高一數(shù)學(xué)寒假課程第4講-基本初等函數(shù)

1、第四講基本初等函數(shù)一、知識梳理1.指數(shù)與對數(shù)的概念ab nblog an （ a 0， a 1）2.指數(shù)與對數(shù)的性質(zhì)指數(shù)運算性質(zhì) a rasa r s (a0, r 、 sq）， (ar )sa r s (a0, r 、 sq）， ( a b)ra r b r (a0,b0, rq）（注）上述性質(zhì)對r、 sr 均適用 .對數(shù)運算性質(zhì) log a mn log a mlog a n log amlog a mloga nn log a m nn log am （ m 、 n 0,a 0, a1）推廣： loga m m nn loga mm換底公式： log anlog bn1， b1）（ a

2、， b 0， alog b a3.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的概念形如 y a x （ a 0 且 a 1， x 0）叫做指數(shù)函數(shù)（ exponential function ），其中 x 是自變量，函數(shù)的定義域為 r .形如 y log a x （ a 0 且 a 1， x 0）的函數(shù)，叫做對數(shù)函數(shù)（logarithmic function ） .（ 1） 指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的定義是一個形式定義，注意指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的區(qū)別；（ 2） 注意底數(shù)的取值范圍 .4.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)（略）.5.冪函數(shù)（ 1）冪函數(shù)定義：一般地，形如yx(r) 的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù) .（ 2）冪函數(shù)性質(zhì)

3、： 所有的冪函數(shù)在（ 0， +）都有定義并且圖象都過點（ 1， 1）；0 時，冪函數(shù)的圖象通過原點，并且在區(qū)間0,) 上是增函數(shù) .特別地，當(dāng)1時，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)01時，冪函數(shù)的圖象上凸；0 時，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,) 上是減函數(shù) .在第一象限內(nèi)， 當(dāng) x 從右邊趨向原點時，圖象在 y 軸右方無限地逼近y 軸正半軸，當(dāng)x 趨于時，圖象在x 軸上方無限地逼近x 軸正半軸 .二、方法歸納1.解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的問題，要特別重視定義域；2.指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于1 還是小于 1，要注意對底數(shù)的討論；3.比較幾個數(shù)（冪或?qū)?shù)值）的大小的常用方法有：以0 和 1為橋梁；利用函

4、數(shù)的單調(diào)性；作差.4.指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)中的絕大部分問題是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)與其他函數(shù)的復(fù)合問題，討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑.三、典型例題精講3131【例 1】比較下列各數(shù)的大?。?323log2 0.35,lg 25, lg15,55解析： log2 0.35 0，其他各數(shù)都大于零，故log2 0.35最??；又 lg 10 1， lg 100 2， 1 lg 15 lg 25 2 23 8，對于3512與3513，首先，它們都屬于區(qū)間（0,1），且是同底的冪，考慮函數(shù) y 3x3為減函數(shù)，5512 3513.3131于是有 log 2 0.35232355lg 15 lg 25

5、.又例 :比較下列各組數(shù)的大小： （ 1） 60.7， 0.7 6 ， log0 .7 6；（2） log 1.1 0.7 ， log1.2 0.7解析：（ 1） 60.7 1，0 0.76 1，log 0.7 6 0 ， log 0.7 6 0.76 60. 7.（ 2） log1.1 0.711.， log 1.2 0.7log 0.7 1.1log 0. 7 1.2又函數(shù) y log0 .7 x 為減函數(shù)，0 log 0.7 1.1 log 0.7 1.2 . log1.1 0.7 log1. 2 0.7 .再例 ：當(dāng) a b 1，下列不等式正確的有（）a. 1ac. 1a1bb1 a1

6、 abb2b. 1ad. 1aaa1 b1 bbb解析： 0 1b 1a1，又函數(shù) y (1 b) x為減函數(shù)， y x a 在（ 0,1）上為增函數(shù)， 1 b b 1b a 1a a ，故選 d.技巧提示： 利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性，同時充分利用0 和 1為橋梁，能使比較大小的問題得到解決 .【例 】已知函數(shù)ya2x2ax1（ a ， a 1）在區(qū)間 ，上的最大值為14，求 a 的值.201 1解析： y (a x1)22 (u1)22 ，又1x1 ，當(dāng) a 1時， u 1 ,a ， u1， (u1) 22為 u 的增函數(shù) .a函數(shù)的最大值為14a 22a1a3或 a5(舍)當(dāng)

7、 0 a 1時， u a, 1 ， u1 ， (u1) 22 為 u 的增函數(shù) .a1211 或 a1 (舍）函數(shù)的最大值為1421aaa35綜上得， a1 或a3.3技巧提示： 指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是解決問題的重要途徑又例：已知 f (x) log 4 (2x3 x 2 ) .求（ 1） f (x) 的單調(diào)區(qū)間；（ 2）求函數(shù) f ( x) 的最大值及對應(yīng)的 x 的值 .解析：（ 1）由 2x 3x20，得 f ( x) 的定義域為 (1,3) ，記 u 2 x3x2124，對稱軸為 x 1.（ x ） f (x) 的增區(qū)間為（1， 1】，減為區(qū)間【 1， 3）

8、 .（ 2） u （ x 1） 2 44，當(dāng) x 1 時有最大值y 1.1【例 3】函數(shù) y132 x 1的定義域是（）1)b. (1c. (,)d. ( ,1a. ,222x12 x12 x 1( 1) 0 ，解析：由110 ，得 11，即 13333由 (1) x為減函數(shù)， 2x 10 .故所求定義域為x1.選 a.32技巧提示： 這里充分利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過解簡單的指數(shù)不等式得到所求定義域.同樣，可以充分利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，通過解簡單的對數(shù)不等式得到某些問題的解.2，則 a 的取值范圍是.又例：若 log a13log a2log a2log aa ，解析：由1，即33當(dāng) a 時

9、， log a x 是增函數(shù)，于是a2， a .3當(dāng) a 時， loga x 是減函數(shù)，于是a2， a23 .3綜上可知 a 的取值范圍是 a 或 a 2.3再例 ：解不等式log 1 (a 2 x2(ab) xb2 x1)0（ a 0， b 0） .2解析：由 log 1 (a2 x2(ab) xb 2 x1)0，得2a2xaxa2 x2( ab) xb2 x 0，即210.bbxxa12或 a12（舍去） .bb當(dāng) a b 時,xlog a (12 ) ；b當(dāng) a b 時， xlog a (12)；b當(dāng) a b 時，不等式無解.【例 4】函數(shù) ylog 1 ( x22x) 的單調(diào)遞增區(qū)間是

10、.2解析：由x22x0 ，得 0x2 ，而函數(shù) ux 22x1(x1)2 ，即 u 在 (0,1) 上是增函數(shù)，在(1,2) 上是減函數(shù) .又 ylog 1 u 是減函數(shù)，ylog 1 ( x 22x) 單調(diào)遞增區(qū)間是(1,2) .22技巧提示： 對于復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，一要注意在定義域內(nèi)研究問題；二是對組成復(fù)合函數(shù)的每一個函數(shù)的單調(diào)性作出判斷；最后根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性原則做出結(jié)論.1x23 x 9又例 ：求函數(shù)y的單調(diào)遞減區(qū)間 .21x23x9解析：顯然 y的定義域是 r .2設(shè) ux23x9 ，則 u(x3) 227 .24 ux23x9 的單調(diào)遞增區(qū)間為 (,3)21x 23x9u有 y

11、1是 u 的減函數(shù)，221 y2x 23x9的單調(diào)遞減區(qū)間為(, 3) .2再例 ：已知a 0 且a1,函數(shù)f( )log ax 在定義域 2,3上的最大值比最小值大1 ,則a的值x為.解析：由題意，有l(wèi)oga 3loga 2 1log a1， a 2.，即3， 3232【例 5】當(dāng) a 1 時，證明函數(shù)f ( x) a x1 是奇函數(shù) .ax1解析：由 a x 10得 x 0.故函數(shù)定義域x x 0是關(guān)于原點對稱的點集.又 f ( x) a axx1 (a1 (axx1) a1) ax1a xa x1 ，f ( x) ax1 ，x1a xa x1ax1 f (x) f (x) .所以函數(shù) f

12、 ( x) a x1 是奇函數(shù) .a x1技巧提示： 對于指數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性的證明，在判定f ( x) 與 f (x) 關(guān)系時，也可采用如下等價證法 .f ( x) f ( x)f (x)）， f (x)f ( x)f ( x)1（ f ( x)1（ f ( x) ） .f ( x)f ( x)如本題可另證如下： f ( x)a x1 ax1 axa x1，即 f (x) f ( x) ，f (x)a x1 ax1 a xax所以函數(shù)f ( x) a x1是奇函數(shù) .a x1又例 ：設(shè) a 是實數(shù)， f ( x) a 2（ x r）2 x1（ 1）試證明對于任意 a ， f ( x)

13、為增函數(shù)；（ 2）試確定 a 值，使 f ( x) 為奇函數(shù) .解析：（ 1）設(shè) x1 ， x2 r，且 x1 x2 ，則 f ( x1 ) f ( x2 )22)222( 2x12x2 )（ a) (a2x22 x212 x11 (2x11)(2 x21)2 x111由于指數(shù)函數(shù) y2x 在 r 上是增函數(shù)，且 x1 x2，所以2x1 2x2，即 2 x1 2 x2 0，又由 2x 0 得 2x1 1 0， 2 x2 1 0，所以 f ( x1 )f ( x2 ) 0.即 f (x1)f (x2 ) .因為此結(jié)論與 a 取值無關(guān)，所以對于a 取任意實數(shù)，f ( x) 為增函數(shù) .（ 2）若

14、f (x) 為奇函數(shù)，則f ( x) f (x) ，即 a2( a221) ，x2x1變形得： 2a22x22(2 x1)，解得 a 1.x1) 2x2 x12x1(2所以當(dāng) a 1 時， f (x) 為奇函數(shù) .【例 6】已知 0 x 1， a 0， a1，比較 loga (1x) 和 loga (1x) 的大小 .解析：方法一：當(dāng) a 1 時，loga (1 x) loga (1 x) loga (1 x) loga (1x) log a (1x 2 ) 0， loga (1x) loga (1x) .當(dāng) 0 a 1 時， loga (1x) loga (1x) log a (1x) +

15、log a (1 x) log a (1x 2 ) 0， loga (1x) loga (1x) .綜上所述，在題設(shè)條件下，總有l(wèi)oga (1x) loga (1x) .loga (1x)(1x) log(1 x) (11方法二： log (1x )x) log ( 1 x )xloga (1x)1log (1x)1x log(1x)(1) 1.1x 2x loga (1x) loga (1x) .技巧提示： 比較大小通常采取作差變形判定符號.如果比較兩個正數(shù)的大小時，亦可采取作商變形與“ 1”比較的辦法.又例 ：解不等式 log 8 ( x3x3)log 2 ( x 1)x 3x30x10解

16、析：原不等式可化為x10， 即等價于，3x 22x2x3x3( x1) 30x117即 1 717 ，解得：1 x，x333所以原不等式的解集為x 1 x17 .3【例 7】（ 1）已知 log 2 3a ， log 37 b ，用 a ， b 表示 log 42 56 ；（ 2）已知 log x a2, log x b3, log x c6, 求 log abcx 的值 .解析：（ 1） log 42 56 lg 56 lg 73lg 2,lg 42lg 7lg 2lg 3又 lg 3a, lg 7blg 7blg 3, lg 2lg 3 ,lg 2lg 3ab lg 33lg 33baab

17、3 log 42 56 a.lg 31abab lg 311lg 3 baa（ 2） a x 2 ， b x 3 ,cx 6 ， log abcxlog x11 x1.11技巧提示： 掌握對數(shù)與指數(shù)的運算性質(zhì)， 是本部分的基本要求 .盡管近幾年高考中很少直接考查對數(shù)與指數(shù)的運算，但由于指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)幾乎是必考內(nèi)容，不能熟練的進行對數(shù)與指數(shù)的運算，會影響解題技巧的把握，至少會影響解題速度.又例 ：判斷下列函數(shù)的奇偶性（ 1） f (x) 2 x1 ；2 x1（ 2） g(x) 1 ln( xx21) .x2解析 :（ 1） f (x)2xx1 (21 (2x1)2 x12 x2x1x1)2

18、x12 x2xf ( x) ， f ( x) 為奇函數(shù) .1（ 2） g ( x) g( x)1ln( xx21) 1 ln( xx 21)xx ln(xx 21)( xx 21) ln 1 0. g( x) 為奇函數(shù) .四、課后訓(xùn)練11.已知 log 7log 3 (log 2 x)0，那么 x2 等于（）a.1b.111323c.2d.3232.函數(shù) y21 的圖像關(guān)于（）lgx1a. x 軸對稱b. y 軸對稱c.原點對稱d.直線 yx 對稱3.函數(shù) ylog(2 x 1)3x2 的定義域是（）a.2 ,1u 1,b.1 ,1 u 1,32c.2 ,d.1 ,324.函數(shù) y log 1

19、 ( x26x17) 的值域是（）2a. rb. 8,c.,3d. 3,5.下列函數(shù)中，在0,2上為增函數(shù)的是（）a. ylog 1 ( x1)b. ylog 2 x212c. ylog 21d. ylog 1 ( x24 x5)x26.已知 g (x)log a| x1 | (a 0, a1) 在10，上有 g( x)0 ，則 f ( x) ax 1是（）a. 在,0上是增加的b.在,0上是減少的c.在,1上是增加的d.在,1 上是減少的7.函數(shù) f ( x)(a 21) x 是減函數(shù)，則實數(shù)a 的取值范圍是.8.計算 lg 2 5lg 2 lg 504log 2 3.已知f ( x)log

20、 a1 mx 是奇函數(shù)（其中a0,a 1)，9.x1（ 1）求 m 的值；（ 2）討論 f (x) 的單調(diào)性；（ 3）求 f (x) 的反函數(shù) f 1 ( x) ；（ 4）當(dāng) f (x) 定義域區(qū)間為(1, a2) 時， f (x) 的值域為 (1,) ，求 a 的值 .10.對于函數(shù) f (x)log 1( x 22ax 3) ，解答下述問題：2（ 1）若函數(shù)的定義域為 r，求實數(shù) a 的取值范圍；（ 2）若函數(shù)的值域為 r ，求實數(shù) a 的取值范圍；（ 3）若函數(shù)在 1,) 內(nèi)有意義，求實數(shù) a 的取值范圍；（ 4）若函數(shù)的定義域為(,1) (3, ) ，求實數(shù) a 的值；（ 5）若函數(shù)的

21、值域為(, 1 ，求實數(shù) a 的值；（ 6）若函數(shù)在 ( ,1內(nèi)為增函數(shù)，求實數(shù) a 的取值范圍 .五、參考答案1.c.2.c.3.a.4.c.5.d.6.c.7. (2, 1)(1, 2)8.109.解析：（ 1） f ( x) f ( x)log a1mxlog a1mxlog a1m2 x 20x1x11x2對定義域內(nèi)的任意x 恒成立， 11當(dāng) mm2 x21 (m21) x20 m1，x21，f ( x)無意義，舍去，m1，（2）f ( x)log ax1 ， 定義域為 (,1)(1,) ，x1而f ( x)log ax1log a (12) ，x1x1當(dāng) a1 時， f ( x) 在 (,1)與(1,) 上都是減函數(shù)；當(dāng) 0a1時， f ( x) 在 (, 1)與(1,) 上都是增函數(shù)；（3） y log a x1a yx1( a y1)xa y1xa y1，x1x1a y1 a y1 0，y0 ，1a x1(0,且1).f(x)a x1xa0a（ 4） 1 x a 2, a 3, f (x)在(1, a 2) 上為減函數(shù)，a112410命題等價于f (a2)1，即log a a3aa，解得 a23 .10