完整版)超松弛迭代法

1、7.3 逐次超松弛迭代法7.3.1 SOR 迭代公式逐次超松弛 (Successive Over Relaxation)迭代法，簡稱 SOR 迭代法，它是在 GS 法基礎上為提高收 斂速度，采用加權平均而得到的新算法，設解方程(7.1.3)的 GS 法記為(7.3.1)再由 與 加權平均得這里 0 稱為松弛參數，將 (7.3.1)代入則得(7.3.2)稱為 SOR迭代法， WTBX 0稱為松弛因子，當 =1時(7.3.2)即為 GS 法，將(7.3.2)寫成矩陣形式， 則得即于是得 SOR 迭代的矩陣表示(7.3.3)其中(7.3.4)按(7.1.7)分解，有例 7.7 給定方程組解 用 SO

2、R 迭代公式 (7.3.2) 可得取，迭代 7 次后分別為若要精確到小數后 7位，對 =1(即 GS法)需迭代 34次，而對 =1.25的 SOR法，只需迭代 14次.它表 明松弛因子 選擇的好壞，對收斂速度影響很大 .7.3.2 SOR 迭代法收斂性根據迭代法收斂性定理， SOR 法收斂的充分必要條件為，收斂的充分條件為，但要計算 比較復雜，通常都不用此結論，而直接根據方程組的系數矩陣A 判斷 SOR 迭代收斂性，下面先給出收斂必要條件 .定理 3.1 設 ，則解方程 的 SOR 迭代法收斂 的必要條件是 0 2.證明 由 SOR 迭代矩陣 的表達式 (7.3.4)于是另一方面，設 的特征值

3、為 ，由特征根性質，有若 SOR 法收斂，則 ，由 ，則得 02.證畢 .定理 3.2 若對稱正定， 且 02，則解 Ax=b 的 SOR迭代法 (7.3.3)對迭代收斂.證明 設 的特征值為 (可能是復數 )，對應特征向量 x0,由(7.3.4) 得因 為實對稱矩陣，故, 上式兩邊與 x 作內積，得(7.3.5)因A 正定，故 D 也正定，記.又記， ,由復內積性質得于是由 (7.3.5) 有由于 A 正定及 0 2，故于是注：當 =1時 SOR法即為 GS法，故 GS法也收斂，此即為定理 2.5(1)的結論 .對于 SOR 迭代法，松弛因子的選擇對收斂速度影響較大，關于最優(yōu)松弛因子研究較為

4、復雜，且已有不少理論結果 .下面只給出一種簡單且便于使用的結論定理 3.3 設 為對稱正定的三對角矩陣，是解方程 (7.1.3)的 J 法迭代矩陣，若，記 ，則 SOR 法的最優(yōu)松弛因子 為(7.3.6)(7.3.7)根據定理，,如圖 7-1 所示 .由(7.3.7)可知，當 =1，時，收斂速度為說明 GS法比 J 法快一倍 .例 7.8 對例 7.7 中的方程組，用 SOR 迭代法求最優(yōu)松弛因子 ，并研究其收斂速度 解 由于是對稱正定的三對角矩陣， SOR 迭代收斂 .故，而 SOR 最優(yōu)松弛因子故.若要使誤差，由，取 k=12 即可 .例 7.7 中取 =1.25 已近似，故它收斂很快，實

5、際計算時迭代 14 次可達到小數后 7 位精度.對 =1的 GS 法，由達到與 SOR 法的同樣精度迭代次數故 k 34與實際計算結果相符講解：SOR 迭代法只是 GS法與歸值 的加權平均，計算公式為（ 7.3.2），迭代矩陣為（ 7.3.4），通常只是對 A 對稱正定的方程組使用 SOR 法，而松弛因子 選擇較困難，一般選擇 對于A 為對稱正定的三對角陣則最好最有因子 為 ，其中 為 J 法的 迭代矩陣。此時 SOR 的迭代矩陣譜半徑為 ，注意不要具體求 ，更不要去計算 的特征值。如例 7.8 中所示，求得 ，則 ，從而可以求得 SOR迭代的收斂 速度 .本章小結】1.本章主要內容是用迭代法

6、求解線性方程組，重點為J法，GS法和 SOR迭代法，首先必須掌握各種迭代法的計算公式和迭代矩陣的表達式以及迭代法收斂的充分必要條件和充分條件，并用這些理論 判別方程組 Ax=b 的收斂性，為此（1）對所構造迭代法能寫出具體的迭代矩陣B 并利用 判別方法收斂性。（2）對不滿足充分條件的方程組或 A 帶有參數的方程組判別收斂性通常要求迭代矩陣 B 的特征值及譜半徑 ，并由1 判別迭代法是否收斂。（ 3）要掌握與迭代法相關的向量序列及矩陣序列 的收斂性結論。（ 4）利用迭代矩陣譜半徑，計算迭代法漸近收斂速度 ,從而比較各種迭代法收斂的快慢。2用J法，GS法和 SOR法求解方程組 Ax=b.（1）對給定方程組寫出 3 種迭代法的計算公式，并能正確求出方程組的解（ n較大時可用計算機 編程計算）。（2）寫出 J法 GS 法的迭代矩陣并利用迭代矩陣范數和譜半徑判別其收斂性。（3）對這 3種方法首先要直接從方程的系數矩陣 A 判定是否嚴格對角占優(yōu)或不可約弱對角占優(yōu)或 對稱正