閱讀與思考海倫和秦九韶(四)

1、假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為a、b、c,三角形的面積s可由以下公式求得：s= vp(p-a)(p-b)(p-c)而公式里的p為半周長(zhǎng)：p=(a+b+c)/2注1 ： metrica(度量論)手抄本中用s作為半周長(zhǎng)，所以s= mp(p-a)(p-b)(p-c)和 s= vs(s-a)(s-b)(s-c)兩種寫(xiě)法都是可以的，但多用p作為半周長(zhǎng)。由于任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個(gè)三角形，所以海倫公式可以用作求 多邊形面積的公式。比如說(shuō)測(cè)量土地的面積的時(shí)候，不用測(cè)三角形的高，只需測(cè) 兩點(diǎn)間的距離，就可以方便地導(dǎo)出答案。證明過(guò)程與海倫在他的著作metrica(度量論)中的原始證明不同，在此我們用

2、三角公式和公式變形來(lái)證明。設(shè)三角形的三邊 a、b、c的對(duì)角分別為a、b、c,則 余弦定理為cosc = (aa2+ba2-ca2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab* v(1-cosa2 c)=1/2*ab* v1-(aa2+ba2-ca2)a2/4aa2*ba2=1/4* ”4aa2*ba2-(aa2+ba2-ca2)a2=1/4* ”(2ab+aa2+ba2-ca2)(2ab-aa2-ba2+ca2)=1/4* ”(a+b)a2-ca2ca2-(a-b)a2=1/4* v(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)設(shè) p=(a+b+c)/2貝u p=(a+b+c

3、)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=v(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16=p(p-a)(p-b)(p-c)所以，三角形 abc 面積 s= vp(p-a)(p-b)(p-c)證明(2)我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶也提出了 “三斜求積術(shù)”。它與海倫公式基本一樣， 其實(shí)在九章算術(shù)中，已經(jīng)有求三角形公式“底乘高的一半”，在實(shí)際丈量土 地面積時(shí)，由于土地的面積并不是的三角形，要找出它來(lái)并非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據(jù)三邊的長(zhǎng)度來(lái)求三角形的面積？直到南宋，

4、我國(guó)著名的數(shù)學(xué)家秦九韶提出了 “三 斜求積術(shù)”。秦九韶他把三角形的三條邊分別稱(chēng)為小斜、中斜和大斜?！靶g(shù)”即方法。三斜求積術(shù)就是用小斜 平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減后余數(shù)的一半，自 乘而得一個(gè)數(shù)，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個(gè)。相減后余數(shù)被4除，所得的數(shù)作為“實(shí)”，作1作為邛禺”，開(kāi)平方后即得面積。所謂“實(shí)”、“隅”指的是，在方程px 2=qk,p為“隅”，q為“實(shí)”。以、 a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以q=1/4aa2*ca2-(aa2+ca2-ba2)/2 12當(dāng) p=1 時(shí)， 2=q,上 v/4aa2*ca2-(aa2+ca2-ba2)/2 a2因式分

5、解得 a2=1/164aa2ca2-(aa2+ca2-ba2)a2=1/16(c+a) a2-b a2ba 2-(c-a)a 2=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)=1/16(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)=1/16 2p(2p-2a)(2p-2b)(2p-2c)=p(p-a)(p-b)(p-c)由此可得：s*vp(p-a)(p-b)(p-c)其中 p=1/2(a+b+c)這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱(chēng)為“海倫-秦九韶公式”。s= v/4aa2*ca2-(aa2+ca2-ba2)/2 12.其中 cba.根據(jù)海倫

6、公式，我們可以將其繼續(xù)推廣至四邊形的面積運(yùn)算。如下題：已知四邊形abcd為圓的內(nèi)接四邊形，且 ab=bc=4,cd=2,da=6,求四邊形abcd的面積這里用海倫公式的推廣s圓內(nèi)接四邊形=根號(hào)下(p-a)(p-b)(p-c)(p-d) (其中p為周長(zhǎng)一半，a,b,c,d,為4邊)代入解得s=8 v 3證明(3)在bc中za、/b、/c對(duì)應(yīng)邊a、b、co為其內(nèi)切圓圓心，r為其內(nèi)切圓半徑，p為其半周長(zhǎng)有 tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2=1r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2)=r,.t=(p-a)tana/2

7、=(p-b)tanb/2=(p-c)tanc/2 . r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2)=(p-a)+(p-b)+(p-c)tana/2tanb/2tanc/2=ptana/2tanb/2tanc/2=r .pa2ra2tana/2tanb/2tanc/2=pra3. .sa2=pa2ra2=(pra3)/(tana/2tanb/2tanc/2)=p(p-a)(p-b)(p-c) .s= vp(p-a)(p-b)(p-c)證明(4)通過(guò)正弦定理:和余弦定理的結(jié)合證明(具體可以參考證明方法1)編輯本段推廣關(guān)于三角形的面積 計(jì)算公式在解題中主要應(yīng)用的有：設(shè)bc中，a、b、c分別為角a、b、c的對(duì)邊，ha為a邊上的高，r、r分別為9bc外接圓、內(nèi)切圓的半徑，p = (a+b+c)/2,則szabc=1/2 aha=1/2 ab xsinc=r p=