.(l) 求證：PD丄平面PAB(U)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值；(m)在棱PA上是否存在點(diǎn) M使得BM/平面PCD若 存在，求 竺的值，若不存在，說明理由.18、(2016文18)如圖，在四棱錐P- ABCD中

6、，PC丄平面 ABCD , DC 丄 AC .(I )求證：DC丄平面PAC ;(II) 求證：平面 PAB丄平面PAC ；(川)設(shè)點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，在棱PB上是否存在點(diǎn)F，使得PA丄平面CEF , 說明理由.19、(2015文18)如圖，在三棱錐 E-ABC中，平面EAB丄平面ABC三角形EAB為等邊三角形，AC丄BC,且AC=BC= ,O,M分別為AB,EA的中點(diǎn)。(1) 求證:EB/平面MOC.(2) 求證：平面MOQ平面EAB.(3) 求三棱錐E-ABC的體積。20、(2015理17)如圖，在四棱錐A EFCB中， AEF 為等邊三角形，平面 AEF 平面EFCB，EF II BC，

7、BC 4 , EF 2a， EBC FCB 60 ,O 為 EF 的中點(diǎn).(I )求證：AO BE ;(I)求二面角F AE B的余弦值；8O(川)若BE 平面AOC，求a的值.ABG中，側(cè)21、(2014文17)如圖，在三棱柱 ABC 棱垂直于底面，AB BC , AA, AC 2 為AG、BC的中點(diǎn).(1) 求證：平面 ABE 平面B.BCC,;(2) 求證：GF/平面ABE ；(3) 求三棱錐E ABC的體積.22、(2014理17)如圖，正方形AMDE的邊長為2，B、C分別為AM、MD的中點(diǎn),在五棱錐P ABCDE中，F(xiàn)為棱PE的中點(diǎn)，平面 ABF與棱PD、PC分別交于點(diǎn)G、H .(I

8、)求證：AB / FG ;(U)若PA 平面ABCDE，且PA AE，求直線BC與平面ABF所成角的大小,并求線段PH的長.BiB23、(2013理17)如圖，在三棱柱 ABC ABC中,長為4的正方形.平面 ABC 平面AA.GC , AB 3(D求證：AA 平面ABC ；(D求證二面角A bg B!的余弦值；BC(D證明：在線段BG上存在點(diǎn)D，使得AD AB，并求誥的值.24、(2013 文 17)如圖，在四棱錐 P ABCD中, AB/ CD, AB 丄 AC，CD= 2AB,平面 PADL 平面 ABCD PAX ADE 和 F 分別 是CD和PC的中點(diǎn).求證：PA丄底面ABCDBE/

9、平面PAD 平面BEFX平面PCD25、(2012，文 16)如圖 1,在 Rt ABC中，/C=90，D, E分別為AC AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F為 線段CD上的一點(diǎn)，將厶AD0ft DE折起到 ADE 的位置，使AF丄CD如圖2。(I)求證：DE/平面ACB(II) 求證：AF丄BE(III) 線段AB上是否存在點(diǎn)Q使AC丄平面DEQ說明理由26、(2012 理 16)如圖 1，在 Rt ABC 中， 別為AC、AB上的點(diǎn)，且DE / BC，DE 置，使AC CD，如圖2 .(I)求證：AC 平面BCDE ;(U)若M是AiD的中點(diǎn)，求CM與平面AiBE所成角的大小；(E)線段BC上是否存在點(diǎn)P，

10、使平面ADP與平面ABE垂直？說明理由.C 90，BC 3，AC 6，D、E 分2，將 ADE沿DE折起到 AiDE的位27、(2011理16)如圖，在四棱錐P ABCD中，PA 平面ABCD，底面ABCD 是菱形，AB 2, BAD 60。(I )求證：BD 平面PAC(U)若PA AB，求PB與AC所成角的余弦值；(川)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時，求PA的長；28、(2011 文 17)如圖，在四面體 PABC中，PCI AB, PAL BC, 點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).(I)求證：DE/平面BCP (U)求證：四邊形 DEF助矩 形；(川)是否存在點(diǎn)Q,至

11、V四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相 等？說明理由.11PAD，所以O(shè)P 平面ABCD.答案：1、B2、C3、B4、B5、36、二 7、D58 2 2 9、C 10、C11、A12、3313、B14、D215、(I)設(shè)AC,BD交點(diǎn)為E，連接ME .因?yàn)镻D /平面MAC，平面MAC什平面PDB ME，所以 PD/ME因?yàn)锳BCD是正方形，所以E為BD的中點(diǎn)，所以 M為PB的中點(diǎn)(II)取 AD的中點(diǎn)0，連接OP , OE .因?yàn)镻A PD，所以O(shè)P AD .又因?yàn)槠矫?PAD 平面 ABCD，且OP 平面因?yàn)镺E 平面ABCD，所以O(shè)P OE.因?yàn)锳BCD是正方形，所以 OE AD .如圖建

12、立空間直角坐標(biāo)系O xyz，則 P(0,0,2) , D(2,0,0) , B( 2,4,0),BD (4, 4,0) , PD(2,0, .2).n BD = 0 4x-4y =0設(shè)平面EQF的法向量為科=(兀nJ,則* 即廠)i-PD= 0=0令工=1,貝F二 1, 2-J1 Tm =(Ll:/2)平面PAD的法向量為& =（0丄0）,所以=- =-HIE 2由題知二面角 B PD A為銳角，所以它的大小為 -.3(III )由題意知M ( 1,2,，C(2,4,0)mC (3,2,設(shè)直線MC與平面BDP所成角為 ，則sin| cos|n|所以直線 MC與平面BDP所成角的正弦值為 乙6

13、.916、解:（I）因?yàn)镻A AB，PA BC，所以PA 平面又因?yàn)锽D 平面ABC，所以PA BD .（II）因?yàn)锳B BC，D為AC中點(diǎn)，所以BD AC，由（I）知，PA BD，所以BD 平面PAC .所以平面BDE平面PAC.（Ill）因?yàn)镻A/平面BDE，平面PAC|平面BDE DE , 所以PA/DE.因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以 DE 1 PA 1 , BD DC 22由（1）知，PA 平面ABC,所以DE 平面PAC .所以三棱錐11E BCD 的體積 V 1 BD DC DE 1.6317、(I)證明：平面 PADL平面 ABCD且平面PAD?平面ABCD=A， 且AB丄AD AB

14、?平面ABCD AB丄平面PAD PD?平面 PAD AB丄 PD,又 PDL PA 且 PAH AB=A PDL平面 PAB(U)解：取AD中點(diǎn)為O,連接CO POv CD=AC=-, COL AD,又 v PA=PD PCL AD.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖:則 P (0 , 0 , 1), B (1 , 1 , 0), D(0 ,(2 , 0 , 0),則丄-1丄，則由-nPD=0 z0_t,得f-za-i=o，則二訃.1, 1）:nPC=02“一1二2設(shè)PB與平面PCD的夾角為9設(shè)；，丨為平面PCD的法向量,a-PB|n|PB|,貝- I - : - - 1 .1（川）解：

15、假設(shè)存在M點(diǎn)使得BM/平面扎，M (0, yi, zi),PCD由(U)知，A (0, 1 , 0), P (0, 0,1)， 1), B( 1, 1, ),k1-1AJ!=(O, yj - 1, 2 !則有宀身可得M （0, 1 入，入） 二甬二（-1= k、X ）， BM/平面PCD n=（p - 1（ 1）為平面PCD的法向量, 畫*1=0,即務(wù)入十k二，解得入彳.綜上，存在點(diǎn)M,即當(dāng)訃-丄時，M點(diǎn)即為所求.18、證明：（I ）因?yàn)镻C丄平面ABCD，所以PC丄DC ,又因?yàn)镈C丄AC ,所以，DC丄平面PAC .(n )因?yàn)?AB/DC , DC 丄 AC，所以 AB 丄 AC ,又因

16、為PC丄平面ABCD，所以AB丄PC ,所以AB丄平面PAC .由AB?平面PAB ,所以平面PAB丄平面PAC .(川)棱PB上存在點(diǎn)F，使得PA丄平面CEF，理由如下:取PB的中點(diǎn)F，連結(jié)EF,CE,CF .因?yàn)辄c(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，所以EF/PA .又因?yàn)镻A不在平面CEF內(nèi)，所以PA/平面CEF .19、解:(1)因?yàn)?,M分別為AB,VA的中點(diǎn)，所以O(shè)M / VB .又因?yàn)閂E平面MOC,所以VB/平面 MOC.(II)因?yàn)锳C = BC, O為 AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C AB.又因?yàn)槠矫鎂AB 平面ABC，且0C 平面ABC ,所以0C 平面VAB .所以平面MOC 平面VAB .(III

17、)在等腰直角三角形 ACB中，AC BC 、2 ,所以 AB 2 , OC 1 .所以等邊三角形VAB的面積S Vab 、3 .又因?yàn)?C 平面VAB ,29所以三棱錐C VAB的體積等于1OC3S VAB又因?yàn)槿忮FVABC的體積與三棱錐C VAB的體積相等,ABC的體積為B (2,J3 (2-a), 0),EA= (-a, 0,3a ),所以三棱錐V20、解：(I)因?yàn)?AEF是等邊三角形，O為EF的中點(diǎn),所以AO丄EF.又因?yàn)槠矫?AEF丄平面EFCB AO 平面AEF, 所以AO丄平面EFCB.所以AO丄BE.(H)取BC中點(diǎn)G,連接OG.由題設(shè)知EFCB是等腰梯形,所以O(shè)G丄EF.由

18、(I)知AO丄平面EFCB 又OG 平面EFCB所以O(shè)A丄OG.如圖建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則 E (a,0,0) , A (0, 0, 辰),BE = (a-2,3 (a-2) ,0)設(shè)平面ABE的法向量為n= (x,y,z)則:ax 3az 0?(a 2)x 3(a 2)y0令 z=1，則 x= . 3 , y=-1.于是 n= ( .3 , -1,1)平面AEF是法向量為p= (0,1,0) 所以 cos (n, p)=由題知二維角F-AE-B為鈍角，所以它的余弦值為(出)因?yàn)?BEX平面AOC,所以BE丄OC,即因?yàn)?BE= (a-2 ,.3 (a-2),所以 BE oC =-2

19、 (a-2) -3 (a0.0), OC= (-2,J3 (2-a), 0),21、(1)2)2.由 BEoC 0及0a2,解得證明：I三棱柱ABC - A1B1C14a= .3中，側(cè)棱垂直于底面,IBB1 1AB 1AB IBC, BB1 ABC=B ,1AB IB1BCC1,1AB?平面 ABE ,I平面 ABE IB1BCC1；(I)證明：取 AB中點(diǎn)G,連接EG, FG,則IF是BC的中點(diǎn)，IFG1AC , FG=AC,2IE是A1C1的中點(diǎn)，IFGIEC1, FG=EC1,I四邊形FGEC1為平行四邊形，IC1F UEG,IC1F?平面 ABE , EG?平面 ABE ,IC1F 平

20、面 ABE ;(I)解：IAA i=AC=2 , BC=1 , AB IBC,1AB=二，I/eabc=S區(qū) 訕層希 XVX1X2 =22、解： （I）在正方形 AMDE中，因?yàn)锽是AM的中 點(diǎn)，所以AB/DE .又因?yàn)锳B 平面PDE，所以AB/平面PDE.因?yàn)锳B ABF ,且平面ABH I平面PDE FG , 所以 AB/FG .(II)因?yàn)?PA 底面 ABCDE，所以 PA AB, PA AE.D如圖建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)yz，則A 0,0,0 ，B 1,0,0 ,C 2,1,0 , P 0,0,2 , F 0,1,1 , BCaB的法向量為 n x, y, z，貝U n B n AF

21、1,1,0 設(shè)平面ABF0,，即0,0, 0 令 Z1，則y1所以n0, 1,1 .設(shè)直線BC與平面ABF所成角為則sincos n,1 .因此直線BC與2平面ABF所成角的大小為 n .設(shè)點(diǎn)6的坐標(biāo)為U,V,W 因?yàn)辄c(diǎn)H在棱PC上，所以可設(shè)pH Pc 01，即 u,v,w2,1,2 .所以u2因?yàn)閚是平面 ABF的法向量，所以n AH 0 ,即卩0,1,1 2 ,20.解得2，所以點(diǎn)3H的坐標(biāo)為4,-,-.所以PH3 3 324 323、解：（1）因?yàn)锳A1C1C為正萬形，所以AA1丄AC.因?yàn)槠矫鍭BC丄平面AA1C1C，且AA1垂直于這兩個平面的交線 AC,所以AA1丄平面ABC.(2)

22、由(1)知 AA1 丄AC, AA1 丄AB.由題知 AB = 3, BC = 5, AC = 4,所以 AB丄AC.如圖，以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz,則B(0,3,0),Ai(0,0,4),Bi(0,3,4),Ci(4,0,4).設(shè)平面AiBCi的法向量為n= (x, y, z),則令 z= 3,則 x= 0, y= 4,所以 n= (0,4,3).同理可得，平面BiBCi的法向量為m = (3,4,0).所以cos n,mn m|n|m|1625由題知二面角A1- BC1- B1為銳角,所以二面角A1- BC1- B1的余弦值為16 .25設(shè)D(x, y, z)是直線BC1上

23、一點(diǎn)，且BD = 嬴 ,所以(x, y- 3, z) = 2(4， 3,4).=0,即 9 -25 A 0,解得解得x= 4入y= 3 3入z= 4入 所以AD = (4人3-3入4；).925因?yàn)?0,1,所以在線段BC1上存在點(diǎn)D ,使得AD丄A1B.25此時,BDBC192524、證明：(1)因?yàn)槠矫鍼ADL底面ABCD且PA垂直于這兩個平面的交線 AD所以PA!底面ABCD(2)因?yàn)?AB/ CD CD= 2AB, E 為 CD的中點(diǎn),所以AB/ DE且A吐DE所以ABED為平行四邊形.所以BE/ AD又因?yàn)锽E 平面PAD AD 平面PAD所以BE/平面PAD 因?yàn)锳B丄AD而且AB

24、ED為平行四邊形,所以BE丄CD AD丄CD由(1)知PA丄底面ABCD所以PAL CD所以CDL平面PAD所以CDL PD因?yàn)镋和F分別是CD和 PC的中點(diǎn),所以PD/ EF所以CDL EF.所以CDL平面BEF所以平面BEFL平面PCD25、所UPF/f平何I由已知職心捫X腕C斫以PJ- ffj IU 1U：丄 “ * DE M n Tnn紈段M上存在點(diǎn)4便“丄乎血處6理由如珀 如賂分蹈取g的申點(diǎn)P。則F0E、乂百為M： 所以DE尸0*所以平曲DEQ即為平曲DEP由(11、歸h 口上丄F曲衛(wèi)所収DE丄丿.IM力P鏈竽腰.(陋DA.C底進(jìn)A,C的中總所取右（?丄DF ffiU J.C丄呷啣D

25、EPArfii jfjCL t lftl DEQ *故線段 Afi 1.1? A A a * it fij “丄 T 曲 DEQ 26、解：（1） CD DE , AE DEDE 平面ACD ,又 AC平面ACDACDE又ACCD ,AC平面BCDE（2 ）如圖建系 C xyz，則 D 2 ,0,0 , A 0 , 0, 2 3 ,B 0, 3 , 0 , E 2 , 2 , 00,設(shè)平面3 ,2 3 , AiEABE法向量為n則 A1B n 0 . 3y 2 3z AE n 0 2x y3y2y2又1,n1 ,0,3cos(3)設(shè)線段|CM | |n|14 313與平面ABE所成角的大小45則A1P0, a ,2 3 ,DP 2,設(shè)平面ADP法向量為1X1 , % ,則ay12 3z10 .z_;3ay162x1ay10x1ay12.n3a , 6,3a假設(shè)平面LLA DP與平面A BE