專題18圓的對(duì)稱性

1、專題18圓的對(duì)稱性閱讀與思考圓是- -個(gè)對(duì)稱圖形.首先，圓是一個(gè)軸對(duì)稱圖形，任意一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸，圓的對(duì)稱軸有無數(shù)條；同 時(shí)，圓又是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，圓心就是對(duì)稱中心，圓繞其圓心旋轉(zhuǎn)任意角度，都能夠與本身重合，這 是圓特有的旋轉(zhuǎn)不變性.由圓的對(duì)稱性引出了許多重要的定理：垂徑定理及推論；在同圓或等圓中，圓心角、圓周角、弦、 弦心距、弧之間的關(guān)系定理及推論這些性質(zhì)在計(jì)算和證明線段相等、角相等、弧相等和弦相等等方面 有廣泛的應(yīng)有.一般方法是通過作輔助線構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形相結(jié)合使用.熟悉以下基本圖形和以上基本結(jié)論.我國(guó)戰(zhàn)國(guó)時(shí)期科學(xué)家墨翟在墨經(jīng)中寫道：“圓，一中間

2、長(zhǎng)也.”古代的美索不達(dá)米亞人最先開始制造圓輪日、月、果實(shí)、圓木、車輪，人類認(rèn)識(shí)圓、利用圓，圓的圖形在人類文明的發(fā)展史上打下了 深深的烙印.例題與求解【例1】在半徑為1的O O中，弦AB, AC的長(zhǎng)分別為 J3和J2，則/ BAC度數(shù)為（黑龍江省中考試題）解題思路：作出輔助線，解直角三角形，注AB與AC有不同位置關(guān)系.由于對(duì)稱性是圓的基本特性，因此，在解決圓的問題時(shí)，若把對(duì)稱性充分體現(xiàn)出來，有利于圓的問 題的解決.【例2】如圖，在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB , CD , EF 如果AB +CD = EF，那么AB+CD與EF的大小關(guān)系是（）A. AB+CD = EFC. AB+CDEFD. A

3、B+CD與EF的大小關(guān)系不能確定（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：將弧與弦的關(guān)系及三角形的性質(zhì)結(jié)合起來思考.【例3】（1）如圖1，已知多邊形 ABDEC是由邊長(zhǎng)為2的等邊三角形 ABC和正方形BDEC組成， O O過A，D，E三點(diǎn)，求O O的半徑. 如圖2,若多邊形 ABDEC是由等腰厶ABC和矩形BDEC組成，AB=AC=BD=2,O O過A, D , E三點(diǎn)，問O O的半徑是否改變？（時(shí)代學(xué)習(xí)報(bào)數(shù)學(xué)文化節(jié)試題）解題思路：對(duì)于，給出不同解法；對(duì)于，O的半徑不改變，解法類似.等邊三角形、正方形、圓是平面幾何圖形中最完美的圖形，本例表明這三個(gè)完美的圖形能合成一個(gè) 從形式到結(jié)果依然完美的圖形.三個(gè)完美圖

4、形的不同組合可生成新的問題，同學(xué)們可參照刻意練習(xí).【例4】如圖，已知圓內(nèi)接 ABC中，ABAC, D為BAC的中點(diǎn)，DE丄AB于E .求證:2 2 BD2-AD2=ABIIAC .（天津市競(jìng)賽試題）解題思路：從化簡(jiǎn)待證式入手，將非常規(guī)幾何問題的證明轉(zhuǎn)化為常規(guī)幾何題的證明.A圓是最簡(jiǎn)單的封閉曲線，但解決圓的問題還要用到直線形的有關(guān)知識(shí)和方法同樣，圓也為解決直 線形問題提供了新的途徑和方法，善于促成同圓或等圓中的弦、弦心距、弧、圓周角、圓心角之間相等 或不等關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化，是解圓相關(guān)問題的重要技巧.【例5】在厶ABC中,M是AB上一點(diǎn)，且 AM2+BM2+CM2=2AM+2BM+2CM 3 .若P

5、是線段AC 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O O是過P, M , C三點(diǎn)的圓，過 P作PD / AB交O O于點(diǎn)D .求證：M是AB的中點(diǎn)；求PD的長(zhǎng).（江蘇省競(jìng)賽試題）解題思路：對(duì)于，運(yùn)用配方法求出 AM , BM , CM的長(zhǎng)，由線段長(zhǎng)確定直線位置關(guān)系；對(duì)于， 促成圓周角與弧、弦之間的轉(zhuǎn)化.B2【例6】已知AD是O O的直徑，AB , AC是弦，且AB=AC .F圖3C求弦FG的長(zhǎng)；如圖3,在中若弦BC經(jīng)過半徑 0A的中點(diǎn)E, P為劣弧上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié) PA, PB, PD , PF , 如圖2,若弦BC經(jīng)過半徑OA的中點(diǎn)E, F是CD的中點(diǎn),G是FB的中點(diǎn)，O O的半徑為1,PA + PF求證：的定值.P

6、B PD（武漢市調(diào)考試題）解題思路：對(duì)于，先證明/ BPA= / DPF=30,/ BPD=60,這是解題的基礎(chǔ)，由此可導(dǎo)出下列解題突破口的不同思路：由/BPA= / DPF=30，構(gòu)建直角三角形；構(gòu)造 PA+PF, PB+PD相關(guān)線段;取BD的中點(diǎn)M，連結(jié)PM，聯(lián)想常規(guī)命題；等等.本例實(shí)質(zhì)是借用了下列問題：如圖 2, PA+PB=PH ;如圖 1 , FA+PB=、.3 PH ;進(jìn)一步，如圖3 ,a若 / APB= a , PH 平分/ APB ,貝U PA+PB=2PHcos 為定值.1圖38cm，則梯形的面積為 cm2.CD是5cm，原輪片的直徑是 能力訓(xùn)練A級(jí)1. 圓的半徑為5cm，其

7、內(nèi)接梯形的兩底分別為6cm和2. 如圖，殘破的輪片上，弓形的弦AB長(zhǎng)是40cm,高第2題圖第3題圖3.如圖，已知 CD為半圓的直徑， AB丄CD于B.設(shè)/A0B= a,貝U1 |tan =BD 2（黑龍江省中考試題）4.如圖，在 RtAABC 中，/ C=90, AC=2 , BC=1,若BC=1，若以C為圓心，CB的長(zhǎng)為半徑的圓交AB于P,則AP =（江蘇省宿遷市中考試題）5.如圖,AB是半圓0的直徑，點(diǎn)P從點(diǎn)0出發(fā)，沿OA AB BO的路徑運(yùn)動(dòng)一周設(shè)0P長(zhǎng)為S,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t,則下列圖形能大致地刻畫s與t之間的關(guān)系是（A “6.如圖，在以 那么AC的長(zhǎng)為（A. 0.5cm0為圓心的兩個(gè)同心圓

8、中，大圓的弦 ）B.AB交小圓于（太原市中考試題）D 兩點(diǎn)，AB=10cm, CD=6cm ,1cmC. 1.5cmD. 2 cmB那么A, B兩點(diǎn)到直線CD的距離7 .如圖，AB為O 0的直徑，CD是弦.若 AB=10cm , CD=8cm , 之和為（）A. 12cmB. 10cmC. 8cmD. 6cm2 2&如圖，半徑為 2的O O中，弦AB與弦CD垂直相交于點(diǎn) P,連結(jié)0P .若0P=1，求AB +CD的值.（黑龍江省競(jìng)賽試題）9. 如圖，AM是O 0的直徑，過O 0上一點(diǎn)B作BN丄AM于N，其延長(zhǎng)線交O 0于點(diǎn)C,弦CD交 AM于點(diǎn)E. 女口果 CD丄AB，求證：EN=NM; 如果

9、弦CD交AB于點(diǎn)F,且CD=AB，求證：CE2=EF?ED； 如果弦CD, AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F,且CD=AB ,那么的結(jié)論是否仍成立？若成立，請(qǐng)證明； 若不成立，請(qǐng)說明理由.（重慶市中考試題）（第 9題圖）110. 如圖，O0的內(nèi)接四邊形 ABMC中，ABAC, M是BC的中點(diǎn)，MH丄AB于點(diǎn)H .求證：BH = 2（AB-AC）.（河南省競(jìng)賽試題）C（第 10題圖）11. 如圖1，圓內(nèi)接厶ABC中，AB=BC=CA, 0D , 0E為O 0的半徑，0D丄BC于點(diǎn)F, 0E丄AC 1于點(diǎn)G.求證：陰影部分四邊形 0FCG的面積是厶ABC面積的-.3如圖2，若/ D0E保持1200角度不變，

10、求證：當(dāng)/ D0E繞著0點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和厶 ABC1的兩條邊圍成的圖形（圖中陰影部分）面積始終是ABC的面積的-.312. 如圖，正方形 ABCD的頂點(diǎn)A, D和正方形JKLM的頂點(diǎn)K , L在一個(gè)以5為半徑的O O上, 點(diǎn)J, M在線段BC上.若正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為6，求正方形JKLM的邊長(zhǎng).（上海市競(jìng)賽試題）1. 如圖，AB是O O的直徑，CD是弦，過 A,AE=3, BF=5，貝U EC=.B級(jí)B兩點(diǎn)作CD的垂線，垂足分別為 E, F.若AB=10,B2. 如圖，把正三角形ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A上,若BC=5,則折痕在厶ABC內(nèi)的部分DE長(zhǎng)為.（寧波市中考試

11、題）3. 如圖，已知O O的半徑為R, C, D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)， AC的度數(shù)為96, BD的度數(shù)為36 .動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則CP + PD的最小值為 .（陜西省競(jìng)賽試題）4如圖，用3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑是（B 邁5 17165.如圖，AB是半圓0的直徑,C是半圓圓周上一點(diǎn)，M是AC的中點(diǎn),MN丄AB于N，則有（1A . MN = AC2AC3C. MN= AC5AC（武漢市選拔賽試題）第4題圖6. 已知，AB為O 0的直徑，D為AC的中點(diǎn),DE丄AB于點(diǎn)E,且DE=3 .求AC的長(zhǎng)度.7. 如圖，已知四邊形 ABCD內(nèi)接于直徑為3的OO

12、;對(duì)角線AC是直徑，對(duì)角線 AC和BD的交點(diǎn) 為P, AB=BD，且PC=0.6，求四邊形 ABCD的周長(zhǎng).（全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）&如圖，已知點(diǎn) A, B, C, D順次在O O上，AB = BD , BM丄AC于M .求證：AM=DC+CM .（江蘇省競(jìng)賽試題）9.如圖，在直角坐體系中，點(diǎn)B，C在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn) A在y軸的負(fù)半軸上，以 AC為直徑的圓與AB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) D, CD=AO，如果AB=10,AOBO,且AO,BO是x的二次方程x2 kx 4 0的兩個(gè)根.求點(diǎn)D的坐標(biāo)；1 若點(diǎn)P在直徑AC上，且AP= AC,判斷點(diǎn)（2, 10）是否在過D , P兩點(diǎn)的直線上，并說明理4由.

13、（河南省中考試題）10.如圖1，已知FA,PB為O O的弦，C是劣弧如圖2，已知PA, PB為O O的弦，C是優(yōu)弧xAB的中點(diǎn)，直線AB的中點(diǎn)，直線CD丄 PA 于點(diǎn) E，求證：AE=PE+PB.CD丄PA于點(diǎn)E,問：AE, PE與PB之間存在怎樣的等量關(guān)系？寫出并證明你的結(jié)論.11.如圖，已知弦 CD垂直于O O的直徑AB于L,弦AE平分半徑 0C于H.求證：弦 DE平分弦BC 于 M .（全俄奧林匹克競(jìng)賽試題）B12.如圖，在 ABC中，D為AC邊上一點(diǎn)，且 圓于M，過M作AB的垂線MN，交圓于 N.求證：AD=DC + CB,過 D作AC的垂線交厶ABC的外接 MNABC外接圓的直徑.C

14、專題18圓的對(duì)稱性D _ E例115或75提示：分AB、AC在圓心0同側(cè)、異側(cè)兩種情況討論.例2 B例3 解法一：如圖，將正方形 BDEC上的等邊厶ABC向下平移，使其底邊與 DE重 合，得等邊ODE . /A、B、C 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是 0、D、E,.OD = AB, 0E= AC, AO = BD. v 等邊 ABC 和正方形 BDEC 的邊長(zhǎng)都是 2, AB= BD = AC = 2, a OD = OA = 0E= 2. v A、D、E三點(diǎn)確定一圓，O到A、D、E三點(diǎn)的距離相等. O點(diǎn)為圓心，OA為半徑，F(xiàn),延長(zhǎng)交DE該圓的半徑為 2解法二：如圖，將 ABC平移到ODE位置，并作 AF丄BC

15、,垂足為 于H . ABC為等邊三角形， AF垂直平分BC,v四邊形 BDEC為正方形， AH垂 直平分正方形邊 DE.又v DE是圓的弦， AH必過圓心，記圓心為 O點(diǎn)，并設(shè)O O的半 徑為 r.在 RtAABF 中，v/ BAF= 30 , AF = AB cos30= 2x2 = 3 , OH = AF2+ FH OA = .3 + 2- r.在 RtAODH 中，OH2+ DH2= OD2,a (. 3 2 r )2+ 12= r2,解得r = 2.O O的半徑不變，因?yàn)?AB = AC= BD = 2,此題求法和 一樣，O O的半徑為2.例 4 提示：BD2 AD2= (BE2+ E

16、D2) (AE2+ ED2) = (BE + AE)(BE AE) = AB(BE AE)，只需要證明 AC = BE AE 即可.在 BA 上截取 BF = AC.連 DF 可證明 DBF DCA,貝y DF = AD, AE= EF .例 5(1)由條件，得(AM 1)2+ (BM 1)2+ (CM 1)2= 0, AM = BM = CM = 1.因此，M 是 AB 中點(diǎn),且/ ACB = 90 (2)由知，/ A =Z PCM，又 PD / AB，/A =Z CPD，/ PCM = Z CPD，因此,CD=PM,CPM =DCP，于是有 DP = CM = 1.例 6(1)連結(jié) BD、

17、CD , v AD 是直徑，所以/ ABD = Z ACD = 90 又v AB = AC, AD = AD , ABDACD，/ BAD = Z DAC , AD 平分/ BAC . (2)連結(jié) OB、OC ,貝U OA 丄 BC,又 AE= OE ,得 AB=BO = OA = OC,A AOB, AOC 都為等邊三角形，連結(jié) OG,則/ GOF = 90 FG = . 2 . (3)取 BD 的中點(diǎn) M，過 M 作 MS丄PA 于 S, MT丄 PF 于 T,連 AM , FM . Z BPM = Z DPM = 30 / APM = Z1FPM = 60 貝U MS= MT, MA =

18、 MF , RtAASM RtA FTM , RtPMS RtAPMF . PS= PM . PA2PA 亠 pf pm1. ；3+ PF = 2PS= 2PT= PM .同理可證：PB + PD = . 3PM . 為定值.PB+PD V3PM V33A 級(jí) 1. 49 或 7 2.85 3. 1 4. 35. C 6. D 7. D 8.過 O 點(diǎn)作 OE丄 AB 于 E, OF 丄3CD 于 F，連結(jié) OD , OA，貝U AE = BE , CF = DF , v OE2= AO2 AE2= (4 一 -AB2), OF2 = OD2 FD2 =44 - CD2 , OE2 + OF2

19、= (4 一丄 AB2) + (4 一丄CD2 )= PF2+ OF2= OP2= 12 ,即 4一丄 AB2 + 4CD2 = 1 , 44444故AB2 + CD2= 28.得X1= 3(舍去)，X2 = 7 , 正方形JKLM的邊長(zhǎng)為 嚴(yán).55B級(jí)12 6 3 提示：作OM丄CD于M ,則EC= *EF CD). 2晉 3/ .3R 提示:設(shè)D是D點(diǎn)關(guān)于 直徑AB對(duì)稱的點(diǎn)，連結(jié)CD交AB于P ,貝U P點(diǎn)使CP+ PD最小，Z COD = 120 , CP+ PD = CP + PD =CD =3R.F+ 12= r2廠4 .D 提示：如圖:，得(2 - a)2+ (1)2= r2，解得

20、 a= 16,=器5.A提示：連結(jié)0M，貝U OM丄AC.6解法一：連結(jié)0D交AC于點(diǎn)F,t D為AC的中點(diǎn)，二AC丄0D , AF = CF.又DE丄AB ,二/ DEO = ZAFO. ODEOAF. AF = DE. / DE = 3. AC = 6解法二：延長(zhǎng) DE 交O 0 于點(diǎn) G,易證 AC = 2AD =c c cAD + AG = DG，貝U DG = AC = 2DE = 6.7. 連結(jié)BO并延長(zhǎng)交 AD于H，因AB = BD，故BH丄AD，又/ ADC = 90,貝U BH / CD，從而 OPBCPD，得CD = CP，即 C5 =門6,解得 CD = 1.于是 AD =寸AC2-CD2 = 2許，又 OH = |cD = g， 則 AB =,AH 2 +BH2=2+ 4=6,BC =AC2- AB2=9-6 = , 3. 四邊形 ABCD 的周長(zhǎng)為1 + 22 +,3 + 6.8. 提示：延長(zhǎng)DC至N,使CN = CM，連結(jié)BN，則/ BCN = Z BAD =Z BDA =Z BCA，可證得厶BCN也 BCM , Rt BAM 也 Rt BDN.9. AO = 8, BO = 6, AB = BC = 10, A