函數(shù)模型及其應(yīng)用

1、函數(shù)的綜合應(yīng)用教學(xué)目標(biāo)：綜合運(yùn)用函數(shù)的知識(shí)、方法和思想解決問題。教學(xué)重點(diǎn)：如何運(yùn)用函數(shù)思想實(shí)現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化。教學(xué)難點(diǎn)：同重點(diǎn)。一、知識(shí)梳理1、函數(shù)與不等式、方程的聯(lián)系；2、函數(shù)與數(shù)列、向量、解幾等知識(shí)的交匯。二、訓(xùn)練反饋1、定義運(yùn)算a*b=，a(ab) ，則函數(shù)f(x)=1*2 x的值域?yàn)?.b(a b)2、過點(diǎn)p(1,1)作曲線作曲線y=x3的兩條切線，則它們夾角的正切值為()、.39159a. 3b. 13c. 13d. 53、若 f(x)是 r 上的減函數(shù)，且 f(0)=3,f(3)=-1,設(shè) p=x| |f(x+t)-1|2,q=x|f(x)-1,設(shè)“xw p ”是“ x w q ”的充

2、分不必要條件，則實(shí)數(shù) t的取值范圍是()a. t 0b.t -0 c.t g(x)時(shí),求函數(shù)g(x)一-的最小值.本題主要考查向量基本概念、基本函數(shù)的性質(zhì)。當(dāng) xc df且 xc dgg當(dāng)xc df且x更dg例2 (05上海)對(duì)定義域分別是 ddg的函數(shù)y=f(x)、y=g(x),f(x) g (x)規(guī)定：函數(shù)h(x)= f(x)g(x)當(dāng) x更 df 且 x e dg(1)若函數(shù) f(x)=-2x+3,x 1; g(x)=x-2,x e r,寫出函數(shù) h(x)的解析式；(2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的最大值；若g(x)=f(x+ *其中“是常數(shù)，且長(zhǎng)0,兀,請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)定義域?yàn)閞的函數(shù)y=f

3、(x),及一個(gè)a的值，使得h(x)=cos2x,并予以證明本題主要考查對(duì)函數(shù)概念的理解特別是分段函數(shù)的理解，把握函數(shù)的本質(zhì)。 四、備選例題1.設(shè)f(x)是定義在r上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱，對(duì)任何xr x21 0,2都有 f(x1, x2)=f(x 1) f(x2),f(1)=a0 。求 f(l)、f(1)； 24(2)證明：f(x)是周期函數(shù);(3)證明：x r時(shí)，均有f(x)0 ;.1.1+ (4)若 an=f(2n+1+ 1一), bn=f( 2n + +1),n= n，求數(shù)列an與bn的通項(xiàng)公式。2n 1n2.已知函數(shù) f(x)= x +1 -a (a 乙 r) a -x(1

4、)證明：函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a, -1)成中心對(duì)稱圖形；3(2)當(dāng) x=a+1,a+2時(shí)，求證：2wf(x)w3；2(3)利用函數(shù)y=f(x)構(gòu)造一個(gè)數(shù)列xn,方法如下：對(duì)給定的定義域中的xi,令x2=f(x1)，x3=f(x2),xn=f(xn-1),在上述構(gòu)造過程中，如果xi ( i=2,3,4)在定義域中，構(gòu)造的過程將繼續(xù)下去；否則將停止。(1)如果可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)常數(shù)列 xn,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)如果取定義域中的任一值作為x1,都可以用上述方法構(gòu)造出一個(gè)無(wú)窮數(shù)歹式xn,求實(shí)數(shù)a的值。五、綜合運(yùn)用1、若方程(工)x+ ( 1) x-1+a=0有正數(shù)解，則實(shí)數(shù) a的

5、取值范圍是()42a.(-8, 1) b. (-8, -2) c. (-3, -2) d. (-3, 0)32、已知a、3為銳角，sin a =x, sin 3 =y, cos( a + 3 )=- 5，則y與x的函數(shù)關(guān)系式為()f(x)+f(-x)=0,g(x)g(-x)=1,且當(dāng) x # 0 時(shí),g(x) # 1.則 f(x)= 2 f (x) +f(x)(g(x) -1a.是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)c.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)x 15、( 05全國(guó)卷iii)設(shè)3 =-,則(a) -2x-1(b) -3x-2b.是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)d.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù))(c) -1x0(d) 0x1a.y=

6、- 3 1 - x2 + x (0x1)b. y=- 3 1 - x2 +f x (0x1) 5555c. .y=- 3 . 1 - x2 5+ 4 x(0x -) 55d. y=- 3 1 - x -4 x (0x0.求證：f(1)+f()+ f(1)f( 1 )o511n2 3n 12函數(shù)的綜合應(yīng)用參考答案訓(xùn)練與反饋1、 (0,1)2、 b3、c4、d5、設(shè)x0是方程f(x)=x的一實(shí)根，則ff(x o)=f(x o)=xo，說明方程f(x)=x的根均為ff(x)=x的要使ff(x)=0有四個(gè)不等實(shí)本則必須 f(x)=x有兩個(gè)不等實(shí)根。二 (b-1) 2-4ac0,其次，由 ff(x)-x

7、=af(x) 2+bf(x)+c-1=af(x) 2-af(x)x+af(x)x-ax 2+bf(x)-x+f(x)-x=f(x)-xaf(x)+ax+b+1可得方程af(x)+ax+b+1=0亦必須有兩個(gè)不等實(shí)根，即a2x2+a(b+1)x+(ac+b+1)=0有兩個(gè)不等實(shí)根。二 = a2(b-1) 2-4ac-40(b-1) 2-4ac4ff(x)=x有4個(gè)不等實(shí)根的必要條件為(b-1) 2-4ac4.此條件也是充分的，因?yàn)槿?b-1) 2-4ac4,則f(x)=x與af(x)+ax+b+1=0均有兩不等實(shí)b 1根且無(wú)公共根，否則若x0為公共根，則xo= - 2a代入f(x)=x得(b-1

8、) 2-4ac=4矛盾。故方程ff(x)=x有4個(gè)不等實(shí)根的充要條件是(b-1) 2-4ac4.典型例題例 1解(1)由已知得 a( b ,0),b(0,b),則 ab= b ,b,于是 b=2,b=2. . . k=1,b=2.kk k(2)由 f(x) g(x),得 x+2x2-x-6,即(x+2)(x-4)0,得-2x0,則g(x)+1 -3,其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x+2=1,即x=-1時(shí)成立 f(x)g(x) 的最小值是-3.f(x)例 2解(1)h(x)= r(-2x+3)(x-2)xc1,+ oo)x-2xc (-8,1)(2)當(dāng) x1 時(shí)，h(x)= (-2x+3)(x-2)=-2x

9、2+7x-6=-2(x- 7)2+1481h(x) w ； 8，當(dāng) x1 時(shí)，h(x)02241 1f(1 )=a 2 ,f(1 )=a 4 .2 4(2)由已知得 f(1+x)=f(1-x)且 f(-x)=f(x),f(x+2)=f1+(1+x)=f1-(1+x)=f(-x尸f(x)，f(x)為周期函數(shù)，且2為一個(gè)周期。x1x, 一一八八一 .八2任取x0,1,2u0,21則f(x)=f(2) 0丁 f(x)為偶函數(shù)。，對(duì) xw-1,0,均有 f(x)=f(-x)之0又f(x)是以2為周期的函數(shù)，則對(duì)任意x三r,總存在kwz,使 xl+2k,l+2k,這時(shí) f(x)=f(x-2k) 0.,

10、對(duì)一切 xw r,均有 f(x) 0.an=f(2n+1+ 1)=f(1+ 1)=f(1-2n 1 2n 1- )=f( -2 )=f()22n 1 2n 1 2n 11而 f(1)=f( 2n +1 )=f( _1)2n4, f( _1_)=a 2n由2n 1 2n 12n 12nan=a2n:：1.1.1.1. n -1bn = f (2n 1 1) = f(- 1) = f(1 -1) = f (n-)nnn n而 f(1) = f (n n)=|f(1).il nf6bn 二 a nx 1 1 - a2. (1)設(shè) p(x, y)是 y=f(x)圖象上任一點(diǎn)，則 yo =a - x0點(diǎn)

11、p關(guān)于(a,-1)的對(duì)稱點(diǎn)是 p(2a-x0,-2-y0)(2a - x0)1 - a a 1 - x0a 1 - x0 f(2a-x0)=一圈j=0,-2-y0=0a -(2 a - x0) x0 - ax0 - af (2a - x0) - -2 - y0即點(diǎn)p在y=f(x)的圖象上。二 函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,-1)成中心對(duì)稱圖形3 (x -a -1)( x a -2)(2) - f(x)+2f(x)+=2- ,x a+1,a+222(a -x)2f(x)+2f(x) + 3 0 .-2 f(x) - 322.一 x1-a(3)1由已知只需x#a時(shí)，f(x)=x有實(shí)解，即 =x有實(shí)解a - x即x2