概率論知識點(diǎn)

1、第一章隨機(jī)事件及其概率 .1隨機(jī)事件 概率論與數(shù)理統(tǒng)計是一門研究隨機(jī)現(xiàn)象量的規(guī)律性的數(shù)學(xué)學(xué)科，是近代數(shù)學(xué)的重要組成 部分，同時也是近代經(jīng)濟(jì)理論的應(yīng)用與研究的重要數(shù)學(xué)工具。 （一）隨機(jī)試驗(yàn)的概念 為了研究隨機(jī)現(xiàn)象， 就要對客觀事物進(jìn)行觀察。 觀察的過程稱為試驗(yàn)。 概率論里所 研究的試驗(yàn)成為隨機(jī)試驗(yàn)，隨機(jī)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)： （1）在相同的條件下試驗(yàn)可以重復(fù)進(jìn)行； （2） 每次試驗(yàn)的結(jié)果具有多種可能性，而且在試驗(yàn)之前可以明確試驗(yàn)的所有可能結(jié)果； （3）在每次試驗(yàn)之前不能準(zhǔn)確地預(yù)言該次試驗(yàn)將出現(xiàn)哪一種結(jié)果。 （二）隨機(jī)事件的概念 在概率論中，將試驗(yàn)的結(jié)果稱為 事件。 每次試驗(yàn)中，可能發(fā)生也可能不發(fā)生，

2、 而在大量試驗(yàn)中具有某種規(guī)律性的事件稱為隨機(jī) 事件（或偶然事件），簡稱為事件。通常用大寫拉丁字母 、J、等表示。在隨機(jī)事件 中，有些可以看成是由某些事件復(fù)合而成的，而有些事件則不能分解為其它事件的組合。這 種不能分解成其它事件組合的最簡單的隨機(jī)事件稱為基本事件。例如，擲一顆骰子的試驗(yàn)中， 其出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，“1點(diǎn)”、“2點(diǎn)”、“6點(diǎn)”都是基本事件。 奇數(shù)點(diǎn)”也是隨機(jī)事件，但它 不是基本事件。它是由 “1點(diǎn)”、“3點(diǎn)”、“5點(diǎn)”這三個基本事件組成的，只要這三個基本事件 中的一個發(fā)生，奇數(shù)點(diǎn)”這個事件就發(fā)生。 每次試驗(yàn)中一定發(fā)生的事件稱為 必然事件，用符號二表示，每次試驗(yàn)中一定不發(fā)生的事 件稱為不可能

3、事件，用符號表示。例如，在上面提到的擲骰子試驗(yàn)中，點(diǎn)數(shù)小于7”是必 然事件。 點(diǎn)數(shù)不小于7”是不可能事件。 （二）事件的集合與圖示 研究事件間的關(guān)系和運(yùn)算，應(yīng)用點(diǎn)集的概念和圖示方法比較容易理解，也比較直觀。 對于試驗(yàn)的每一個基本事件，用只包含一個元素二的單點(diǎn)集合匕表示；由若干個基 本事件復(fù)合而成的事件，用包含若干個相應(yīng)元素的集合表示；由所有基本事件對應(yīng)的全部元 素組成的集體集合稱為 樣本空間。由于任何一次試驗(yàn)的結(jié)果必然出現(xiàn)全部基本事件之一，這 樣，樣本空間作為一個事件是必然事件，仍二以表示。每一個基本事件所對應(yīng)的元素稱為 樣本空間的樣本點(diǎn)。因而，可以把隨機(jī)事件定義為樣本點(diǎn)的某個集合。稱某事件發(fā)

4、生，就是 當(dāng)且僅當(dāng)屬于該集合的某一個樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)。不可能事件就是空集；。必然事件就 是樣本空間二。于是事件間的關(guān)系和運(yùn)算就可以用集合論的知識來解釋。 為了直觀，人們還經(jīng)常用圖形表示事件。一般地，用平面上某一個方（或矩）形區(qū)域表 示必然事件，該區(qū)域內(nèi)的一個子區(qū)域表示事件。 （三）事件間的關(guān)系及其運(yùn)算 1. 事件的包含 如果事件發(fā)生必然導(dǎo)致 J事件發(fā)生，即屬于的 的每一個樣本點(diǎn)也都屬于 J,則稱 事件J包含事件，或稱事件含于事件J。記作 BdA 的一個等價說法是：如果 一不發(fā)生，必然導(dǎo)致 忙也不會發(fā)生。顯然對于任何事 件，有 0c/匚 Q 2. 事件的相等 如果事件包含事件丄，事件J也包含事

5、件，稱事件與J相等。即與J中的 樣本點(diǎn)完全相同。記作 A = B 3. 事件的并（和） 兩個事件、J中至少有一個發(fā)生，即：1或J ”的所有樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。記作 “個事件人.中至少有一個發(fā)生，是一個事件，稱為事件人：的和，記作 可列個事件 二 二的和表示可列個事件 二 二中至少有一個事件發(fā)生， 記作 勿或Cm i-l2-1 4. 事件的交（積） 兩個事件4與E同時發(fā)生，即 叨且月”，是一個事件，稱為事件 蟲與E的交。它是由 既屬于又屬于一的所有公共樣本點(diǎn)構(gòu)成的集合。記作 .!或廠爲(wèi) 5. 事件的差 事件發(fā)生而事件J不發(fā)生，是一個事件，稱為事件與J的差。它是由屬于 但不 屬于J的那些樣本點(diǎn)構(gòu)成的

6、集合。記作 A-B 6. 互不相容事件 如果事件與J不能同時發(fā)生，即-中，稱事件 二與一 互不相容（或稱互斥）。 互不相容事件 與J 沒有公共的樣本點(diǎn)。顯然，基本事件間是互不相容的。 7. 對立事件 事件 非稱為的對立事件（或逆事件）。它是由樣本空間中所有不屬于的樣本 點(diǎn)組成的集合。記作 顯然，丄：、小二二 J J,_i 二 8.完備事件組 若事件-人為兩兩互不相容的事件，并且 完備事件組。 -構(gòu)成一個 各事件的關(guān)系及運(yùn)算如圖1-1中圖形所示。 BA 點(diǎn)數(shù)小于 例1擲一顆骰子的試驗(yàn)，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：事件乂表示 奇數(shù)點(diǎn)”；占表示 5C表示小于5的偶數(shù)點(diǎn)”。用集合的列舉表示法表示下列事件: 解；Q

7、 = (lf2,33J.6) j4-1,35 C-2p4 A + B = 2r3t4)A-B-(5 B-A = 2f4) AB = 3) ACCA = 2,4 5+5 = 11,2,30 例2從一批產(chǎn)品每次取出一個產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn)（每次取出的產(chǎn)品不放回），事件二表示 第次取到合格品 山。試用事件的運(yùn)算符號表示下列事件：三次都取到了合格品; 三次中至少有一次取到合格品； 三次中恰有兩次取到合格品； 三次中最多有一次取到合格品。 解：三次全取到合格品： 十； 三次中至少有一次取到合格品： -1 -； 三次中恰有兩次取到合格品： 4A 4+AAA + 三次中至多有一次取到合格品： 4+44+44 例3

8、一名射手連續(xù)向某個目標(biāo)射擊三次，事件二表示該射手第次射擊時中目標(biāo) 0=12.3） 。試用文字?jǐn)⑹鱿铝惺录?+ 4；4；4 *4+4； 444； A -為;為4；4 * 4； *44； 前兩次中至少有一次擊中目標(biāo): :第二次射擊未擊中目標(biāo)； 1心：三次射擊中至少有一次擊中目標(biāo); 二一 ：三次射擊都擊中了目標(biāo)； 匚匚 心 ：第三次擊中但第二次未擊中目標(biāo); 前兩次均未擊中目標(biāo); 4二妁4 :后兩次中至少有一次未擊中目標(biāo); 二11 口口 ：三次射擊中至少有兩次擊中目標(biāo)； 2概率 概率論研究的是隨機(jī)現(xiàn)象量的規(guī)律性。因此僅僅知道試驗(yàn)中可能出現(xiàn)哪些事件是不夠 的，還必須對事件發(fā)生的可能性大小的問題進(jìn)行量的

9、描述。 （一）概率的統(tǒng)計定義 前面提到隨機(jī)事件在一次試驗(yàn)中是否發(fā)生是不確定的，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中， 它的發(fā)生 卻具有統(tǒng)計規(guī)律性。所以應(yīng)從大量試驗(yàn)出發(fā)來研究它。為此，先看下面的試驗(yàn)： 擲硬幣10次，正面”出現(xiàn)6次，它與試驗(yàn)總次數(shù)之比 0.6;擲骰子100次，“1點(diǎn)”出現(xiàn) 20次，與試驗(yàn)總次數(shù)之比為 0.2。 可見，僅從事件出現(xiàn)的次數(shù)， 不能確切地描述它出現(xiàn)的可能性的大小，還應(yīng)考慮它出現(xiàn) 的次數(shù)在試驗(yàn)總次數(shù)中所占的百分比。 在次重復(fù)試驗(yàn)中，若事件發(fā)生了心次，則:I】稱為事件發(fā)生的頻率。同樣若事 件J發(fā)生了次，則事件J發(fā)生的頻率為、二。如果中必然事件，有，即必然事件 的頻率是1。顯然，不可能事件的頻

10、率一定為0，而一般事件的頻率必在 0與1之間。如果 事件與J互不相容，那么事件丄-的頻率為卅：；門。它恰好等于兩個事件頻率的 和冷廠卜。這稱之為頻率的可加性。前人擲硬幣試驗(yàn)的一些結(jié)果列于結(jié)果列于表1-1。 試驗(yàn)者 拋擲次數(shù) 正面出現(xiàn)次數(shù) m 正面出現(xiàn)頻率 mln 德摩爾根 蒲豐 皮爾遜 皮爾遜 維尼 2048 4040 12000 24000 30000 1061 2048 6019 12012 14994 0.518 0.5069 0.5016 0.5005 0.4998 由表1-1看出，出現(xiàn)正面的頻率按近0.5,并且拋擲次數(shù)越多，頻率越按近0.5。經(jīng)驗(yàn)告 訴人們，多次重復(fù)同一試驗(yàn)時，隨機(jī)現(xiàn)

11、呈現(xiàn)出一定的量的規(guī)律。具體地說，就是當(dāng)試驗(yàn)次數(shù) 很大時，事件的頻率具有一種穩(wěn)定性。它的數(shù)值徘徊在某個確定的常數(shù)附近。而且一般 說來，試驗(yàn)次數(shù)越多，事件 的頻率就越接近那個確定的常數(shù)。這種在多次重復(fù)試驗(yàn)中， 事件頻率穩(wěn)定性的統(tǒng)計規(guī)律，便是概率這一念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)。而所謂某事件發(fā)生的可能性大小， 就是這個頻率的穩(wěn)定值”。 定義1.1在不變的條件下，重復(fù)進(jìn)行1次試驗(yàn)，事件二發(fā)生的頻率穩(wěn)定地在某一常數(shù) / 附近擺動。且一般說來，1越大，擺動幅度越小，則稱常數(shù)：為事件的概率，記作-。 數(shù)值/ （即-1 - ）就是在一次試驗(yàn)中對事件 /發(fā)生的可能性大小的數(shù)量描述。例如， 用0.5來描述擲一枚勻稱的硬幣正面”出

12、現(xiàn)的可能性。 如上所述 怕實(shí)奈榷片允歉怕實(shí)木榛。2皇撬蹈怕示齠蟲謔匝欏R桓鍪錄 母怕釋耆齠蟲謔錄 舊淼慕峁梗 竅扔謔匝槎凸鄞嬖詰摹？/SPAN （二）概率的古典定義 直接計算某一事件的概率有時是非常困難的，甚至是不可能的。 僅在某些情況，才可以 直接計算事件的概率。請看下面類型的試驗(yàn)： （1）拋擲一枚勻稱的硬幣，可能出現(xiàn)正面與反面兩種結(jié)果，并且這兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能 性是相同的。 （2）200個同型號產(chǎn)品中有 6個廢品，從中每次抽取 3個進(jìn)行檢驗(yàn)，共有 匚丸種不同的 可能抽取結(jié)果，并且任意 3個產(chǎn)品被取到的機(jī)會相同。 這類試驗(yàn)的共同特點(diǎn)是：每次試驗(yàn)只有有限種可能的試驗(yàn)結(jié)果， 即組成試驗(yàn)的基本事件

13、 總數(shù)為有限個；每次試驗(yàn)中，各基本事件出現(xiàn)的可能性完全相同。 具有上述特點(diǎn)的試驗(yàn)稱為 古典概型試驗(yàn)。在古典概型試驗(yàn)中，假定能夠知道有利于某一事件的基本事件數(shù)，就可 以通過這個數(shù)與試驗(yàn)的基本事件總數(shù)之比計算出概率。 定義1.2若試驗(yàn)結(jié)果一共由 個基本事件-組成，并且這些事件的出現(xiàn)具有相 E1 E1 同的可能性，而事件 上由其中某個基本事件.組成，則事件二的概率可以用下 式計算： 跑）上 n （其中匸:有利于二的基本事件數(shù)，“：試驗(yàn)的基本事件總數(shù)） 這里匸：構(gòu)成一個等概完備事件組。 （三）計算概率的例題 例1袋內(nèi)裝有5個白球，3個黑球。從中任取兩個球，計算取出的兩個球都是白球的概 率。 解： 組成

14、試驗(yàn)的基本事件總數(shù)： 工，組成所求事件 A （取到兩個白球）的基本 事件數(shù)一，由公式有： 吃） 例2 一批產(chǎn)品共200個，有6個廢品，求：（1）這批產(chǎn)品的廢品率；（2）任取3個 恰有1個是廢品的概率；（3）任取3個全非廢品的概率。 解：設(shè)分別表示（1 ）、（ 2）、（ 3）中所求的概率，根據(jù)公式，有: (1)戸(Q = 200 = 0.03 4)= 0X)855 *0.9122 例3兩封信隨機(jī)地向標(biāo)號為I、n、川、w的4個郵筒，求第二個郵筒恰好被投入1 封信的概率。 1封信。兩封信隨機(jī)地投入 一 種。由公式有： 4個郵筒，共有 種 解： 設(shè)事件二表示第二個郵筒只投入 等可能投法，而組成事件的不

15、同投法只有 m _C_3 4a 8 同樣還可以計算出前兩個郵筒中各有一封信的概率: P(B) 課后作業(yè) 1互不相容事件與對立事件的區(qū)別何在？在出下列各對事件的關(guān)系。 （X）x-aS （2）2 20與淞 20 工 20與x 20與x 0） 的情況。 可以驗(yàn)證，條件概率也是一種概率，它有概率的三個基本屬性。 例1市場上供應(yīng)的燈炮中， 甲廠產(chǎn)品占70%,乙廠占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是 95%， 乙廠的合格率是80%。若用事件 二、分別表示甲、乙兩廠的產(chǎn)品，J表示產(chǎn)品為合格品， 試寫出有關(guān)事件的概率。 解依題意 -70% P（A） = 30% 尸=P（BA）=W% 進(jìn)一步可得： P(BA) = 5%

16、 P(B|) = 20% （二）乘法法則 乘法法則 兩個事件一、一之交的概率等于其中任一個事件（其概率不為零）的概率 乘以另一個事件在已知前一個事件發(fā)生下的條件概率。即 PAS） = P（A）P（B | 生產(chǎn)的產(chǎn)品是 優(yōu)質(zhì)品”記為2，是次 品”記為1,是 廢品”記為0等等。這樣一來，對于試驗(yàn)的結(jié)果就都可以給予數(shù)量的描述。 由于隨機(jī)因素的作用， 試驗(yàn)的結(jié)果有多種可能性。 如果對于試驗(yàn)的每一可能結(jié)果，也就 是一個樣本點(diǎn)，都對應(yīng)著一個實(shí)數(shù)，而 血) 又是隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而變化的一個 變量，則稱它為隨機(jī)變量。隨機(jī)變量一般用希臘字母 I、門、或大寫拉丁字母 等表示。 1分，未中目標(biāo)記0分。如果用-表示

17、0和1兩個可能值。 例如: (1) 一個射手對目標(biāo)進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)記為 射手在一次擊中得分，則它是一個隨機(jī)變量，可以取 (2) 某段時間內(nèi)候車室的旅客數(shù)目記為-，它是一個隨機(jī)變量，可以取0及一切不大 于；/的自然數(shù)，T為候車室的最大容量。 (3) 單位面積上某農(nóng)作物的產(chǎn)量 匚是一個隨機(jī)變量。它可以取一個區(qū)間內(nèi)的一切實(shí)數(shù) 值，即為某一個常數(shù)。 (4) 一個沿數(shù)軸進(jìn)行隨機(jī)運(yùn)動的質(zhì)點(diǎn)，它在數(shù)軸上的位置 盲是一個隨機(jī)變量，可以取任 何實(shí)數(shù)，即H足。 顯然隨機(jī)變量是建立在隨機(jī)事件基礎(chǔ)上的一個概念。 既然事件發(fā)生的可能性對應(yīng)于一定 的概率，那么隨機(jī)變量也以一定的概率取各種可能值。 按其取值情況可以把隨機(jī)

18、變量分為兩 類： (1)離散型隨機(jī)變量可能取有限個或無限可列個值; (2)非離散型隨機(jī)變量可以在整個數(shù)軸上取值，或至少有一部分值取某實(shí)數(shù)區(qū)間的全 部值。 非離散型隨機(jī)變量范圍很廣， 情況比較復(fù)雜，其中最重要的在實(shí)際中常遇到的連續(xù)型隨 機(jī)變量。 本書只研究離散型及連續(xù)型隨機(jī)變量兩種。 2隨機(jī)變量的分布 (一) 離散型隨機(jī)變量的分布 定義2.1如果隨機(jī)變量-只取有限個或可列個可能值，而且以確定的概率取這些不同 的值，則稱.為離散型隨機(jī)變量。 為直觀起見，將 匚可能取的值及相應(yīng)概率列成概率分布表(見表 2-1) 表2-1 兩則X* P A 此外，:的概率分布情況也可以用一系列等式表示: 只)“卜12

19、) (2.1) 其中廠叮一盲 構(gòu)成一個完備事件組。此時, (2.1)式稱為隨機(jī)變 量盲的概率函數(shù)(或概率分布)。概率函數(shù)具有下列基本性質(zhì): 般所說的離散型隨機(jī)變量的分布就是指它的概率函數(shù)或概率分布表。 例1 一批產(chǎn)品的廢品為 5%,從中任意抽取一個進(jìn)行檢驗(yàn)，用隨機(jī)變量匚來描述廢品出 現(xiàn)的情況。即-寫出的分布。 解 這個試驗(yàn)中，用;表示廢品的個數(shù)，顯然;只可能取0及1兩個值。一表示 產(chǎn) 品為合格品”其概率為這批產(chǎn)品的合格率，即= =1-5% = 95%，而弋“ 表示產(chǎn)品是廢品”即 臨沖5% ，列成概率分布表如表 2-2所示。 表2-2 P 0 95% 1 5% 也可以用下述等式表示： P = t

20、) = (5%)95%r 伙譏1) 兩點(diǎn)分布：只有兩個可能取值的隨機(jī)變量所服從的分布，稱為兩點(diǎn)分布。其概率函數(shù)為 pWa 仗 71) 0-1分布：只取0和1兩個值的隨機(jī)變量所服從的分布，稱為 0-1分布。其概率函數(shù)為 ”憐(1-滬d) 它的概率分布圖如圖 2-1所示。 例2產(chǎn)品有一、二、三等品及廢品4種，其一、二、三等品率和廢品率分別為60%、 10%、20%、10%，任取一個產(chǎn)品檢驗(yàn)其質(zhì)量，用隨機(jī)變量-描述檢驗(yàn)結(jié)果并畫出其概率函 數(shù)圖。 解 令一 與產(chǎn)品為土定 相對應(yīng), * 廠與產(chǎn)品為 廢品”相對 應(yīng)。一是一個隨機(jī)變量，它可以取0、1、2、3這4可能值。依題意，丄111- 列成概率分布表如表

21、2-3 : 如表2-3： f 0 1 2 3 P 0.1 0.6 0.1 0.2 其概分布圖如圖2-2。 例3用隨機(jī)變量去描述鄭一顆骰子的試驗(yàn)情況。 解 令表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，它可以取1到6共6個自然數(shù)，相應(yīng)概率都是1/6。 列成概率分布表如表2-4所示，其概率分布圖如圖2-3所示。 表2-4 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 如果：有概率函數(shù): = - (4 = 12,3(2.3) n 且當(dāng)一;時，則稱一服從離散型均勻分布。 例4社會上定期發(fā)行某種獎券，每券 1元，中獎率為。某人每次購買1張獎券，如 的分布。 果沒有中獎下次再繼續(xù)購買1張，直至

22、中獎為止。求該人購買次數(shù) 解：表示第一次購買的獎券中獎，依題意 二-； ：-表示購買兩次獎券，但第一次未中獎，其概率為1 -，而第二次中獎，其概率為T 由于各期獎券中獎與否是相互獨(dú)立的， 所以 ；表示購買.次，前 .【次都未中獎，而第次中獎，仁V 由此得到二的概率函數(shù)為 PS = i = Op)P (212) (2.4) （1-戸）九1 不難驗(yàn)證，宀稱具有形如（2.4）式概率函數(shù)的隨機(jī)變量服從幾何分布。 （二）隨機(jī)變量的分布函數(shù) 定義2.2若二是一個隨機(jī)變量（可以是離散型的，也可以是非離散型的），對任何實(shí) 數(shù)；，令 吃）訶化（25） 稱二I是隨機(jī)變量匚的分布函數(shù)。 11 1即事件I -1的概率

23、是-的一個實(shí)函數(shù)。對任意實(shí)數(shù)1 丄，有 陽“4驗(yàn)切-驗(yàn)加 因此，若已知;的分布函數(shù)IJ，就能知道匸在任何一個區(qū)間上取值的概率。從這個 意義上說，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)變量的變化情況，它具有下面幾個性質(zhì)： (1) -、二，對一切匚皿;成立； J是. 的不減函數(shù)； F(p) = lini F(x) = O,F(+s) = lim F=1; - - (4) -J二I至多有可列個間數(shù)點(diǎn)，而在其間斷點(diǎn)上也右連續(xù)的。 例6求本節(jié)例1中的分布函數(shù)。 解在例1中，二的分布如前面表 2-2所示。 0A0 x) = 0.950 1 1 x21 L 對于一般的0-1分布，其分布函數(shù)為 0耳0 F(x) = n-p

24、 0 xl 1x21 L 其中；為一取值為1的概率。 例7 求例3中的分布函數(shù)I -1 。 1 0X1 彳xi+ l（上“芒34,5） 1丫26 分布函數(shù)與概率函數(shù)滿足關(guān)系： %）=工 pK （2.7） 由圖2-4及圖2-5可見，離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)的圖形是階梯曲線。它在；的一切 有概率（指正概率）的點(diǎn)都有一個跳躍，其躍度為；取值的概率。而在分布函數(shù) 的任何一個連續(xù)點(diǎn) 丄上，取值的概率都是零，這一點(diǎn)對連續(xù)型隨機(jī)變量也是成立的。 （三）連續(xù)型隨機(jī)變量的分布 盡管分布函數(shù)是描述各種類型機(jī)變量變化規(guī)律的最一般的共同形式。但由于它不夠直 觀，往往不常用。比如，對于離散型隨機(jī)變量，用概率函數(shù)來描述既

25、簡單又直觀。對于連續(xù) 型隨機(jī)變量也希望有一種比分布函數(shù)更直觀的描述方式。 定義2.3對于任何實(shí)數(shù)：，如果隨機(jī)變量 直的分布函數(shù) 可以寫成 吃）=仁曲）止 （2.8） 其中上 ，則稱一為連續(xù)型隨機(jī)變量。稱1為：的概率分布密度函數(shù)，也常寫 為。它具有下列兩個最基本的性質(zhì)： 祕心0 =1 這表明不是一取值：的概率，而是它在：點(diǎn)概率分布的密集程度。 但是1 大小能反映出 .在：附近取值的概率大小。因此，對于連續(xù)型隨機(jī)變量，用密度函數(shù)描述 它的分布比分布函數(shù)直觀。以后一般用概率函數(shù)和概率分布密度函數(shù)來分別描述離散型和連 續(xù)型隨機(jī)變量。 例9若育有概率密度 則稱二服從區(qū)間 血 上的均勻分布。試求 ba 由

26、（2.8）式，有 0 a axb 例10已知連續(xù)型隨機(jī)變量匸有概率密度 伽 + 1 02 心(其它 求系數(shù)：及分布函數(shù)11 1 ,并計算- 解 F(x)=匸代)必 o -説+X J 0 0 x 2 Pl525)=F(25)-F(l5) = 00625 在本節(jié)最后，給出隨機(jī)變量一個一般定義: 課后作業(yè) 1. 用隨機(jī)變量來描述擲一枚硬幣的試驗(yàn)結(jié)果。寫出它的概率函數(shù)和分布函數(shù)。 2. 如果二服從0-1分布，又知二取1的概率為它取0的概率的兩倍。寫出二的分布律和分布 函數(shù)。 4. 一批產(chǎn)品分一、二、三級，其中一級品是二級品的兩倍，三級品是二級品的一半。從這 批產(chǎn)品中隨機(jī)地抽取一個檢驗(yàn)質(zhì)量，用隨機(jī)變量描

27、述檢驗(yàn)的可能結(jié)果，寫出它的概率函數(shù)。 01 ii已知Lu 其它 求盲的分布函數(shù) -.o 2.3連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度 1. 連續(xù)型隨機(jī)變量的概念 2. 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量 3 .小結(jié) (1)連續(xù)型隨機(jī)變量的定義 設(shè)X是隨機(jī)變量，如果存在定義在整個實(shí)數(shù) 軸上的函數(shù)f (x)，滿足條件 彳 f(x)7 1. f(x)dx = 1, 2. 一 ： 對于任意的a,b(a乞b),a也可為,b也可為有 b 3. Pa 乞 X 乞 b二 f (x)dx, a 則稱X是連續(xù)型隨機(jī)變量，(x)稱為X的概率密度函 數(shù),簡稱概率密度. f(X) - 0 2) f (x)dx 二 1 7cC 這兩條性質(zhì)是判

28、定一 個函數(shù)f(x)是否為某 個隨機(jī)變量X的概率 密度函數(shù)的充要條件 f( x a b o 3) X落入?yún)^(qū)間a,b 內(nèi)的概率= 例1設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度 C(9 x2), 0, 一 3乞x冬3, 其它. (1) 求常數(shù)C; M, PX 2. (2) 求 PX 0, P1 X 解(1)由 f(x)d1,得 nd 3232 1 = f(x)dx=C(9-x2)dx= 2C (9-x2)dx 30 3 J 2C(9x - ； ) |0 = 36C ：)|0-3 =-1 (27 9) = 1, 362 ii 12 PXf (x)dx=2o36(9 x)dx 13 27 3 12 PX 22f(x)dx2 36(9 x)dx 三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量 )均勻分布 定義設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變邀具有概率密度 a x b, 其它， 1 f(X)二b - a 0, 則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布 記為 X U(a,b).f(X) 均勻分布的意義 在區(qū)間(