【100所名校】2019屆吉林省長春市實驗中學(xué)高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、名姓 封 卷 訂 只 不 級班 2019屆吉林省長春市實驗中學(xué) 高三上學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)（理）試題 數(shù)學(xué) 注意事項： 1 答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試題卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘 貼在答題卡上的指定位置。 2 選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，寫 在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 3 非選擇題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙 和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。 4 考試結(jié)束后，請將本試題卷和答題卡一并上交。 5.現(xiàn)有2門不同的考試要安排在連續(xù)的5天之內(nèi)進(jìn)行，每天最多考一門，且不能連續(xù)兩天有

2、 考試，則不同的安排方案有 A . 6 種 B. 8 種C. 12 種 D. 16 種 6 歐陽修賣油翁中寫到：（翁）乃取一葫蘆置于地，以錢覆其口，徐以杓酌油瀝之，自錢孔 入，而錢不濕可見 行行出狀元”，賣油翁的技藝讓人嘆為觀止若銅錢是直徑為3 cm的圓，中間 有邊長為1 cm的正方形孔，若你隨機(jī)向銅錢上滴一滴油，則油 的概率是 9? A 帀 B 7.已知定義域為 的解集為 (2, +8 （油滴的大小忽略不計）正好落入孔中 9亠4? 4?C.9D R的偶函數(shù)?（?在 （- 1 B (0,2) U(2, +8 設(shè)m、n是兩條不同的直線, 4 9? g, 0上是減函數(shù), 且？?（1）= 2，則不等

3、式？?（?？? 2 C.(0,三)U D .(V2, +8 ? ?是兩個不同的平面，下列命題是真命題的是 一、單選題 1 ? 1 已知：=a+ i （a, b R）,其中i為虛數(shù)單位，則 a+ b等于 A - 4 B 4 C.-10 D 10 2.下列說法中，正確的是 A 命題 若am2bm2，則aO的否定是 對任意的x R, x2 x1堤x2”的充分不必要條件 3如圖為某幾何體的三視圖，則其體積為 1 t 的值是 若？?/?,?/?,則?/? 若? ?丄？?則？丄? B.若?/?, ?/?則?/? D . 若? ?丄？?則？丄? 已知?為正項等比數(shù)列，？?是它的前？項和，若?= 16，且？?

4、與?的等差中項為8，則？? A . 29 B.30C.31 D . 32 10. 已知 |lg?,? 0 ?(?= 即 log 2x 1 或 log 2x v- 1 ； 1 解可得x 2或0 v ?v 故選：B. 【點睛】 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是通過對函數(shù)奇偶性、單調(diào)性的分析，得到 關(guān)于x的方程. 8. C 【解析】 【分析】 在A中，a與3相交或平行；在 B中，m/B或m? 在C中，由面面垂直的判定定理得 a丄B；在D中，ml與3相交、平行或m? 3- 【詳解】 由m, n是兩條不同的直線，a,3是兩個不同的平面，知： 在A中，若m/ a, m /3，貝y a與3相交或

5、平行，故 A錯誤； 在B中，若m/ a, a/3，貝y m/3或m? 3,故B錯誤； 在C中，若m? a, m丄3，則由面面垂直的判定定理得a丄3,故 C正確； 在D中，若m? a, a丄3,則 ml與3相交、平行或 m? 3,故D錯誤. 故選：C. 【點睛】 本題考查命題真假的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間中線線、線面、面面間 的位置關(guān)系的合理運用. 9. C 【解析】 好教育云平臺 名校精編卷答案第3頁(共14頁)好教育云平臺 名校精編卷答案第4頁(共14頁) 【分析】 設(shè)正項等比數(shù)列的公比為 q,運用等比數(shù)列的通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，求出公比，再由 等比數(shù)列的求和公式，計算

6、即可得到所求. 【詳解】 設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q， 則 a4=16q3, a7=16q6， 1 由圖可得方程f ( x)弓和f ( x) =1共有5個根， 即函數(shù)y=2f 2 (x)- 3f (x) +1有5個零點， 故選：B. 【點睛】 本題考查函數(shù)圖象的變化與運用，涉及函數(shù)的周期性，對數(shù)函數(shù)的圖象等知識點，關(guān)鍵是作 出函數(shù)的圖象，由此分析兩個函數(shù)圖象交點的個數(shù). 好教育云平臺 名校精編卷答案第6頁(共14頁)好教育云平臺 名校精編卷答案第6頁(共14頁) 則有S5= 9 a4與a7的等差中項為8， 8 即有a4+a7= 4 9 即 16q3+16q6, =4， 解得q=2 (負(fù)值舍去)，

7、 1 ?(1-?5)16 X (1- 25) 1-? = =31 - 故選：C. 【點睛】 本題考查等比數(shù)列的通項和求和公式的運用，同時考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查運算能力，屬 于中檔題. 10. B 【解析】 【分析】 11. C 【解析】 【分析】 由題意利用絕對值三角不等式求得n=6,在二項展開式的通項公式中，令x的幕指數(shù)等于 0，求出r的值，即可求得展開式中x2項的系數(shù). 【詳解】 T f (x) =|x+2|+|x - 4| (x+2 ) -( x - 4) |=6,故函數(shù)的最小值為 6, 再根據(jù)函數(shù)的最小值為n,.n=6 . 則二項式(x-n= (x-；? 6展開式中的通項公式為 +1

8、 = ?(- 1) r?x6-2r, 令6 - 2r=2，求得r=2 ,展開式中x2項的系為?=15 , 故選：C. 【點睛】 本題主要考查絕對值三角不等式的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù), 12. C 的根，畫出函數(shù) (x) = |?0 2?, ? 0 21?, ? ?(7)，即?(?得最小值為- 點睛：本題考查數(shù)列的遞推公式即等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，解題時注意 ? ? 1?4? 17 . ( 1) ?=-，單調(diào)遞減區(qū)間是2? - ,2?+, k Z ; ( 2) ?(?) sin(?-) + 32? 云(0 ?*三). 【解析】 【分析】 故答案為：2. 由向量?與?勺夾角為

9、 60, ?= (2, 0), |?=1, 1 可得 |?=2, ?=|?Eos60 =2?=?, 則 |2?=W?+ 4?+ 4? = v4 + 4 + 4=2 v3 . 故答案為：2 v3. 【點睛】 本題考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，主要是向量的模的平方即為向量的平方，考查運算求 解的能力，屬于基礎(chǔ)題. 14. 2 【解析】 【分析】 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合確定z的最大值 【詳解】 作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖：(陰影部分). 、 F y- 1iI1I1 f化 0, b 0)的一條漸近線與直線 x+3y+ 1=0垂直. 雙曲線的漸近線方程為 y

10、= 3x ? 近=3，得 b2=9a2, c2- a2=9a2, ? 此時，離心率 e=?= Vl0. 故答案為：v10 . 【點睛】 本題給出雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的離心率，考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡單幾何性 質(zhì)等知識，屬于基礎(chǔ)題. 29 16. 三 【解析】由題可設(shè)？?= 1,?= ?，則？?+?= ?+ ? ?+?+ ?= 2，則數(shù)列?是以2為 首項，2為公差的等差數(shù)列，？?= 2 + (?- 1) ac 1 +號幣-1，當(dāng)且僅當(dāng)？?+1 =吊:幣？ ?= 儷-1 ? i5? (1 )利用二倍角的正弦和余弦公式降幕，化為y=?+(?6? + 2+ ?的形式，把點(百, 0)代入函數(shù)

11、解析式求得 m的值，再代入函數(shù)解析式后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)f (x)的單 調(diào)遞減區(qū)間； (2)對(1)中所求函數(shù)f (x)求0到t上的積分，即求被積函數(shù) f (x)的原函數(shù)，代入 積分上限和下限后作差得答案. 【詳解】 (1) ? ?2? (x) = v3si n2cos2+cos22+m 上？?？?？?+ ? 2 2 2 ? 1 =?(? + 2 + ? (2)確定Z的可能取值為：2，3，4，5，6，8.用樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率 視為概率，可得 Z的分布列，從而可求數(shù)學(xué)期望. 【詳解】 (1) 由題意在抽取的 30件產(chǎn)品中一等品有 6件，二等品有9件，三等品有15件， 6

12、 12 3b 1 故該廠生產(chǎn)一等品概率為P1=：=，二等品概率為 P2 =.三等品概率為 P3= =. (2) 由題意得：Z的可能取值為2、3、4、5、6、8，而從該廠大量產(chǎn)品中任取兩件取得一 等品、二等品、三等品是相互獨立的，故： 111丄3 丄339 P(Z = 2) = X = I，P(Z = 3) = 2X.X|j=il，P(Z = 4) =：XI：=I：, 111丄丄丄丄丄丄 P(Z = 5) = 2X * X - = ， P(Z= 6) = 2 X I X，=.= .?，P(Z = 8) = E X = J.-. Z的分布列為 好教育云平臺 名校精編卷答案第11頁(共14頁)好教育

13、云平臺 名校精編卷答案第10頁(共14頁) f (x)的圖象過點(百，0), 6 ?+ ?) + 1+ ?= 0,解得?= - 1 - f ( x) ? = ?+(?, Z 2 3 4 5 6 8 P liol F9 I 而 3 251 25 =(- 3 ?) .?3?4? 由 _ + 2?実？?+ w + 2?得+ 2?姿?)| 0、2 2八 2 20 丿I 弓? ?(? + 弓 ? 2? ?(? ?-?(? + 二(0 V ?) 323 【點睛】 本題主要考查二倍角公式、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)及定積分等 基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、

14、函數(shù)與方程思想，是中檔 題. 131 18. ( 1) 、二、三等品的概率分別為 -,T7,2； ( 2)分布列見解析，均值為3.8. 5102 【解析】 【分析】 (1)由樣本數(shù)據(jù)，結(jié)合行業(yè)規(guī)定，確定一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件，即 可估計該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品的一等品率、二等品率和三等品率； 】39】3 齊 E(Z) = 2X+ 3X + 4X.|：；.；+ 5X + 6X + 8X 亠 3.8. 【點睛】 本題考查統(tǒng)計知識，考查離散型隨機(jī)變量的分布列與期望，解題時利用樣本的頻率分布估計 總體分布，將頻率視為概率. 19. ( 1)證明見解析；(2)-耳. 【解析】 【分析】 (1)

15、 取AD的中點為O,連接PQ CQ說明PQLAD證明CQLAD然后證明 ADL平面 POC 推出 ADL PC (2) 證明？?L平面？?分別以 附?？方向為？軸，？軸，？軸的正方向建立空間直 角坐標(biāo)系？?- ?求出平面？?與平面？?的法向量代入公式即可 . 【詳解】 (1) 取 ?的中點為?連接?,? / ?為等邊三角形，?L?.? 底面？?中?可得四邊形？?為矩形， ?!? / ? ?= ? 廬沒摘珞卷 ?1平面？?？ / ?平面?，?:. ?L ? 又?/? ? 所以?L ? （2）由面?面?L ?知, ?平面? : ?兩兩垂直， 直線?與平面？?所成角為30 即/ ?=?30 由? 2

16、,知?= 得?= 1. 分別以？?洌?的方向為？?由，？軸，？軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系？?- ? 則？?（o,o,v3）, ?（o,i,o）, ?（i,o,o）,?（i,-i,o）, :?=（o,i,o）,?=（1,0, - v3）,?=（-1,1,0） 設(shè)平面?的?法向量為（?,?） ?= 0 - : -則？= （v3, 0,1）, ?- v3?= 0 設(shè)平面?的?法向量為卵=（?） 75 : |?+ |? = 3 + = 4,： ?= 2 , 又 ?= 1，: ?=?- ? = 3 , ? ? ：橢圓方程是：-4 + -3 = 1 (n)設(shè)？?中點為?(?(?,?)，因為以? ?為鄰邊

17、的四邊形是菱形, 貝 y ?l? 設(shè)直線？?的方程為？?= ? 1, ?= ? 1, 聯(lián)立 ?整理得(3?2 + 4)?尸 + 6? 9=0 , + = 1 43 ?在橢圓內(nèi)，： ? 0恒成立, ?+ ?=晟, -3? :? = +4，: ?= -?= -1 , ?(?+ -3? 3?2+4 4 2 -? 3?2 +4 整理得?=麗冷, -?, -v3?= 0 V5 刃? 4 2 V7 cos?= 隱|即 2v7 = 7， 由圖可知二面角？?- ? ?勺余弦值-2 : ?菁 0 則(需昉,1), 【點睛】 ?字 0，: 3?2 + 4 (4,+) , ： ? (0,-), 所以？的取值范圍是（

18、0,；）. 本題直線與平面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想 象能力以及計算能力. ? ? 1 20.（ 1） 丁 + 丁= 1；（ 2） ?的取值范圍是（0,4） 【解析】 試題分析：（1）運用題設(shè)條件及橢圓的定義進(jìn)行求解；（2）依據(jù)題設(shè)條件運用直 線與橢圓的位置關(guān)系進(jìn)行分析探求： 試題解析： 解：（I）拋物線？ = 4?的焦點為（1,0）, 5CC 2 |?= ?+ 1 = 3，: ?= 3， : ?= 3 必，: ? (2)由 xf 增減性得到h （x） 【詳解】 ? (x)為x - a解出a%；,設(shè)h -1 ? ?+2 一 /(x)=r因為 x2 0,

19、?- ?+ 2 0 恒成 99999997 ，所以求出h（x），討論h （x）的 的最小值讓a小于等于最小值即可得到 a的范圍. 好教育云平臺 名校精編卷答案第11頁（共14頁）好教育云平臺 名校精編卷答案第12頁（共14頁） 2 (1)函數(shù) O (x)= x ? In x 的定義域為(0,+ ). 由題意得O (x) = 1 + ?2- ?=? 因為? 0 ?- ?+ 2 0恒成立, 所以函數(shù)O(X)恒為正, 函數(shù)O(X的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,+ )，無遞減區(qū)間. ? (2) x e,. xIn x ax a? X ?-. ?- ? -1 令 p(x)=話?伙 e,+m )，貝V p (x)

20、= ?) 1 當(dāng) x e 時，(x In x 1) = 1 -0, 函數(shù)y= X In X 1在e,+s )上是增函數(shù), x In x 1 e In e 1 = e 20 , p (x)0 , p(x)在e,+s )上是增函數(shù), ? p(x)的最小值為p(e) = ?1, ?w _Z? ?-1 ? 實數(shù)a的取值范圍為(-g,?j. 【點睛】 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性, 求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直 接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題 22.( 1) C2的普通方程為(？2 2)2 + ?

21、= 12 ; ( 2)|?= 2 . 【解析】 oo oo 試題分析：(1)求出5的普通方程，設(shè)？?(?)則由于？? 2?得到？?(2?,?)，將？?坐標(biāo) (H)曲線C1的極坐標(biāo)方程為?- 2?cos? 2=0，將？?= ；?弋入，可得？?= 2，因此？的極 r ? 坐標(biāo)為(2,-); 曲線C2的極坐標(biāo)方程為？ - 4?cos? 8= 0,將？?= 代入，可得？?= 4，因此？勺極坐標(biāo)為 ? (4, 3). 所以 |?= 4-2=2. 考點：極坐標(biāo)方程與參數(shù)方程、普通方程的互化 23.( 1) ?0 ? 4;( 2)(-巴-2. 【解析】 4- 2? 1 試題分析：(I)?= 3 時，?(?= 2,1 ? 3 .分當(dāng)？? 1 時，當(dāng) 1 ? 3