MS.Excel在偏微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué)中的應(yīng)用

1、MS.Excel 在偏微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué)中的 應(yīng)用Application of MS.Excel on Experimental and Practice Teaching of Numerical Solution to Partial Differential Equation/Gulayat Hayat ， Dilara Mahsut ， Rahmatjan IminBased on the weighted implicit finite scheme of one-dimensional diffusion equation， use initial and boundar

2、yconditions determined matrix equations of weighted implicit finite scheme. Combineduse matrix function ， iterative calculation and iteration function of MS.Excel to calculate the numerical solution of the problem. Through drawing image and animation visually demonstrated the dynamic solution of pro

3、blem by using numeric ， figure and movecoherently. Interactive platform was established to study numerical solution and simulation with different weighted coefficients. The result shows thatnumerical results which obtained from MS.Excel are notonly intui-tive ， fast and accurate ， flexible ， but als

4、o to study easy and simple. So MS.Excel is a simple，intuitive and efficient tools for experimental andpractice teaching of Numerical Solution to Partial Differential Equation.1 前言現(xiàn)實(shí)生活和實(shí)際工程中的很多現(xiàn)象和特性， 以偏微分方程來 描述。一般這些偏微分方程的形式比較復(fù)雜，很難找到解析解， 要用數(shù)值計(jì)算方法離散這些方程才能確定其數(shù)值解。作為信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè)的重要專業(yè)課， 偏微分方程數(shù)值解 的主要內(nèi)容之一是有限差分方

5、法， 其基本思想是先把問題的定義 域進(jìn)行網(wǎng)格剖分， 然后在網(wǎng)格點(diǎn)上， 按適當(dāng)?shù)臄?shù)值微分公式將微 商換成差商， 把原問題離散化為差分格式， 從而將微分方程問題 轉(zhuǎn)化成為相應(yīng)的差分方程問題 1 。課程內(nèi)容中主要討論不同偏微分方程的各種差分格式的推 導(dǎo)及其收斂性和穩(wěn)定性的分析， 教學(xué)內(nèi)容枯燥， 學(xué)生的學(xué)習(xí)積極 性不高， 教學(xué)效果不佳， 主要原因是理論教學(xué)脫離實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教 學(xué)。隨著我國經(jīng)濟(jì)發(fā)展和科學(xué)技術(shù)水平的不斷提高， 在教學(xué)環(huán)境 中計(jì)算機(jī)已普遍使用， 教學(xué)改革越來越重視理論與實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的 結(jié)合，越來越重視能解決實(shí)際問題的應(yīng)用型人才的培養(yǎng)。因此， 在偏微分方程數(shù)值解教學(xué)中， 講清每一個(gè)偏微分方程的實(shí)際

6、應(yīng)用 背景的同時(shí)， 應(yīng)當(dāng)加強(qiáng)實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐性教學(xué)環(huán)節(jié)， 這樣在啟發(fā)學(xué)生 的學(xué)習(xí)興趣、增強(qiáng)教學(xué)效果的同時(shí)， 可以不斷提高學(xué)生親自動(dòng)手， 用科學(xué)計(jì)算的方法解決實(shí)際問題的能力。偏微分方程數(shù)值解的實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué)是用高級(jí)計(jì)算機(jī)語言 編寫程序求解問題的數(shù)值解并進(jìn)行數(shù)值模擬 2-3 ，但掌握編程 語言并達(dá)到編程水平非短期所能學(xué)會(huì)。普及性較高、入門容易、 操作簡單的應(yīng)用軟件 MS.Excel 不僅具有一般的函數(shù)運(yùn)算和圖表 處理功能，還有較強(qiáng)的循 ?h 迭代計(jì)算以及矩陣運(yùn)算功能。合理 正確地組合使用這些功能，可以解決很多問題 4-8在一維情況差分格式為顯格式時(shí)，用 MS.Excel 的復(fù)制迭代 功能可以求解問題 9

7、-10 ；差分格式為隱格式時(shí)出現(xiàn)線性方程 組，此時(shí)先求解線性方程組，然后確定問題的解，但不能實(shí)時(shí)動(dòng) 態(tài)顯示求解結(jié)果。本文以一維擴(kuò)散方程用加權(quán)隱式差分格式求解問題為例， 用 MS.Excel 的矩陣運(yùn)算功能直接求解線性方程組，然后用 MS.Excel 的繪制圖像和循環(huán)迭代計(jì)算功能結(jié)合求解加權(quán)隱式差 分格式方程，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)求解， 動(dòng)態(tài)可視化模擬演示和交互性模板。 此模板選擇不同加權(quán)系數(shù)情況下，計(jì)算和模擬演示一維擴(kuò)散問 題，說明 MS.Excel 可以作為偏微分方程數(shù)值解實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐教學(xué) 的一種簡單、直觀、高效的輔助工具。 2 一維擴(kuò)散方程 加權(quán)隱式差分格式的推導(dǎo)一維擴(kuò)散方程：初始和邊界條件分別為：u

8、(x, 0) =g (x) , aw xw b； u(a, t) =, u (b, t) =(t) , t 0。將區(qū)域a , b x 0 , T進(jìn)行剖分，用t和h分別表示時(shí)間t 方向和空間 x 方向的網(wǎng)格步長。其中, h=( b-a )/J , J 表示內(nèi) 點(diǎn)的個(gè)數(shù)；xj=a+jh , j=0 , 1,J; t =T/N (N為正整數(shù))， tn=n t , n=1,2, . , N；用ujn表示方程(1)中在離散點(diǎn)(xj , tn )處的數(shù)值解。對(duì)u (x, t )，關(guān)于時(shí)間t，用向后差分；關(guān)于 X,用中心 差分，得方程( 1)的差分格式：( 2)關(guān)于時(shí)間t，用向前差分；關(guān)于X,同樣用中心差分

9、，得到 方程( 1)的差分格式改寫成：( 3)將。和1- e (ow e w 1)分別乘方程(2)和(3),其結(jié) 果相加整理得到如下加權(quán)隱式差分格式：其中，入=T / (h2), j=0 , 1, . , M n=1, 2, . , No初始條件變?yōu)椋簎j0=g (xj ), j=0 , 1, . , J。邊界條件變?yōu)椋簎1n=, uJn = (tn) , n=1, 2, . , N。差分格式( 4)的穩(wěn)定性條件為：當(dāng) 0w e 內(nèi)填“ =Sheet! $A$27: $A$37” 在 “Y 軸系列值(Y)” 內(nèi)填=Sheet1! $E$27: $E$37” 再選擇“添加”，在“系列名稱”內(nèi)填“

10、解析解”，在“X 軸系列值（X）”內(nèi)填“ =Sheet!$A$27:$A$37,在 “Y 軸系列值（Y）” 內(nèi)填“ =Sheet1! $F$27:$F$37;按“確定”鍵后對(duì)圖形進(jìn)行修飾，得圖4所示結(jié)果。以上所說操作完成以后，按住功能鍵 F9,隨著單元格M2值 的循環(huán)變化，相應(yīng)時(shí)刻的數(shù)值解和解析解變化，從而“數(shù)”“形”及“動(dòng)”連貫的數(shù)值解和解析解圖的變化達(dá)到動(dòng) 態(tài)模擬演示目的。4 結(jié)論本文利用 MS.Excel 的函數(shù)運(yùn)算、矩陣運(yùn)算、迭代循環(huán)計(jì)算 和函數(shù)圖像繪制等功能， 提出以擴(kuò)散方程用加權(quán)隱式差分格式求 數(shù)值解為例，用“數(shù)”“形”及“動(dòng)”連貫直觀的動(dòng)態(tài)模擬顯示的方法。 本方法具有很好的交互性， 通過改 變加權(quán)系數(shù)， 對(duì)不同加權(quán)數(shù)可以進(jìn)行數(shù)值計(jì)算和數(shù)值模擬， 直觀 和方便地觀察到不同加權(quán)系數(shù)對(duì)數(shù)值解的影響。最重要的是 MS.Excel 簡