專題3平面向量與三角函數(shù)結(jié)合

1、精品資源專題3平面向量與三角函數(shù)結(jié)合考點(diǎn)動(dòng)向：向量與三角函數(shù)的交匯是當(dāng)今高考命題的一個(gè)熱點(diǎn).自從新教材實(shí)施以來(lái)，在高考中，不時(shí)考查平面向量與三角有關(guān)知識(shí)的結(jié)合。這些題實(shí)際上是以向量為載體考查三角函數(shù)的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是利用向量的數(shù)量積等知識(shí)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化時(shí)不要把向量與實(shí)數(shù)搞混淆，一般來(lái)說(shuō)向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目難度不大。向量與三角函數(shù)結(jié)合，題目新穎而精巧，既符合在知識(shí)的“交匯處”構(gòu)題，又加強(qiáng)了對(duì) 雙基的考查。這類題目常常包括向量與三角函數(shù)化簡(jiǎn)、求值與證明的交匯、 向量與三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的交匯等幾個(gè)方面.可以預(yù)測(cè)到，明年仍至今后的高考中，還會(huì)繼續(xù)出現(xiàn)向量與三角函數(shù)結(jié)合的題目

2、。方法范例例1、(2005年，天津卷) 在直角坐標(biāo)系xoy中，已知點(diǎn) a (0, 1)和點(diǎn)b (3, 4),若 點(diǎn)c在/ aob勺平分線上且| oc| = 2 ,則 oc =。分析題設(shè)中已知向量的模，設(shè)oc = (2cos0,2sin 0 ),結(jié)合角平分線和反三角形函數(shù)等知識(shí)求sin 0 , cose ,進(jìn)一步得到結(jié)果。答案解：設(shè)oc=(2cos&2sin日)，則日的終邊在第2象限，即sin6 。且cos日0 ,由 cos26 =2cos2h -1 ,得41 3二 4arctanarctan2 1232 232 .3 二2cos 1-1 cos 一 2444-arctan- =1 -sin a

3、rctan- =1 - 一 3.35故 cos2 b= , sin2 0 =,得 cos0 = 一一,sin 日=-=,10101010所以 oc=(2cose,2sin 日 j-i笨 u.加3加 1l布布八55 j例2、(2005年，山東卷) 已知向量 m =(cos,sin日)和n =(v2_sinei,cosl )日三儼,2n卜的值.7 .i 8,2 一 口 m + n =,求 cos.十52 8分析本題是以向量的模為背景， 利用模，結(jié)合三角函數(shù)恒等變換、 化簡(jiǎn)求值等有關(guān)知 識(shí)進(jìn)行求解。答案解：1 m +n = (cos sin8 + 72,cos 日 +sin 日cos二-sin 。2

4、 (cos? sin )2 = . 4 2、2(cos二-sin),4 十 4cosmfcosfp二 c 2 戶 二 coslo+ =2cos (+)1,4 2 85 二二二 9 二:二一,一:二.8288由已知m+n =述，得cosi+工=工，又 54 2523 二、16. 八cos (十)=,，日 w (n，2n ).2 825代j )八 廣日，冗,cos + f0,. . cos 一十282 8j冗例 3 (2006 年全國(guó)n) 已知向量，a = (sin 仇1), b = (1,cose), - e -.22(1)若2_1求日；(11)求a+b的最大值.分析(i)利用向量垂直的等價(jià)條件

5、，進(jìn)行向量數(shù)量積的運(yùn)算，求 日；(n)先求 出向量a + b,再進(jìn)行求a+b ,后利用三角函數(shù)性質(zhì)求最大值。l 五、答案解：(i)因?yàn)?a _l b ,所以 a b =(sin6,1 ) (1,cos9 )= v2 sin 6i= 0,4 j二二二二3二二因?yàn)橐?曰 一,所以 8 + 一冗,8 + =0 即 8= 一 ,2244444或者，若 a b,則 a,b = (sin6,1 ) (1,cos8 )= sin 0 + cos 0=0,所以，tan 0 = 1( -2- 0 -y),所以 0 = - -4;(n)由 a = (sin6,1), b=(1,cos日)，得a + b =(sin

6、日,1 + (1,cos日)=(sin日 +1,1 +cos ),a+b = *(sine +1 2 +(1 + cos8 f = %；3 + 2(sine + cosq )=13 +2m2 sin9 + iv 4；當(dāng)sin(6=1時(shí)，a+b取最大值，即當(dāng)日=：時(shí)，a + b取最大值j2+1.規(guī)律小結(jié)(1)向量與三角函數(shù)結(jié)合，題目新穎而精巧，既符合在知識(shí)的“交匯處”構(gòu)題，又加 強(qiáng)了對(duì)雙基的考查， 特別是向量的坐標(biāo)表示及運(yùn)算，這類問(wèn)題的解決思路通常是將向量的數(shù)量積的運(yùn)算與模用坐標(biāo)運(yùn)算后，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問(wèn)題， 然后用三角函數(shù)基本公式求解， 基中涉及到的有關(guān)向量的知識(shí)有：向量的坐標(biāo)表示及加法、 減法

7、、數(shù)乘向量；向量的數(shù)量積；向量平行、垂直的充要條件；向量的模、夾角等。(2)平面向量垂直問(wèn)題有多種證明方法，常用的方法有三種：一是根據(jù)數(shù)量積的定義 證明，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明，三是利用向量運(yùn)算的幾何意義來(lái)證明。歡下載(3)三角函數(shù)恒等變形的基本策略:常值代換法，特別是1的代換法，如1=cos2 0 +sii2 0 =tanx cotx=tan45。分拆配湊法，如項(xiàng)的分拆：sin2x+2cos2x=(sin 2x+cos2x)+cos2x=1+cos 2x;角的配湊:升次降次法，如降次法：用二倍角公式降次?；一蟹ǎ簩⑷呛瘮?shù)利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系化成弦(切)輔助元素法，引入輔助角

8、：asin6 +bcos0 =4a2+b2sin(e十中)，這里輔助角中所在象pm由a、b的符號(hào)確定，邛角的值由tanp=b確定.a和積互化法等。考點(diǎn)誤區(qū)分析:(1)對(duì)于向量的數(shù)量積的運(yùn)算、 垂直與平行的等價(jià)條件等知識(shí)，考生可能弄混、用錯(cuò).下解答:以上例3就是平面向量垂直的證明，考生有可能記錯(cuò)了向量垂直的充要條件，導(dǎo)致進(jìn)行如a b =(sin8,1 ) (1,cos8 尸 22 sin 日 一一 i = 0, 4 j3 二 二 二 二二8 一 , 6 = 0 即 8= 一 .44444必須加強(qiáng)理解記憶(2)對(duì)于三角函數(shù)及其恒等變形等知識(shí)，考生也可能記錯(cuò)、用錯(cuò), 同步訓(xùn)練:1、(2004年浙江卷

9、)已知平面上三點(diǎn)a、b、c滿足|ab|=3,| bc|=4 , | ca|=5,則ab，bc + bc,ca +ca , ab的值等于2、若向量 a =(cosa,sina),b =(cosp,sin p),則 ouf b 一定滿足()a. a與b的夾角等于 口pb. (a+b)1(a-b)-ir*c. a / bd. a b3、已知 a= (cos a , sin a ) , b= (cos 3 , sin 3 ) (0 a 3 u ),(1)求證：a+b與a- b互相垂直；(2)若ka+b與a-kb的大小相等(ke r且kw0),求3 - a34、已知 a、日 c二點(diǎn)的坐標(biāo)分別是 a(3,

10、0), b(0, 3),c(sina,cosa)，其中；cot ,(1)若 ac = bc ,求角 a 的值；(2)若 ac bc = -1 ,求 2sin “sin2的值。1 + tanif5、設(shè) a = (1+cos a , sin a ) , b = (1-cos p , sin p ), c=(1,0) , a e (0, n), p c(n,2 n), a與c的夾角為6 1 , 6與c的夾角為8 2，且8產(chǎn)82 =；，求sin j的值。6、 abc 中，三個(gè)內(nèi)角分別是 a、b、c,向量 a = (- cos ,cos), 222,1當(dāng) tan a tan b =時(shí)，求 | a |.9

11、參考答案1、解析本題主要是向量與解三角形的結(jié)合，解題時(shí)應(yīng)注意兩個(gè)向量的夾角與三角形的內(nèi)角的關(guān)系，如=ti-c。答案252、解析；口|=|6=1；.以a,b為兩鄰邊組成的平行四邊形為菱形，其兩對(duì)角線互相垂直，由向量加減法的平行四邊形法則，可知：(a + b)，(a - b).答案選b.3、解析(1)證法一 ：: a二 (cos a , sin a ) , b= ( cos 3 , sin 3 ).a+b= ( cos a +cos 3 , sin a + sin 3 ) ,a- b= ( cos a - cos 3 , sin a - sin 3 ).(a+b) (a- b)= (cos a +

12、cos 3 , sin a + sin 3 ) (cos a - cos 3 , sin a - sin 3 ) =cos2 a - cos2 3 +sin2 a - sin 2 3 =0.(a+b) (a- b).證法二：a= (cos a , sin a ) , b= (cos 3 , sin 3 ),. . | a| = 1, | b| = 1.1. (a+b)(a-b)=a2-b2=|a| 2-|b|2=0,1.(a+b) (a-b).證法三：= a= (cos a , sin a ) , b= (cos 3 , sin 3 )| a| = 1, | b| = 1 .記 oa = a,

13、 ob =b,則 | oa| =| ob|=1,又 “ w 3 , . .q a、b三點(diǎn)不共線.由向量加、減法的幾何意義，可知以oaob為鄰邊的平彳t四邊形 oac屋菱形，其中oc= a+b, ba = a-b,由菱形對(duì)角線互相垂直，知(a+b)，(a-b).(2)解：由已知得| ka+b|與|a-kb|,又 | ka+b| 2= (kcos a +cos 3 )2+(ksin a +sin 3 )2=k2+1+2kcos( 3 - a ),| ka+b| 2 = (cos a - kcos 3 ) 2+( sin a - ksin 3 )2=k2+1-2 kcos( 3 a ),. 2kco

14、s( 3 - a )= -2 kcos( 3 - a ).又kw 0,cos( 3 a ) = 0 .冗0 a 3 兀,0 3 一 a tt ,3 一 a =一2 -it答案(1)略， (2)一.tt4、解析(1)由題意，得 ac = (sin口3,cosa) , bc = (sin,cos -3).；用=船工 ac|2 =ibc|222. 22,即(sin ：3) cos : = sin = (cos： -3)化簡(jiǎn)得 sin a = cosa ,(2)由 ac bc又 a n ,二 a = n .224=_1 得：(sin a 3)sin a 十 cosa(cosa _ 3) = 1 ,化簡(jiǎn)

15、得sina+cosa , 3是 2sin 二 cos ： - (sin .2+ cos 二)2c 2. c2sin 二；“ sin 2 二2sin ： (sin w ： cos ：)1 tan :cos w ： sin ;5二2sin 二 cos：二一一9cos 二,5答案- 95、解析cos1|a| |b|cl二| cos 2| , a e (0, n),cosu2 =*|b|c|2hpji（一, 二）一一一222n%).，cos“sin，2h=cos( 2、 心)=cos(22)a -p- sin 4=sin(答案2. 56、解析, | a | = (cosf)2cos2252. | a | = cos4c 2 a-bcos 5 . 2= sin42 a - b cos 2=5 1 -cos(a b) . 1 cos(a-