高考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總復(fù)習(xí)p

1、.1 第十一章復(fù)數(shù)、算法、推理與第十一章復(fù)數(shù)、算法、推理與 證明證明 第第5節(jié)數(shù)學(xué)歸納法節(jié)數(shù)學(xué)歸納法 .2 1了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 2能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命 題 .3 要點(diǎn)梳理 數(shù)學(xué)歸納法 一般地，證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可 按下列步驟進(jìn)行： (1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 (n0N*) 時(shí)命題成立； (2)(歸納遞推)假設(shè)當(dāng)nk(kN*，kn0)時(shí) 命題成立，推出當(dāng)_時(shí)命題也成 立 nk1 .4 只要完成這兩個(gè)步驟，就可以斷定命題對n取 第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)都成立上述證 明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 質(zhì)疑探究：數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系？ 提示：數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩

2、個(gè)步驟體現(xiàn)了 遞推思想，第一步是遞推的基礎(chǔ)，第二步是 遞推的依據(jù)，兩個(gè)步驟缺一不可，否則就會 導(dǎo)致錯(cuò)誤 (1)第一步中， 驗(yàn)算nn0中的n0不一定為1， 根據(jù)題目要求，有時(shí)可為2或3等 (2)第二步中，證明nk1時(shí)命題成立的過 程中，一定要用到歸納假設(shè)，掌握“一湊假 設(shè)，二湊結(jié)論”的技巧 .5 解析觀察等式左邊的特征易知選C. 答案C .6 .7 .8 解析從n到n2共有n2n1個(gè)數(shù)， 所以f(n)中共有n2n1項(xiàng). 答案D .9 4凸k邊形內(nèi)角和為f(k)，則凸k1邊形的內(nèi) 角和為f(k1)f(k)_. 解析易得f(k1)f(k). 答案 .10 .11 典例透析 .12 .13 .14 所

3、以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立 綜合(1)(2)知對一切nN* ，等式都成立 拓展提高(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是 常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu) 成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是 幾； (2)由nk到nk1時(shí)，除等式兩邊變化的 項(xiàng)外還要充分利用nk時(shí)的式子，即充分利 用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使 問題得以證明 .15 .16 .17 思路點(diǎn)撥利用假設(shè)后，要注意不等式的放 大和縮小 .18 .19 .20 拓展提高(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的 不等式一般有兩種具體形式：一是直接給出 不等式，按要求進(jìn)行證明；二是給出兩個(gè)式 子，按要求比較它們的大小，對第二類形式 往往要

4、先對n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較， 以免出現(xiàn)判斷失誤，最后猜出從某個(gè)n值開始 都成立的結(jié)論，常用數(shù)學(xué)歸納法證明 (2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk 時(shí)成立得nk1時(shí)成立，主要方法有放縮 法；利用均值不等式法；作差比較法 等 .21 .22 .23 考向三用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 例3用數(shù)學(xué)歸納法證明42n13n2能被13 整除，其中n為正整數(shù) 思路點(diǎn)撥當(dāng)nk1時(shí)，把42(k1)13k3 配湊成42k13k2的形式是解題的關(guān)鍵 .24 .25 .26 拓展提高用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題， P(k)P(k1)的整式變形是個(gè)難點(diǎn)，找出它 們之間的差異，然后將P(k1)進(jìn)行分拆、配 湊成P(

5、k)的形式，也可運(yùn)用結(jié)論：“P(k)能 被p整除且P(k1)P(k)能被p整除P(k1) 能被p整除” .27 活學(xué)活用3已知n為正整數(shù)，aZ，用數(shù)學(xué) 歸納法證明：an1(a1)2n1能被a2a1 整除 證明(1)當(dāng)n1時(shí)，an1(a1)2n1a2 a1，能被a2a1整除 (2)假設(shè)nk時(shí)，ak1(a1)2k1能被a2a 1整除，那么當(dāng)nk1時(shí)， ak2(a1)2k1 (a1)2ak1(a1)2k1ak2ak 1(a1)2 .28 .29 思路點(diǎn)撥關(guān)鍵是搞清nk到nk1時(shí)對 角線增加的條數(shù)，看頂點(diǎn)的變化可知對角線 的變化從而可解 .30 .31 拓展提高用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān) 鍵是“找項(xiàng)

6、”，即幾何元素從k個(gè)變成k1個(gè) 時(shí)，所證的幾何量將增加多少，這需用到幾 何知識或借助于幾何圖形來分析；事實(shí)上， 將nk1和nk分別代入所證的式子，然 后作差，即可求出增加量，這也是用數(shù)學(xué)歸 納法證明幾何問題的一大技巧. 活學(xué)活用4平面上有n個(gè)圓，每兩圓交于兩 點(diǎn)，每三圓不過同一點(diǎn)，求證這n個(gè)圓分平面 為n2n2個(gè)部分 .32 .33 .34 審題視角(1)將n1,2,3代入已知等式得 a1，a2，a3，從而可猜想an，并用數(shù)學(xué)歸納 法證明 (2)利用分析法，結(jié)合x0，y0，xy1， 利用基本不等式可證 .35 .36 .37 .38 【答題模板】 第1步：尋找特例a1，a2，a3等 第2步：猜

7、想an的公式 第3步：轉(zhuǎn)換遞推公式為an與an1的關(guān)系 第4步：用數(shù)學(xué)歸納法證明an. 驗(yàn)證遞推公式中的第一個(gè)自然數(shù)n2. 推證ak1的表達(dá)式為k1. 補(bǔ)驗(yàn)n1，說明對于nN*成立 第5步：分析法證明 .39 提醒：(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù) n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式 是“歸納猜想證明”，即先由合情推理 發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證 結(jié)論的正確性 (2)為了正確地猜想an，首先準(zhǔn)確求出a1，a2， a3的值 .40 .41 .42 .43 思維升華 【方法與技巧】 1數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟相互依存，缺一不 可 有一無二，是不完全歸納法，結(jié)論不一定可 靠；有二無一，第二步就失去了遞推的基 礎(chǔ) 2歸納假設(shè)的作用 在用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，對于歸納假設(shè) 要注意以下兩點(diǎn)： .44 (1)歸納假設(shè)就是已知條件；(2)在推證nk 1時(shí)，必須用上歸納假設(shè) 3利用歸納假設(shè)的技巧 在推證nk1時(shí)，可以通過湊、拆、配項(xiàng)等 方法用上歸納假設(shè)此時(shí)既要看準(zhǔn)目標(biāo)，又 要掌握nk與nk1之間的關(guān)系在推證 時(shí)，