銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

1、廣州卓越一對(duì)一初中數(shù)學(xué)教研部課題銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)學(xué)生姓名年級(jí)初三日期第一部分：知識(shí)點(diǎn)回顧1 .邊與邊關(guān)系：a2+b2=c22 .角與角關(guān)系：/ a + z b=903 .邊與角關(guān)系，sina=a, cosa = b, tana = a, cota= b ccb a4 .仰角、俯角的定義：如右圖，從下往上看，視線與水平線的夾角仰角，從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角。右圖中的/ 1就是仰角，/ 2就是俯角。坡角、坡度的定義：坡面的鉛垂高度與水平寬度的比叫做坡度（或比），讀作i,即i = a1,坡度通常用1:m的形式，例如上圖的 1:2 式。坡面與水平面的夾角叫做

2、坡角。從三角函數(shù)的概念可以知道，坡度與坡角的關(guān)系是i=tanb。顯然，坡度越大，坡角越大，坡面就越第二部分：自我評(píng)測知識(shí)點(diǎn)掌握情況備注非常好有待提高cd第三部分：例題剖析例：如圖，若/ cab = 9 0abab在 rt aabc 中，ca =tan 二 tan 二解法：設(shè) ab = x,在 rt bad 中，da = ca = cd + da二m r tan .： tan :通過解方程求出知數(shù)x的值第四部分：典型例題例1 :某人在d處測得大廈bc的仰角/ bdc為30 ,沿da方向行20米至a處，測得仰角/ bac為45 ,求此大廈的高度bc。變式訓(xùn)練的小路.1: (2011廣東)如圖，小明

3、家在 a處，門前有一口池塘，隔著池塘有一條公路l, ab是a到l現(xiàn)新修一條路 ac到公路1.小明測量出/ acd=30q /abd=45o, bc=50m.請(qǐng)你幫小明計(jì)算他家到公路1的距離ad的長度(精確到0.1m；參考數(shù)據(jù)：22球1.414, 3球1.732).變式訓(xùn)練的正北面,已知當(dāng)?shù)囟林形?2時(shí)太陽光線與水平面的夾角為30：2:如圖所示，小明家住在 32米高的a樓里，小麗家住在 b樓里，b樓坐落在a樓(1)如果(2)如果a, b兩樓相距20石米，那么a樓落在b樓上的影子有多長?a樓的影子剛好不落 在b樓上，那么兩樓的距離應(yīng)是多少米?（結(jié)果保留根號(hào)）2、仰角、俯角當(dāng)我們進(jìn)行測量時(shí)，在視線

4、與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角。例2: （2011江蘇淮安，23, 10分）題圖為平地上一幢建筑物與鐵塔圖，右圖為其示意圖塔cd都垂直于底面，bd=30m,在a點(diǎn)測得d點(diǎn)的俯角為45,測得c點(diǎn)的仰角為 度.建筑物ab與鐵60.求鐵塔cd的高變式訓(xùn)練1:小明想測量塔 bc的高度.他在樓底 a處測得塔頂b的仰角為60：;爬到樓頂d處測得大樓ad的高度為18米，同時(shí)測得塔頂 b的仰角為30：,求塔bc的高度.變式訓(xùn)練2:某高為5.48 m的建筑物cd與一鐵塔ab的水平距離bc為330 m , 一測繪員在建筑物頂點(diǎn) d測得塔頂a的仰角a為30 .求鐵塔ab高

5、.（精確到0.1 m）變式訓(xùn)練3、（2011年三門峽實(shí).驗(yàn)中學(xué)3月模擬）如圖，熱氣球的探測器顯示，從熱氣球a看一棟大樓頂部b的俯角為30,看這棟大樓底部 c的俯角為60,熱氣球a的高度為240米，求這棟大樓的高度.90的角為方向角。3、方位角：指南或指北的方向線與目標(biāo)方向線所成的小于例3: 一個(gè)半徑為20海里的暗礁群中央 p處建有一個(gè)燈塔，一艘貨輪由東向西航行，第一次在a處觀測此 燈塔在北偏西60。方向，航行了 20海里后到b,燈塔在北偏西 30。方向，如圖.問貨輪沿原方向航行有無危險(xiǎn)?變式訓(xùn)練1: （2009廣東中山，15, 6分）如圖所示， a、b兩城市相距100km ,現(xiàn)計(jì)劃在這兩座城市

6、間修建一條高速公路（即線段ab）,經(jīng)測量，森林保護(hù)中心p在a城市的北偏東30和b城市的北偏西45的方向上，已知森林保護(hù)區(qū)的范圍在以 速公路會(huì)不會(huì)穿越保護(hù)區(qū)p點(diǎn)為圓心，50km為半徑的圓形區(qū)域內(nèi)，請(qǐng)問計(jì)劃修建的這條高 為什么？（參考數(shù)據(jù)：6= 1.732,亞=1.414 )變式訓(xùn)練2:為打擊索馬里海盜，保護(hù)各國商船的順利通行，我海軍某部奉命前往該海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù).某天我護(hù)航艦正在某小島 a北偏西45 并距該島20海里的b處待命.位于該島正西方向 c處的某外國商船遭到海盜襲擊，船長發(fā)現(xiàn)在其北偏東60的方向有我軍護(hù)航艦（如圖所示），便發(fā)出緊急求救信號(hào).我護(hù)航艦接警后，立即沿 bc航線以每小時(shí) 60海

7、里的速度前去救援.問我護(hù)航艦需多少分鐘可以到達(dá)該商船所在的位置c處？（結(jié)果精確到個(gè)位.參考數(shù)據(jù)：點(diǎn)勺1.4,j3 = 1.7）如圖，小明從 a地沿北偏東30 -方向走100石m到b地，再從b地向正南方向走200 m到c地，此時(shí)小明離a地m4、坡度與坡角坡角：把坡面與水平面的夾角a叫做坡角。坡度：坡面的鉛直高度 h和水平寬度l的比叫做坡度（或叫做坡比），一般用i表示。即i=h = h：l ,l坡度=i = tan ： hl坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡例4: （2011湖南衡陽，9, 3分）如圖所示，河堤橫斷面迎水坡ab的坡比是1: j3,堤高bc=5m,則坡面ab的長度是（）a. 10m

8、b. 10 6m c. 15m d. 573m例5: （2011甘肅蘭州，17, 4分）某水庫大壩的橫斷 面是梯形，壩內(nèi)斜坡的坡度i=1 ： j3,壩外斜坡的坡度i=i ： 1,則兩個(gè)坡角的和為例6: （2006年福建省漳州市）一個(gè)鋼球沿坡角 31的斜坡向上滾動(dòng)了 5米，此時(shí)鋼球距地面的高度是 （）a. 5sin31 0米b. 5cos31 0米c. 5tan 310 米d. 5cot310 米例7: 一水庫大壩的橫斷面為梯形abcd ,壩頂寬6.2米，壩高23.5米，余坡ab的坡度i= 1 : 3,斜坡cd的坡度i2 = 1 ：2.5。求:斜坡ab與壩底ad的長度（精確到 0.1米）；(2)

9、斜坡cd的坡角“（精確到1）。b c變式訓(xùn)練1：某人沿著坡度ai=1: j3的山坡走了 50米，則他離地面米。變式訓(xùn)練2: （2011山東東營，8, 3分）河堤橫斷面如圖所示，堤高bc = 5米，迎水坡（坡比是坡面的鉛直高度bc與水平寬度ac之比），則ac的長是（）b. 10 米c. 15 米d. 108米ab的坡比1: 33變式訓(xùn)練3: （08年順義二模）20. 一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面為梯形abcd,如圖所示，其中背水面為ab,現(xiàn)準(zhǔn)備對(duì)大壩背水面進(jìn)行整修，將坡角由45改為30 ,若測量得ab=20米，求整修后需占用地面的寬度 be的長.（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù):,2 1.414

10、, .3 1.732, j6 2.449變式訓(xùn)練4、如圖，水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬10米，壩高be=cf=3冰，余觸皮ab的坡角/a=30 ,斜坡cd的坡度i=1:3,求壩底寬ad的長.（答案保留根號(hào)）b c第五部分：思維誤區(qū)1【1】如圖9,先進(jìn)村準(zhǔn)備在坡角為 “的山坡上栽樹，要求相鄰兩樹之間的 水平距離為a米，那么這兩樹在坡面上的距離 人8為（）a. acosa 米b.acos工c. a sin a 米d. -a米sin;解析：分別過點(diǎn)b, a作平行水平面的直線和垂直于水平面的直線相交于 點(diǎn) c。則 abc是直角三角形，且/ c=90 ,/ cba= &bc a acosa = ab

11、=,故選 b。ab abcos ;錯(cuò)因分析：部分學(xué)生在解答本題時(shí)沒有分清銳角”的正弦、余弦是哪個(gè)邊與斜邊ab的比，造成錯(cuò)選，也有學(xué)生在變式時(shí)錯(cuò)誤。2.專用名詞不清【2】（2009年深圳市）如圖9,如圖，斜坡ac的坡度（坡比）為 1： v3, ac = 10 米.坡頂有一旗桿bc,旗桿頂端b點(diǎn)與a點(diǎn)有一條彩帶 ab相連,ab =14 米.試求旗桿bc的高度.解析：坡度是表示斜坡的鉛直距離與水平距離的比，所以過點(diǎn)c 作 cexadt e為鉛直距離，ae為水平距離，即 ce： ae=1： j3。. tan/cae;工3圖10cae=30 ,解直角三角形 aec可得 ce=5 (m) , ae=5錯(cuò)因

12、分析：本題要注意斜坡的坡度是坡角的正切值，弄清坡角與坡度的區(qū)別與聯(lián)系；其他實(shí)際問題中還要 注意仰角、角、方位角等概念。第六部分：方法規(guī)律銳角三角 函數(shù)了解銳角三角函數(shù)（sin a , cosa , tan a ）;知道 30 , 45。，60。角的三角函數(shù)值由某個(gè)銳角的一個(gè)三角函數(shù) 值，會(huì)求這個(gè)角的其余兩個(gè)三 角函數(shù)值；會(huì)計(jì)算含有 30。， 45。，60。角的三角函數(shù)式的 值能運(yùn)用三角函 數(shù)解決與直角 三角形有關(guān)的 簡單問題解直角三 角形知道解直角三角形的含義會(huì)解直角三角形；能根據(jù)問題 的需要添加輔助線構(gòu)造直角 三角形；會(huì)解由兩個(gè)特殊直角 三角形構(gòu)成的組合圖形的問 題能綜合運(yùn)用直 角三角形的性

13、 質(zhì)解決有關(guān)問 題第七部分：鞏固練習(xí)a.基礎(chǔ)訓(xùn)練：1.在rtabc中，z c= 90 ,下列關(guān)系式錯(cuò)誤的是（）a. b = c cos b b. b = a tan b c. a = csin a d. a = tan b2.在rtabc中，/ c= 90 ,下列式子不成立的是（）22.2aa. a =c -b b. sin a = - c. a = btan a d. c = bcosb c3 . rtabc中,cd 為斜邊 ab上的高，ad= 4, bd= 2,那么 tan a =（）a,ab.后c.ad./ 23484 .太陽光與地面成42.5的角，一樹的影長 10米，則樹高約為 。（精

14、確到0.01米）5 .在離地面高6米處的拉線固定一煙囪，拉線與地面成60。角，則拉線的長約是 米。（精確到0.01米）6 .如圖313 1,大壩橫截面是梯形 abcd） cd= 3 m, ad= 6 m.壩高是3 m , bc坡的坡度i=1:3,則 坡角/ a=,壩底寬 ab=。7 .如圖31 3 2,在2005年6月份的一次大風(fēng)中，育英中學(xué)一棵大樹在離地面若干米的b處折斷,樹頂a落在離樹根12米的地方，現(xiàn)測得/ bac= 48 ,求原樹高是多少米？（精確到0.01米）圖 31-3-2a市氣象局測得沙復(fù)習(xí)鞏固：1.由于過度采伐森林和破壞植被，使我國某些地區(qū)受到沙塵暴侵襲，近日塵暴中心在 a市正

15、東方向400km的b處，正在向西北方向轉(zhuǎn)移（如圖31 33所示），距沙塵暴中心300km 的范圍內(nèi)將受其影響，問 a市是否會(huì)受到這次沙塵暴的影響？2.如圖31 3 4,為了測量電視塔 ab的高度, 知c、d兩點(diǎn)在同一水平線上， c、d間的距離為 確到0.1米）在c、d兩點(diǎn)測得塔頂 a的仰角分別為30。，45。已60米，測傾器cf的高為1.5米，求電視塔 ab的高。（精圖 31-3-43.如圖31 35, 一只船自西各東航行，上午 9時(shí)到達(dá)一座燈塔 p的西南方向68海里的m處，上午11時(shí) 到達(dá)這座燈塔的正南方向n處，求這只船航行的速度。圖 31-3-5拓展訓(xùn)練：1. （2003 貴陽）如圖313

16、9,某貨船以20海里/時(shí)的速度將一批重要物資由 a處運(yùn)往 正西方向的b處，經(jīng)16小時(shí)的航行到達(dá)，到達(dá)后必須立即卸貨。此時(shí)，接到氣象部門通知，一臺(tái)風(fēng)中心 正以40海里/時(shí)的速度由a向北偏西60。方向移動(dòng)，距臺(tái)風(fēng)中心 200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）均會(huì)受 到影響。（1）問：b處是否會(huì)受到臺(tái)風(fēng)的影響？請(qǐng)說明理由。（2）為避免受到臺(tái)風(fēng)的影響，該船應(yīng)在多少小時(shí)內(nèi)卸完貨物?圖 31-3 92.如圖31 310,某移動(dòng)公司移動(dòng)電話的信號(hào)收發(fā)塔建在某中學(xué)的科技樓上，李明同學(xué)利用測傾器在距離科技樓靠塔的一面25米遠(yuǎn)處測得塔頂 a的仰角為60。，塔底b的仰角為30。，你能利用這些數(shù)據(jù)幫李明同學(xué)計(jì)算出該塔的高度嗎

17、？（結(jié)果精確到0.1 米）a圖 31-3-103、如圖，在某海域直徑為 30海里的暗礁區(qū)中心有一哨所 a,發(fā)現(xiàn)有一艘輪船從哨所正西方45海里處向哨所駛來，哨所及時(shí)向輪船發(fā)出了危險(xiǎn)信號(hào)，但輪船沒有收到信號(hào)，又繼續(xù)前進(jìn)了15海里到達(dá)c處,此時(shí)哨所第二次發(fā)出緊急信號(hào)（信號(hào)傳輸時(shí)間忽略不計(jì)）。若輪船收到第一次信號(hào)后，為避免觸礁，輪船航向改變的角度至少為東偏北a度，求sina當(dāng)輪船收到第二次信號(hào)時(shí)，為避免觸礁，輪船改變的角度東偏南至少應(yīng)為多少？第八部分：中考體驗(yàn)1、（2011德州布市中考）某興趣小組用高為1.2米的儀器測量建筑物 cd的高度.如示意圖，由距 cd -定距離的a處用儀器觀察建筑物頂部 d的

18、仰角為p,在a和c之間選一點(diǎn)b,由b處用儀器觀察建筑物頂部d的仰角為a .測得a, b之間的距離為4米，tana =1.6, tan p = 1.2 ,試求建筑物 cd的高度.2、（2011濟(jì)寧）日本福島出現(xiàn)核電站事故后，我國國家海洋局高度關(guān)注事態(tài)發(fā)展，緊急調(diào)集海上巡邏的海檢船，在相關(guān)海域進(jìn)行現(xiàn)場監(jiān)測與海水采樣，針對(duì)核泄漏在極端情況下對(duì)海洋環(huán)境的影響及時(shí)開展分析評(píng)估。如圖，上午9時(shí)，海檢船位于 a處，觀測到某港口城市 p位于海檢船的北偏西 67.5方向，海檢船以21海里/時(shí) 的速度向正北方向行駛，下午 2時(shí)海檢船到達(dá)b處,這時(shí)觀察到城市p位于海檢船的南偏西36.9方向，求此時(shí)海檢船所在b處與城

19、市p的距離？(參考數(shù)據(jù)：sin 36.90 &3, tan 36.90 & 3 ,sin 67.5012, tan67,50 之 12 )54135第18題3、（2011成都市中考）如圖，在亞丁灣一海域執(zhí)行護(hù)航任務(wù)的我海軍某軍艦由東向西行駛.在航行到b處時(shí)，發(fā)現(xiàn)燈塔 a在我軍艦的正北方向 500米處；當(dāng)該軍艦從 b處向正西方向行駛至達(dá) c處時(shí)，發(fā)現(xiàn)燈塔 a在我軍艦的北偏東60。的方向。求該軍艦行駛的路程.（計(jì)算過程和結(jié)果均不取近似值 ）4、（2011威海市中考）一副直角三角板如圖放置，點(diǎn)/ e=45 , / a=60 , ac=10,試求 cd 的長。c 在 fd 的延長線上，ab/cf, /f=/acb=90,東5、（2011無錫市中考）如圖，一架飛機(jī)由a向b沿水平直線方向飛行， 在航線ab的正下方有兩個(gè)山頭 c、d.飛機(jī)在a處時(shí)，測得山頭 c、d在飛機(jī)的前方，俯角分別為 60和30.飛機(jī)飛行了 6千米到b處時(shí)，往后測得山頭 c的俯角為30。，而山頭d恰好在飛機(jī)的正下方.求山頭 c、d之間的距離.、ab