內(nèi)切球和外接球例題

1、6x = 3,正六棱柱的底面圓的半徑d距離2 外接球的半徑R 二V 土=13的半徑為R294 .故其外接球高考數(shù)學(xué)中的內(nèi)切球和外接球問題一、直接法（公式法）1、求正方體的外接球的有關(guān)問題例1若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為. 27 兀.例2 一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上，若該正方體的表面積為24，則該球的體積為. 4血.2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問題例3（2007年天津高考題）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為 1,2,3，則此球的表面積為 .14 .例4、（ 2006年全國(guó)卷I ）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4,體積為16

2、，則這個(gè)球的表面積為（）.C.A 16兀b 20兀c 24兀D 32兀3求多面體的外接球的有關(guān)問題例5. 一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的9頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為8，底面周長(zhǎng)為3,則這個(gè)球的體積為.解 設(shè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)為 x，高為h，則有1 r 二2，球心到底面的二、構(gòu)造法（補(bǔ)形法）1、構(gòu)造正方體例5 （2008年福建高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為J3，則其外接球的表面積是 . 9兀解 據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，把這個(gè)三棱錐可以補(bǔ)成 一個(gè)棱長(zhǎng)為 3的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球設(shè)其外接球R 則有（

3、2R）2 =（V3）2+（）2 +（73）2 = 92的表面積s = 4兀R = 9兀.小結(jié) 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為a b c，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng) 就是該三棱錐的外接球的直徑 設(shè)其外接球的半徑為 R，則有2只=b2 c2 . 出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體?！纠}】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為皿衛(wèi)，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。解：因?yàn)椋洪L(zhǎng)方體外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)所以：四面體外接球的直徑為_二的長(zhǎng)即：二T二“ 丄、匸：；- |： - :：-所以二-上球的表

4、面積為二二：莊二：例6.一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)都為、2，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（）A. 3B. 二C. 3 3D. 6 二解析：一般解法，需設(shè)出球心，作出高線，構(gòu)造直角三角形，再計(jì)算球的半徑在此，由于所有棱長(zhǎng)都相等，我們聯(lián)想只有正方體中有這么多相等的線段，所以構(gòu)造一個(gè)正方體，再尋找棱長(zhǎng)相等的四面體，四面體A-BDE滿足條件，即AB=AD=AE=BD=DE二BE2，由此可求得正方體的棱長(zhǎng)為1,體對(duì)角線 為 3，從而外接球的直徑也為3，所以此球的表面積便可求得，故選A.例7在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2 , DAB=60 0, E為AB的中點(diǎn)，將UDE與BEC分布沿ED、EC

5、向上折起，使A、B重合于點(diǎn)P ,則三棱錐P-DCE的外接球的體積為（）.解析：因?yàn)?AE=EB=DC=1 ，厶 DAB二 N CBE二N DEA=60 0，所以AD = AE二EB二BC二DC二DE二CE=1 ，即三棱錐P-DCE為正四面體，至此，這 與例6就完全相同了，故選 C.例8 .已知球。的面上四點(diǎn)A、B、C、D , DA _平面ABC , AB 一 BC ,DA=AB=BC= 3，則球O的體積等于.解析：本題同樣用一般方法時(shí)，需要找出球心，求出球的半徑而利用長(zhǎng)方體模型很快便可找到球的直徑，由于DA 一平面ABC , AB 一 BC，聯(lián)想長(zhǎng)方體中的相應(yīng)線段關(guān)系，構(gòu)造長(zhǎng)方體，又因?yàn)閐a=

6、ab=bc=-.,3 ,則此長(zhǎng)方體為正方 體，所以CD長(zhǎng)即為外接球的直徑，利用直角三角形解出 CD=3 .故球。的體積等9H于2.2、構(gòu)造長(zhǎng)方體例9.已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，AB 平面BCD , BC DC , 若AB二6,AC=2、13,AD=8，則球的體積是 .解析：首先可聯(lián)想到例 8，構(gòu)造下面的長(zhǎng)方體，于是 AD為球的直徑，0為 球心，0B=0C=4為半徑，要求B、C兩點(diǎn)間的球面距離，只要求出BOC即B.A. 27所示 由球的截面的性質(zhì)，可得 001丄平面ABCD .可，在Rt ABC中，求出BC=4，所以 BOC=60，故b、C兩點(diǎn)間的球面距4離是3三. 多面體幾何性質(zhì)法例

7、1 0.已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4,體積為16,則這個(gè)球的表面積是A. 16兀& 20兀c. 24 兀d. 32兀2解 設(shè)正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為 x，外接球的半徑為 R，則有4x 16，解得 x =2.2R =血 吃+牢二2慮二R =怡.這個(gè)球的表面積是24二R =24二.選c.小結(jié) 本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球 的直徑”這一性質(zhì)來求解的又SO1 平面ABCD ,.球心0必在SO1所在的直線上. ASC的外接圓就是外接球的一個(gè)軸截面圓，外接圓的半徑就是外接球的半徑.在人ASC 中，由 SA= SC = 5/2, AC = 2，得 SA2 + SC2 = AC2

8、 .AC1也ASC是以AC為斜邊的Rt也.2是外接圓的半徑，也是外接球的半徑4-V球二故3 .五.確定球心位置法例11.在矩形ABCD中，AB = 4, BC = 3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B - AC - D，則四面體ABCD的外接球的體積為四. 尋求軸截面圓半徑法例11.正四棱錐S - ABCD的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為2，點(diǎn)S、A、B、C、D都在同一球面上，則此球的體積為 .解 設(shè)正四棱錐的底面中心為 01，外接球的球心為 0，如圖1125_.125_.125_.125JITITL兀A. 12B. 9C. 6D. 3解 設(shè)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)為0，則由矩形對(duì)角線互相平分，可知0A

9、 = 0B = 0C=0D. .點(diǎn)O到四面體的四個(gè)頂點(diǎn)A、B、C、D的距離5R = 0A 丄2 故相等，即點(diǎn)。為四面體的外接球的球心，外接球的半徑V 球二 4 - R33125JI6 選C.【例題】：已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球：的球面上,解：拡丄汀且二73+7513 = 10所以可得圖形為:RthABC中斜邊為竺，在RtPAC中斜邊為AC，取斜邊的中點(diǎn)RtAABCOA= OB = OC，在RtPACOP = OB = OC所以在幾何體中OP= OB= CC= OA，即為該四面體的外接球的球心，所以該外接球的體積為遇到失意傷心事，多想有一個(gè)懂你的人來指點(diǎn)迷津，因他懂你，會(huì)以我心，換你心，站在你的位置上思慮，為你排優(yōu)解難。一個(gè)人，來這世間，必須懂得一些人情事理，才能不斷成長(zhǎng)。就像躬耕于隴畝的農(nóng)人，必須懂得土地與種子的情懷，才能有所收獲。一個(gè)女子，一生所求，莫過于找到一個(gè)懂她的人，執(zhí)手白頭，相伴終老。即使蘆花暖鞋，菊花枕頭，也覺溫暖；即使粗食布衣，陋室簡(jiǎn)靜，也覺舒適，一句懂你”叫人無怨無悔，愿以自己的一生來交付。懂得是彼此的欣賞，是靈魂的輕喚，是惺惺相惜，是愛，是暖，是彼此的融化；是走一段很遠(yuǎn)的路，驀然回首卻發(fā)現(xiàn)，我依然在你的視線里；是回眸相視一笑的無言；是一條偏僻幽靜的小路，不顯山，不露水，路邊長(zhǎng)滿你喜愛的花草，靜默無語(yǔ)卻馨香盈懷，而路的