新課標(biāo)回歸教材不等式

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載新課標(biāo)回歸教材不等式1、不等式的性質(zhì)名稱不等式名稱不等式對(duì)稱性ab b,b c= a c可加性a b = a +c Ab +c （充要條件） 同向不等式可加性：ab,c:d= a+c b+d 異向不等式可減性：a b, c b,c0二 aenbe a b, c c0= ac ebe 同向正數(shù)不等式可乘性： a b 0,c d 0n acbd 異向正數(shù)不等式可除性： a nb0,0 c b 0二 abn(n W N, n K2)開方法則a Ab 0n 需(n n, n 2)倒數(shù)法則1 1ab 0,a- b二a3 Ab3（充要條件）注：表中是等價(jià)關(guān)系的是解、證明不等式的依據(jù)，其它的

2、僅僅是證明不等式的依據(jù) 典例:1）對(duì)于實(shí)數(shù)a,b,c中,給出下列命題：a .b=ac2 be2 ；ac2 be2二a b；aaAa a :b : 0= a2 ab b2； a : b : 0=-:一； a : b ： 0= -；ababab11 a ：b ： 0= |a | | b|; c a b 0； a b,a 0,b ： 0.cacbab其中正確的命題是.2)已知-1 _ x y _1一3,則3x - y的取值范圍是1,7；c13）已知a b - c ,且 a b c =0,則 的取值范圍是（2,）. a22、不等式大小比較的常用方法：（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符

3、號(hào)得出結(jié)果；（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)幕的代數(shù)式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函數(shù)的單調(diào)性；（7）尋找中間量或放縮法；（8）圖象法.其中比較法（作差、作商）是最基本的方法1 t +1典例:1）設(shè)a - 0且a =1,t0,比較一 log at和loga 的大小2 21 t +1答案：當(dāng)a 1時(shí),logat乞loga（在t =1時(shí)取=”）；2 21 t +1當(dāng) 0 ：a ：1 時(shí),-logat 亠loga（在 t =1 時(shí)取=）;2 2a 3 -1a 22）已知a 0,a =1,試比較p =a ,q =a 的大小.（答：p q ）12召3）設(shè) a 2 p

4、二a,q =2亠4a，試比較 p,q 的大?。ù? p q ）;a -24）比較 1+logx3與 2logx2（x0且x =1）的大小.4答:當(dāng) 0 ：x ：1 或 x 時(shí),1+ logx3 2logx 2；44當(dāng) 1 ：x 時(shí),1+ logx3 v 2log xJk+1+Jk 2jk ;當(dāng) x 時(shí),1+ logx3 = 2log x23 35）若 a,b,c 壬 R+且 2a =log.5 a,（0.5）b = log0.5 b,（0.5）c =log2C ,比較 a, b,c 的大?。ù?cb a）3.利用重要不等式求函數(shù)最值:一正二定三相等，和定積最大，積定和最小”.1A. y =x

5、的最小值是2xx2亠3C. y=_x3_的最小值是2Qx2 +22）若x 2y =1,則2x 4y的最小值是典例:1）下列命題中正確的是（B ）B. y =2 -3x -2)已知 a,b,c R,求證:a2b2 b2c2 c2a2 -abc(a b c); 11x y 3)已知 a,b,x,y R .，且,x y ,求證：- a bx +a y +b4）若a, b, c是不全相等的正數(shù) ，求證:lg 七上 lg 與衛(wèi) lg七尹 lg a lg b lg c;(x . 0)的最大值是 2-43xD. y=2-3x-?(x 0)的最小值是 2-43;x2.2;3）已知x, y R，且 x 1，則5

6、）若 n N*，求證（n 1）2 1 （n 1） 、n2 1 n ； -的最小值為18;x y變式：已知0 : x ：1,則8的最小值為18x 1 -x4 1 ：已知x, y R .，且9 ,則x y的最大值為x y :已知x,y R.,且xy*4y,則x y的最小值為4.常用不等式 有:（1）a2 b2a b2ab - 2 211 (a,bR,當(dāng)a=b時(shí)取=號(hào))a ba2 b2 也 也 _2ab（a,b R,當(dāng)a二b時(shí)取=號(hào)）2上式從左至右的結(jié)構(gòu)特征為：平方和”不小于和平方之半”不小于積兩倍”. 真分?jǐn)?shù)性質(zhì)定理：若a b 0,m 0,則b :：:（糖水的濃度問題）.aa +m典例若a,bR.

7、,滿足ab=a b 3,則ab的取值范圍是9,；.5、證明不等式的方法：比較法、分析法、綜合法和放縮法.比較法的步驟是：作差（商）后通過分解因式、配方、通分等手段變形判斷符號(hào)或與1的大小,然后作出結(jié)論.）1 1 1 1 1 1 1常用的放縮技巧有：-2_-（右邊當(dāng)n丄2時(shí)成立）n n +1n（n +1）n n（n _1） n _1 n1 116) 求證:1222 .2.23n6. 常系數(shù)一元二次不等式的解法：判別式-圖象法步驟：化一般形式:ax2亠bx亠c _0( ： 0),其中a . 0 ； 求根的情況：ax2 bx c o s因式0(=0, ：0);由圖寫解集：考慮y =ax2 bx c(

8、a 0)圖象得解.2 2 1典例：解不等式-6x -x 2乞0.(答:x-，)32注:解一元二次不等式的過程實(shí)際上是一種函數(shù)、方程與不等式思維的轉(zhuǎn)換過程，從中我們不難看出“三個(gè)二次”關(guān)系是核心，即一元二次不等式解集定值端點(diǎn) (非正負(fù)無窮大)是對(duì)應(yīng)一元二次方程(函數(shù))的根(零點(diǎn)).典例：若關(guān)于x的不等式ax2 bx c 0的解集為x|x m,或x：n(n : m ： 0),解關(guān)于x的不11等式 ex2 -bx a 0.(答:x |x,或x)nm7. 簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是:(1)分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；(2) 將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)

9、軸上，從最大根右上方依次通過每一點(diǎn)畫曲線(奇穿偶回);(3) 根據(jù)曲線顯現(xiàn)f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫出不等式的解集.典例：1)解不等式(x -1)(x - 2)0.(答:x|x _1 或 x - -2);2) 不等式(x -2) . x2 -2x -3 _ 0 的解集是x|x _3,或 x - -1；3) 設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是 R，且 f(x) _0的解集為x |1乞x ： 2, g(x) _0的解集 為一，則不等式f(x) g(x) 0的解集為(-：,1) 2,=);4) 要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x2 -9x a 0(解集非空)的每一個(gè)x的值至少滿足不等式2 2 81x -4

10、x，3：0和x6x 8 : 0中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是7,).8_8. 分式不等式的解法：分式不等式的一般解題思路是先移項(xiàng)使右邊為0,再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解.解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母 .5 _x典例：1)解不等式-1 (答: (-1,1)U(2,3);x 2x 3ax 亠 b、2)關(guān)于x的不等式 ax -b 0的解集為(1,=),則關(guān)于x的不等式 0的解集為x -2(：,-1)U(2,；). 注:和一元二次不等式一樣,不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有 意義范圍的端點(diǎn)值.9.

11、 絕對(duì)值不等式的解法:(了解)(1)分域討論法(最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集) 1典例：解不等式|2 -；x|_2-|x ，|;(答：R);(3)利用絕對(duì)值的定義;(3)數(shù)形結(jié)合；典例:解不等式 |x | | x 一1| 3;(答：(-：,一1)U(2,：)(4) 兩邊平方4典例:若不等式|3x 2| _|2x a|對(duì)xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為-10、 含參不等式的解法：通法是“定義域?yàn)榍疤幔瘮?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類討論是關(guān)鍵.” 注意:解完之后要寫上：綜上,原不等式的解集是”. 按參數(shù)討論，最后應(yīng)按參數(shù)取值分別說明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.22典例：1)若log a1,則a的取值

12、范圍是a .1或0 : a ；3 322)解不等式 x(a R).ax -111(答:a =0 時(shí),x|x：0；a 0 時(shí)，x|x 或 x：0；a：0 時(shí)，x| x ： 0,或 x：0) aa含參數(shù)的一元二次不等式的解法：三級(jí)討論法.一般地，設(shè)關(guān)于x的含參數(shù)a的一元二次形式的不等式為：f (a)x2 - g(a)x r(a) _0(：: 0).(1) 第一級(jí)討論：討論二次項(xiàng)系數(shù)f (a)是否為零；(2) 第二級(jí)討論：若f(a) =0時(shí),先觀察其左邊能否因式分解，否則討論厶的符號(hào)； 第三級(jí)討論：若f(a)=0,A .0時(shí)，先觀察兩根洛公2大小是否確定,否則討論兩根的大小 注意：每一級(jí)的討論中，都

13、有三種情況可能出現(xiàn)，即“”，“=”，“ ”,應(yīng)做到不重不漏 典例：1)解關(guān)于x的不等式ax2 -2x a ：:0(a R).答：當(dāng)a _1時(shí)，當(dāng)0 :a A在區(qū)間D上恒成立，則等價(jià)于在區(qū)間 D上f (xmm A若不等式f(x)A成立,則等價(jià)于在區(qū)間 D上f(xmaxAA； 若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式f(x)cB成立,則等價(jià)于在區(qū)間 D上的f(xminB. 注意：若方程a = f (x)(x D)有解，則等價(jià)于a y | y = f (x),x D典例:1)已知x-4 x-3 : a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍a 1 1 22)已知 P =x I 2 _x _2,函數(shù) y = log2(ax -2x - 2)的定義域?yàn)?Q .若P-QA求實(shí)數(shù)a的取值范圍.(答:a -4)若方程log2(ax2 -2x=2在才,2內(nèi)有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.(答：弓,12)3).恰成立問題若不等式f在區(qū)間D上恰成立，則等