2023中考數(shù)學(xué)練習(xí) 08 圓與幾何綜合問題（學(xué)生版+解析版）

專題08圓與幾何綜合問題

一、【知識回顧】

【思維導(dǎo)圖】

圓的定義,弦、直徑,弧、半圓、等圓、等弧的定義

垂徑定理及K推論

24.1圓

一網(wǎng)心向的定義及網(wǎng)心角定理,弦心距的定義及弦心距定理

一圈周角的定義及網(wǎng)周角定理,網(wǎng)內(nèi)接多邊形的定義及惻內(nèi)接多邊形性質(zhì)

點(diǎn)和圓的L點(diǎn)在I如內(nèi),點(diǎn)在圓上.點(diǎn)在口!外

位置關(guān)系"?―外接網(wǎng)及外心

直線和網(wǎng)相交,直線和網(wǎng)相切.

宜線和網(wǎng)相離

24.2點(diǎn)、直線'直線和圓的

圓和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系切線的性質(zhì)定理

內(nèi)切圓及內(nèi)心

第二十四章

圓和圓的兩圓外離,兩圓外切,兩圓內(nèi)切.

IMI位置關(guān)系兩圈相交,兩圓內(nèi)含

L正多邊形的定義

JE多邊形的中心,正多邊形的半徑,正多邊形的中心角.

24.3正多邊形和圓正多邊形的邊心距的概念

正多邊形的性質(zhì)

I=喘公式）

―毋Im=R’=：］R（扇形面積公式）

24.4弧長和扇形面積補(bǔ)3602

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：切線的判定

典例1:（2023?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在，ABC中，AB=AC,以A3為直徑的O分別交3C、AC

邊于點(diǎn)D、F.過點(diǎn)。作。E_LC尸于點(diǎn)E

⑴求證：DE是。的切線；

⑵若。半徑為5,且AF-Z）E=2,求EF的長.

【變式1】(2023秋?河南信陽?九年級統(tǒng)考期末)如圖，AB是回。的直徑，四邊形ABC。內(nèi)接手回。，。是4C

的中點(diǎn)，DEJ_BC交BC的延長線于點(diǎn)E.

⑴求證：3E是田。的切線；

⑵若AB=10,BC=8,求EC的長.

【變式2](2021?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題)如圖，四邊形ZBCD內(nèi)接于回O,48為回。的直徑，過點(diǎn)C作CE^AD

交4。的延長線于點(diǎn)E,延長EC,AB交于點(diǎn)F,0ECO=0SCF.

(1)求證：CE為回。的切線；

(2)若DE=1,CD=3,求回。的半徑.

【變式3］（2023?四川瀘州?統(tǒng)考一模）如圖，已知ΔA3C內(nèi)接于O,A3是。的直徑，的平分線

交BC于點(diǎn)￡>,交O于點(diǎn)E,連接￡B,作N8EF=NC4E,EF交AB的延長線于點(diǎn)尸.

⑴求證：BC//EF-,

⑵求證：EF是:。的切線；

（3）若BF=IO,EF=20,求。的半徑和Ao的長.

考點(diǎn)2：與線段有關(guān)的問題

典例2：（遼寧省大連市金普新區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷）如圖，以ABC的邊AB為直

徑作。交AC于。且Q￡）〃8C,O交BC于點(diǎn)、E.

⑴求證：CD=DE;

⑵若Λβ=12,4)=4,求CE的長度.

【變式1］（2023秋?山東濱州?九年級統(tǒng)考期末）如圖，PA,PB是。的切線，A,B為切點(diǎn),AC是O

的直徑，連接CB、OP,OP交AB于點(diǎn)D.

求證：

(I)OP//CB；

{2}2OA2=OPBC.

【變式2］（2022,江西萍鄉(xiāng)??？寄M預(yù)測）如圖，。是ABC的外接圓，ZA=75o,ZACB=45。，尸是BC

上的一動(dòng)點(diǎn).

圖1圖2

⑴當(dāng)NBoP的度數(shù)為多少時(shí)，PC//AB；

⑵若以動(dòng)點(diǎn)P為切點(diǎn)的切線為PM,那么當(dāng)/BOP的度數(shù)為多少時(shí)，切線PM與A5C一邊平行？

【變式31(2023春?安徽合肥?九年級合肥壽春中學(xué)?？茧A段練習(xí))如圖,在。中，直徑為MN,正方形ABCD

的四個(gè)頂點(diǎn)分別在半徑。W、OP以及。上，并且NPaW=45。.

v

λz?CO-----T

(1)若AB=2,求尸。的長度；

(2)若半徑是5,求正方形ABC。的邊長.

考點(diǎn)3：與角度有關(guān)的問題

典例3：(2022?北京?統(tǒng)考中考真題)如圖，AB是。的直徑，C。是一。的一條弦，ABLCD,連接4C,OD

⑴求證：ΛBOD=2AA-

(2)連接DB,過點(diǎn)C作CELO氏交的延長線于點(diǎn)E,延長交AC于點(diǎn)尸，若F為AC的中點(diǎn)，求證:

直線CE為。的切線.

【變式1］（2022?四川成都?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RtAABC中，NAC3=90。，以BC為直徑作回。，交AB

邊于點(diǎn)O,在CD上取一點(diǎn)E，使BE=C。，連接OE,作射線CE交48邊于點(diǎn)尸.

(1)求證：ZA=ZACF5

4

(2)若AC=8,cosZACF=-,求8F及DE的長.

【變式2】（2021?北京?統(tǒng)考中考真題）如圖，。是A8C的外接圓，AO是。的直徑，A。工BC于點(diǎn)E.

（1）求證：ZBAD=ZCAD;

（2）連接BO并延長，交AC于點(diǎn)尸，交：。于點(diǎn)G,連接GC.若。的半徑為5,OE=3,求GC和。尸的

長.

【變式3](2020?上海?統(tǒng)考中考真題)如圖，EWBC中，AB=AC,回。是射BC的外接圓，80的延長交邊/C

于點(diǎn)D.

(1)求證：^BAC=2^ABD↑

(2)當(dāng)05CZ)是等腰三角形時(shí)，求魴C(jī)D的大小;

(3)當(dāng)/￡>=2,Ci>=3時(shí)，求邊BC的長.

考點(diǎn)3：與三角函數(shù)有關(guān)的計(jì)算

典例3：(2022?江蘇蘇州?蘇州市振華中學(xué)校?？级?如圖，/8是回。的弦，C為回。上一點(diǎn)，過點(diǎn)C作/8

的垂線與/8的延長線交于點(diǎn)。，連接80并延長，與團(tuán)。交于點(diǎn)E,連接EC,NABE=2NE.

DC

⑴求證：CZ)是回。的切線：

(2)若tanNE=g,BD=X,求/8的長.

【變式1](2020?廣西柳州?統(tǒng)考中考真題)如圖，/8為回。的直徑，C為團(tuán)。上的一點(diǎn)，連接/C、BC,OD^BC

于點(diǎn)E,交回。于點(diǎn)。，連接CO、AD,4D與BC交于點(diǎn)F,CG與84的延長線交于點(diǎn)G.

(1)求證：BACDWCFD；

(2)若團(tuán)CQ4=E1GC4,求證：CG為團(tuán)。的切線;

(3)若sin@。。=?,求tanl3CD4的值.

【變式2】(2020?北京?統(tǒng)考中考真題)如圖，AB為回。的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD是回。的切線，D

為切點(diǎn)，。甩AD于點(diǎn)E,交CD于點(diǎn)F.

(1)求證：0ADC=0AOF；

(2)若SinC=BD=8,求EF的長.

【變式3](2022?四川成都?模擬預(yù)測)如圖，/8是IS。的直徑，弦CDa48于點(diǎn)E，點(diǎn)/在弧8C上，4尸與

8交于點(diǎn)G,點(diǎn)〃在。C的延長線上，且HG=HF,延長，/交/8的延長線于點(diǎn)M.

(1)求證：，尸是回。的切線；

4

(2)若SinM=W,BM=I,求N尸的長.

鞏固訓(xùn)練

一、單選題

1.（2022秋?江蘇徐州?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，O的直徑AB與弦CZ）的延長線交于點(diǎn)E,若DE=OB,

ZAOC=84,則NE=（）

A.28B.42C.21D.20

2.（2023春?九年級課時(shí)練習(xí)）已知。過正方形ABC。頂點(diǎn)A,B,且與CD相切，若正方形邊長為2,則

3.（2017?山東青島?中考真題）如圖，AB是回0的直徑，點(diǎn)C,D,E在回。上，若圖AED=20。，貝幗BCD的度數(shù)

為（）

A.100oB.IlOoC.115oD.120°

4.（2022秋?江蘇無錫?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，已知直線孫交田。于48兩點(diǎn)，/E是回。的直徑，點(diǎn)

C為回。上一點(diǎn)，且ZC平分碼E,過C作CQfa以，垂足為。.且DC+D4=12,回。的直徑為20,貝∣J/8

的長等于（）

A.8B.12C.16D.18

5.（2018秋?湖北武漢?九年級統(tǒng)考期中）如圖，0J8C內(nèi)接于回。，/8是回。的直徑，CE平分回/C8交回。于E,

。，交于點(diǎn)。，連接則的比值為（）

S丸￡=3048/E,SJOCavjOE

E

BCD1

AY?T?T?

6.（2022春?九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，圓。的兩條弦AB、CO相交于點(diǎn)E,AC和OB的延長線交于點(diǎn)P,下

列結(jié)論中成立的是（）

A.PCCA=PB-BDB.CEAE^BE-ED

C.CECD=BEBAD.PBPD=PCpA

7.（2020秋廣東汕尾?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，ΛBC內(nèi)接于：0,若：O的半徑為6,ZA=60,貝IJBC

的長為（）

A.3√3B.6√3C.2歷D.√27

8.（2022秋,北京西城?九年級北京四中?？计谥校┤鐖D，O的半徑是1,點(diǎn)P是直線y=-x+2上一動(dòng)點(diǎn),

過點(diǎn)P作（O的切線，切點(diǎn)為4連接。A,OP,則AP的最小值為（）.

9.（2020,江蘇徐州?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是，0的弦，點(diǎn)C在過點(diǎn)8的切線上，OCLOA,OC交AB

于點(diǎn)P.若NBPC=70°,則245C的度數(shù)等于（）

A.75oB.70oC.65oD.60°

10.（2022秋?重慶江北?九年級重慶十八中?？计谀┤鐖D，AB是O的直徑，點(diǎn)。在54的延長線上，

0OB=OD,OC與。相切于點(diǎn)E,BC與.O相切于點(diǎn)B交JDE的延長線于點(diǎn)C,若（。的半徑為1,EC

的長是（）

A.夜+1B.2√2C.√2+2D.2√2+l

11.（2022秋?江蘇?九年級專題練習(xí)）如圖，以48為直徑作半圓回O,C是半圓的中點(diǎn)，尸是BC上一點(diǎn)，AB

=5JLPB=I,則PC的長是（）

A.IB.2√2C.∣√2D.3√2

12.（2022春?九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，經(jīng)過/、C兩點(diǎn)的回。與C的邊BC相切，與邊48交于點(diǎn)D,若ELWC

=105o,BC=CD=3,則40的值為()

5√2D.建

A.3√2B.2√2r

22

13.（2022秋?山東臨沂?九年級?？计谥校┮?。為中心點(diǎn)的量角器與直角三角板/BC如圖所示擺放，直角頂

點(diǎn)3在零刻度線所在直線。E上，且量角器與三角板只有一個(gè)公共點(diǎn)尸，若點(diǎn)P的讀數(shù)為35°,則

的度數(shù)是（）

C.35D.25

14.（2022春?九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，在回。中，點(diǎn)C在優(yōu)弧AB上，將弧BC沿8C折疊后剛好經(jīng)過ZB的

中點(diǎn)。.若回。的半徑為石，/8=4,則8C的長是（)

C.4√2D.3√3

15.（2018?四川宜賓?統(tǒng)考中考真題）在AABC中，若O為BC邊的中點(diǎn)，則必有：AB2+AC2=2AO2+2BO2成立.依

據(jù)以上結(jié)論，解決如下問題：如圖，在矩形DEFG中，已知DE=4,EF=3,點(diǎn)P在以DE為直徑的半圓上運(yùn)動(dòng),

C.34D.10

16.（2021秋?江蘇南京?九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，是半回。的直徑，點(diǎn)C在半回。上，AB=5cm,AC

=4cm.。是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接過點(diǎn)C作C聞。于E,連接在點(diǎn)。移動(dòng)的過程中，8E的

最小值為（）

C.2√2-1D.3

17.（2018?山東泰安?統(tǒng)考中考真題）如圖，M的半徑為2,圓心M的坐標(biāo)為（3,4）,點(diǎn)尸是M上的任意

一點(diǎn)，PA±PB,且3、依與X軸分別交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)。對稱，則AB的最小值

為（）

A.3B.4C.6D.8

18.（2022春?九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，AB是。的直徑，C力分別是OAOB的中點(diǎn)，

MCLAB,NDLAB,M,N在。上.下列結(jié)論：①M(fèi)C=ND；②AM=MN=NB;③四邊形MCrVV是正

方形；?MN=\AB.其中正確的結(jié)論有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

19.（2021秋?浙江杭州,九年級期末）如圖，點(diǎn)D在半圓。上，半徑OB=標(biāo)，AD=IO,點(diǎn)C在弧BD上

移動(dòng)，連接AC,H是AC上一點(diǎn)，0DHC=9Oo,連接BH,點(diǎn)C在移動(dòng)的過程中，BH的最小值是（）

A.5B.6C.7D.8

20.（2021?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，已知四邊形ABCD是邊長為4的正方形，E為CD上一點(diǎn)，且DE=

1,F為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG回AF于點(diǎn)P,交直線AB于點(diǎn)G.則下列結(jié)論中：①AF=EG;②若回BAF

=0PCF,則PC=PE;③當(dāng)回CPF=45°時(shí)，BF=I;④PC的最小值為-2.其中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

21.（2022春?九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，。的半徑為2&,ABC內(nèi)接于于點(diǎn)

ZA=60。,NC=75。，則0。長度為,

22.（2022春?九年級課時(shí)練習(xí)）如圖，YABC。的邊BC與。相切于點(diǎn)8,4D為。的直徑，若Ar）=I0,

則CD的長為.

C

23.（2021秋?湖南長沙?九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，A∕8C的內(nèi)切圓回。與8C,CA,ZB分別相切于點(diǎn)，

E.F.且48=5,AC=Xl,SC=13,貝胞。的半徑是.

24.（2014?湖南岳陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是回。的直徑，P為AB延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作回0的

切線，切點(diǎn)為C,連接AC,BC,作團(tuán)APC的平分線交AC于點(diǎn)D.下列結(jié)論正確的是_（寫出所有正確結(jié)論

的序號）

①一CPD^-DPA；

②若EIA=30°,貝IJPC=GBC；

③若回CPA=30°,則PB=OB;

④無論點(diǎn)P在AB延長線上的位置如何變化，0CDP為定值.

25.（2015秋?河南深河?九年級統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)P在雙曲線y='上，以P為圓心的團(tuán)P與兩坐標(biāo)軸都相切,

X

E為y軸負(fù)半軸上的一點(diǎn)，PFOPE交X軸于點(diǎn)F,則OF-OE的值是

26.（2022春?全國?九年級專題練習(xí)）EL48C中，/8=4,AC=2,以BC為邊在a4BC外作正方形5CDE,BD、

CE交于點(diǎn)O,則線段AO的最大值為.

27.（2018,山東濟(jì)南,中考真題）如圖，正方形ABCD的邊長為2a,E為BC邊的中點(diǎn)，AEHE的圓心分別

在邊AB、CD±,這兩段圓弧在正方形內(nèi)交于點(diǎn)F,則E、F間的距離為

28.（2022秋?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，尸是矩形N8C。內(nèi)一點(diǎn)，AB=4,AD=2,APYBP,則當(dāng)線

段。尸最短時(shí)，CP=

29.（2020秋?浙江金華?九年級?？计谥校﹫D1是一種推磨工具模型，圖2是它的示意圖，已知480PQ,ZP

=AQ=20cm,∕8=120cm,點(diǎn)Z在中軸線/上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)8在以。為圓心，長為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且08

=35cm,

（1）如圖3,當(dāng)點(diǎn)5按逆時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)到8'時(shí)，A'B'±OB',則AΛ'=cm.

（2）在點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)尸與點(diǎn)。之間的最短距離為cm.

圖1

30.（2022秋?新疆烏魯木齊?九年級烏魯木齊市第九中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在明CE中，CA=CE,回?！?30。，

半徑為5的由O經(jīng)過點(diǎn)C,CE是圓。的切線，且圓的直徑在線段/E上，設(shè)點(diǎn)Z）是線段NC上任意一點(diǎn)

（不含端點(diǎn)），則的最小值為.

三、解答題

31.(2022春?九年級課時(shí)練習(xí))如圖，線段/8經(jīng)過。的圓心O,交圓。于點(diǎn)4C,SC=I,4D為,。的

弦，連接BD,ABAD=ZABD=30°,連接。。并延長交。于點(diǎn)E,連接BE交。于點(diǎn)

(1)求證：直線8。是。的切線;

⑵求線段8M的長.

32.(2022?江蘇無錫?統(tǒng)考一模)如圖，在四邊形/88中，0C=0Λ>=9Oo,OC=4,AD=2,AB=BC,以為

直徑的圓。交8C于點(diǎn)E.

⑴求圓回的半徑;

(2)用無刻度的直尺在QC邊上作點(diǎn)使射線平分并求含的值.

33.(2022秋?山東煙臺?九年級統(tǒng)考期末)如圖，已知直線PA交。于/、8兩點(diǎn)，AE是O的直徑，點(diǎn)C

為〈。上一點(diǎn)，且AC平分/皿：，過C作CZ)LB4,垂足為。.

⑴求證：8是〈。的切線;

(2)若。C+ZM=12,。的直徑為20,求AB的長度.

34.(2023?全國?九年級專題練習(xí))如圖，圓內(nèi)接四邊形ΛBEE),Zfi=ZC=90o,點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，且Z)E

平分ZAEC

⑴求證：DC是。的切線;

(2)若。的半徑為5,8=3,求OE的長.

35.（2022?全國?九年級專題練習(xí)）如圖，AB是半圓。的直徑，AE是半圓O的切線（即圓。的切線）.連

接￡B,交半圓于點(diǎn)O,連接AO.過點(diǎn)。作直線CO,S.ZEDC=ZDAB.

⑴求證：直線Co是半圓。的切線；

⑵求證：點(diǎn)C是線段AE的中點(diǎn)；

⑶若AB=I0,?￡）=8,求線段CE的長.

36.（2022?廣西北海?統(tǒng)考一模）如圖，在RfjBe中，EWC5=90o,AB=10,NC=6,點(diǎn)。為BC邊上的一

個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以8為直徑的回。交/。于點(diǎn)E,過點(diǎn)C作CE7Z8,交回。于點(diǎn)尸，連接CE、EF.

（1）當(dāng)回CFE=45。時(shí)，求CD的長；

⑵求證：SiBAC=SiCEF;

⑶是否存在點(diǎn)。，使得CFE是以Cr為底的等腰三角形，若存在，求出此時(shí)CD的長；若不存在，試說明

理由.

37.(2023秋?廣東廣州?九年級期末)如圖，在RtABC中，ZC=90o,A。平分/54C交BC于點(diǎn)。，。為

AB上一點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)力,。的。分別交A8,AC于點(diǎn)E,F.

(1)求證：BC是:。的切線；

(2)若AF=8,CF=I,求。的半徑.

38.(2022秋?湖南長沙?九年級?？茧A段練習(xí))如圖，AB是O的直徑，點(diǎn)D、E在：。上，連接AE、ED、

DA,連接BD并延長至點(diǎn)C,使得/D4C=ZA￡?.

(1)求證：AC是。的切線;

(2)若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，AE與BC交于點(diǎn)F,

①求證：CA=CF;

②若。。的半徑為3BF=2,求AC的長.

39.(2021春?九年級課時(shí)練習(xí))如圖，四邊形A6C。內(nèi)接于：O,對角線ACl80,垂足為E,CFlAB于

點(diǎn)F,直線CF與直線8。于點(diǎn)G.

(1)若點(diǎn)G在(。內(nèi)，如圖1,求證：G和。關(guān)于直線AC時(shí)稱；

(2)連接AG,若AG=BC,且AG與。相切，如圖2,求/ABC的度數(shù).

40.（2022春?黑龍江哈爾濱?九年級哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校校考開學(xué)考試）如圖，AABO內(nèi)接于（。中,

弦BC交4D于點(diǎn)E,連接CD,BGCO交CD的延長線于點(diǎn)G,BG交（O于點(diǎn)、H,ZABC=2NGBD.

⑴如圖1,求證：DB平分NGDE；

⑵如圖2,CNLAB于點(diǎn)、N,CN=CG,求證：AN=HG;

（3）如圖3.在（2）的條件下，點(diǎn)/在/E上，連接8尸、CF,且BbLCF,ZBCN=2/CBF,BC=S.求

ZE的長.

專題08圓與幾何綜合問題

一、【知識回顧】

【思維導(dǎo)圖】

圓的定義,弦、直徑,弧、半圓、等圓、等弧的定義

垂徑定理及K推論

24.1圓

一網(wǎng)心向的定義及網(wǎng)心角定理,弦心距的定義及弦心距定理

一圈周角的定義及網(wǎng)周角定理,網(wǎng)內(nèi)接多邊形的定義及惻內(nèi)接多邊形性質(zhì)

點(diǎn)和圓的L點(diǎn)在I如內(nèi),點(diǎn)在圓上.點(diǎn)在口!外

位置關(guān)系"?―外接網(wǎng)及外心

直線和網(wǎng)相交,直線和網(wǎng)相切.

宜線和網(wǎng)相離

24.2點(diǎn)、直線'直線和圓的

圓和圓的位置關(guān)系位置關(guān)系切線的性質(zhì)定理

內(nèi)切圓及內(nèi)心

第二十四章

圓和圓的兩圓外離,兩圓外切,兩圓內(nèi)切.

IMI位置關(guān)系兩圈相交,兩圓內(nèi)含

L正多邊形的定義

JE多邊形的中心,正多邊形的半徑,正多邊形的中心角.

24.3正多邊形和圓正多邊形的邊心距的概念

正多邊形的性質(zhì)

I=喘公式）

―毋Im=R’=：］R（扇形面積公式）

24.4弧長和扇形面積補(bǔ)3602

二、【考點(diǎn)類型】

考點(diǎn)1：切線的判定

典例1:（2023?廣西柳州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，在，ABC中，AB=AC,以A3為直徑的O分別交3C、AC

邊于點(diǎn)D、F.過點(diǎn)。作。E_LC尸于點(diǎn)E

⑴求證：DE是。的切線；

⑵若。半徑為5,且AF-Z）E=2,求EF的長.

【答案】⑴見解析

（2）2

【分析】（1）連接。。，根據(jù)AB=AC,OD=OB得NC=NB,NODB=NB,即有NC=N可證

OZ)〃C4,再根據(jù)DE_Lb可得NQDE=ZDEC=90。，則可得0￡＞人DE且0。為。的半徑，可得DE是O

的切線；

（2）過點(diǎn)。作OGLA產(chǎn)于點(diǎn)G,根據(jù)NoGE=NoG4=90°,根據(jù)垂徑定理可得AG=GF=；AF,又

NDEG=NODE=90°,得四邊形OGE。為矩形，則有OG=OE,OD=GE,設(shè)￡F=x,則

GF=AG=5-x,DE=8-2x,根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】（1）證明：連接。。，

DElCF

:.NDEC=NDEF=90°.

AB=AC,

;.NC=NB

QOD=OB,

.-.ZODB=ZB

ZC=ZODB.

^OD//CA,

NODE=NDEC=90。,

..OD_LE）E且。。為〈。的半徑.

;.DE是:。的切線.

（2）過點(diǎn)。作OGLAF于點(diǎn)G,

.?.ZOGE=ZOGA=90o,AG=GF=^AF.

又?ZDEG=ZODE=90°,

田四邊形OGEn為矩形，

.?.OG=DE,OD=GE=5.

設(shè)EF=X,則GF=AG=5-x,OE=OG=A尸一2=2AG-2=8-2x,

在RtZXOAG中，AG2+OG2=Ofic,

即（5—犬）2+（8-2》）2=52,

解得：x=2,

mE尸的長為2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的判定與性質(zhì)，垂徑定理，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點(diǎn)，掌握切線

的判定定理、垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

【變式1】（2023秋?河南信陽?九年級統(tǒng)考期末）如圖，AB是團(tuán)。的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于回。，。是4C

的中點(diǎn)，DELBC交8C的延長線于點(diǎn)E.

（2）若AB=I0,BC=S,求EC的長.

【答案】（1）見解析

（2）1

【分析】（1）要證明DE是回。的切線，所以連接8,求出Na>E=90o即可，根據(jù)已知DElBC,可得

ZDEC=90。，所以只要證明8〃BE即可解答；

（2）由（1）可得BO平分NZABC,所以想到過點(diǎn)。作Nm_LAB,垂足為E進(jìn)而證明/MD尸名ZXCDE,可

得A尸=CE,易證ABDg-BDE,可得BF=BE,然后進(jìn)行計(jì)算即可解答.

【詳解】（1）證明：連接。。，

DElBC

.?.ZDEC=90o,

??.。是AC的中點(diǎn)，

AD=CD，

.?ZABD=ZCBD

OD=OB9

ZODB=ZOBDf

?,./ODB=NCBD,

,?OD∕∕BC1

..NODE=180o-NDEC=90°,

:.ODVDE,

OD是回。的半彳仝，

「.￡＞七是回。的切線.

（2）過點(diǎn)。作。垂足為E

由（1）得：ZABD=∕CBD,

???3。平分ZABC,

DFlAB,DE工BC,

:.DF=DE,

四邊形ABC。內(nèi)接于團(tuán)。

??.NA+NOCB=180。，

NoeB+NDCE=180。，

：.ZA=ZDCE.

ZDFA=ZDEC=90°,

...ADF^..CDE（AAS）,

:.AF=EC,

/DFB=ZDEC=琳,BD=BD,

:.BDF^BDE（AAS）f

:.BF=BE,

設(shè)EC=JV,則BE=BF=8+x,

AB=AF+BF=W,

.?.x+8+x=10,

.,.X—1,

即：EC=L

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，全等三角形的證明，添加輔助線是解

題的關(guān)鍵.

【變式2］（2021?遼寧錦州?統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形NBCD內(nèi)接于回0,45為團(tuán)。的直徑，過點(diǎn)C作CEIHAD

交的延長線于點(diǎn)E,延長EC,4B交于點(diǎn)、F,SECD=^iBCF.

（1）求證：CE為回。的切線；

（2）若DE=I,CD=3,求回。的半徑.

【答案】（1）見解析；（2）回。的半徑是4.5

【分析】（1）如圖1，連接OC,先根據(jù)四邊形/BCD內(nèi)接于130,得NCDE=NoBC,再根據(jù)等量代換和直

角三角形的性質(zhì)可得NoCEl90。，山切線的判定可得結(jié)論；

（2）如圖2,過點(diǎn)。作06_1_4￡于6,連接OC,OD,則NOG^=90。，先根據(jù)三個(gè)角是直角的四邊形是

矩形得四邊形OGEC是矩形，設(shè)團(tuán)。的半徑為X,根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：如圖1,連接OG

圖1

ElOB=OC,

⑦NoCB=NoBC,

團(tuán)四邊形48CZ）內(nèi)接于?0,

ISZCDA+ZABC=180°

又NCDE+NCD4=180°

ZCDE=ZOBC,

0CE±AD,

回NE=NCDE+NECD=90°,

SZECD=ZBCF,

0ZOCB+ZBCF=9Oo,

0ZOCE=9Oo,

團(tuán)。C是回。的半徑，

ISCE為回。的切線；

（2）解：如圖2,過點(diǎn)。作OG_LAE于G,連接。C,OD,則NOGE=90。,

ISNE=NOCE=90°,

EI四邊形OGEC是矩形，

005EG,OG=EC,

圖2

設(shè)團(tuán)。的半徑為X,

∕M2CΓ（E中，CD=3,DE=X,

0EC=√3?≡P=2√2，

團(tuán)OG=2??∕2，GD~x~?ιOD—x,

山勾股定理得：OC>2=OG2+OG2,

13Jt2=(2√2)2+(x-l)2,

解得：Λ=4.5,

03。的半徑是4.5.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的綜合，涉及到圓的切線的證明、勾股定理以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)

是解決問題的關(guān)鍵.

【變式3】(2023?四川瀘州?統(tǒng)考一模)如圖，已知ΔABC內(nèi)接于?O,AB是，。的直徑，/C4B的平分線

交8C于點(diǎn)。，交。于點(diǎn)E,連接作N8M=NC4E,EF交AB的延長線于點(diǎn)F.

⑴求證：BC//EF-,

(2)求證：EF是I。的切線；

(3)若8尸=10,E尸=20,求。的半徑和Ao的長.

【答案】⑴見解析

⑵見解析

(3)15,AD=9√5

【分析】(1)山圓周角定理及已知條件進(jìn)行等量代換，然后利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行證明即可.

(2)利用角平分線及圓周角定理得出E是BC的中點(diǎn)，再利用垂徑定理及平行線的性質(zhì)推導(dǎo)得出NOE產(chǎn)為

直角，即可證明.

(3)先證明，EMS一詔，然后利用勾股定理計(jì)算得出A￡,庭的長，再利用平行線所截線段成比例求出

AD.

【詳解】(1)證明：0NBEF=NCAE,NCAE=NCBE,

SZBEF=NCBE,

EIBC〃EF；

(2)證明:

連接OE,

0AE平分/OU5,

EINc4￡=NBA￡,

λCE=BE'

0OELBC,

團(tuán)BC//EF,

0OEVEF,

SOE是:。的半徑，

SIE尸是＜0的切線；

(3)解:

A

如圖，設(shè)I。的半徑為X,則OE=OB=X,。尸=x+10,

在RrOEF中,由勾股定理，WOE2+EF2=OF2.

ElX2+2()2=(X+lop,

解得：x=I5,

回(O的半徑為15：

回ZBEF=ZBAE,ZF=ZF,

0_EBFSAEF,

BEBF101

0==—=-，

AEEF202

⑦AE=2BE,

EIAB是:。的直徑，

0NAEB=90°,

在RtABE中，由勾股定理，得AE2+BE2=AB2，

a∣JBE2+（2BE）2=3（）2,

解得8￡：=6石，

0AE=12√5.

^BC∕/EF.

ABAD30AD

0—=—,aBnJ-=—『,

AFAE4012√5

0AD=9√5.

方法二：

0ZBEF=ZBAE,ZF=ZF,

⑦JEBFSLAEF,

BEBFEF101

團(tuán)---=---=---=—=一,

AEEFAF202

EF2=BF.AF，

EF2202

0AF=--===40,

BF10

^AB=AF-BF=30,

0O的半徑為15：

求4。長的步驟同上.

【點(diǎn)睛】本題主要考查平行的判定，圓周角定理，垂徑定理，勾股定理，切線的證明以及相似三角形，掌

握切線的證明，相似三角形的判定及計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.

考點(diǎn)2：與線段有關(guān)的問題

典例2：（遼寧省大連市金普新區(qū)2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷）如圖，以ΛBC的邊AB為直

徑作。交AC于。且O￡>〃8C,。交8C于點(diǎn)E.

（1）求證：CD=DE;

⑵若Λβ=12,AD=4,求CE的長度.

【答案】⑴證明見解析

（2）1

【分析】（1）山四邊形43ED內(nèi)接于。，得出Nz）EC=ZA,根據(jù)己知8〃3C,得出NC=∕4OO,又

OA=OD,得IHNA=NAZ）O,等量代換得出NC=NOEC,根據(jù)等角對等邊，即可得證；

（2）根據(jù)AB為直徑，得他NA￡B=90。，根據(jù)已知以及（1）的結(jié)論，得出4C=2AD=8,48=BC=I2,

設(shè)CE=X,則3E=12—X,在RtAACE,RLA3E中，根據(jù)AE相等，根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即口J求

解.

【詳解】（1）證明：回四邊形ABED內(nèi)接于：0,

0ZDEB+ZA=18Oo,

又NDEB+ZDEC=180。

^ZDEC=ZA,

aOD〃BC,

團(tuán)NC=NAD0,

^OA=OD,

^ZA=ZADO,

中NC=NDEC,

團(tuán)CD=DE；

（2）解：如圖所示，連接A石，

團(tuán)NAEB=90。，

□ZC4E÷ZC=90o>ZAED+ZDEC=90o,

由(1)CD=DE,/C=/DEC,

⑦NCAE=ZAED,

⑦AD=DE,

AD=DC,

團(tuán)AC=24)=8,

由(1)可得ZBAC=ZAZ)O,NC=ZADO,

則NC=NB4C,

團(tuán)AB=BC=12,

設(shè)CE=x,則3E=12—X,

2222

^AC-CE=AB-BEf

082-X2=122-(12-X)2,

Q

解得：X=],

O

BlCE=-.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，直徑所對的圓周角是直角，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與

判定，綜合運(yùn)用以上知識是解題的關(guān)鍵.

【變式1】(2023秋?山東濱州?九年級統(tǒng)考期末)如圖，PA,PB是。的切線，A,5為切點(diǎn)，AC是O

的直徑，連接C8、OP,OP交AB于點(diǎn)D.

求證：

(I)OP//CB；

(2)20^=OP-BC.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

【分析】（1）根據(jù)切線長定理得出以=依，ZAPO=/BPO,根據(jù)三線合一得出PO,43,根據(jù)AC是CO

的直徑，得出ABlBC,即可得證；

（2）根據(jù)（1）的結(jié)論得出_AQ￡>s_ACB,進(jìn)而得出。。=；BC,證明AASSZXHM得出AO2=OP×OD,

即可得證.

【詳解】（1）證明：回∕?,總是Wo的切線，

⑦PA=PB,ZAPO=ZBPO,

0POlAB,

團(tuán)AC是00的直徑

0AB2BC,

電OP〃CB:

（2）證明：回。P〃CS,

0AOD^ACB,

0—=—??,即OD=LBC,

ACBC22

團(tuán)AQ_LQP,OA_LAP,

ZOAD=90o-ZDAP=ZAPO,

^ΛAOD^ΛPOΛ,

AOOD

0-----=-----,

OPAO

SlAO2=OPxOD,

^OD=-BC,

2

SlAO2=OP-BC,

2

即IOfiC=OPBC.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線長定理，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

【變式2］（2022?江西萍鄉(xiāng)?校考模擬預(yù)測）如圖，。是一ABC的外接圓，ZA=75。，ZACB=45o,P^BC

上的一動(dòng)點(diǎn).

P

CC

(1)當(dāng)/BOP的度數(shù)為多少時(shí)，PC//AB；

(2)若以動(dòng)點(diǎn)尸為切點(diǎn)的切線為尸“，那么當(dāng)NBoP的度數(shù)為多少時(shí)，切線PM與ABC一邊平行？

【答案】(1)120。

(2)75。或30。或135。

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得NCSA=60。，再由PC〃AB,可得NPCe=NC84=60°,再由圓

周角定理，即可求解；

(2)分1種情況：當(dāng)PA/〃BC時(shí)，連接OC；當(dāng)尸〃〃AC時(shí)，連接。4,OC,并反向延長OP,交(O于

點(diǎn)民當(dāng)PM〃AB時(shí)，反向延長OP,交。。于點(diǎn)凡連接結(jié)合切線的性質(zhì)，垂徑定理以及圓周角定

理，即可求解.

【詳解】(1)解：在，ABC中，SZA=75o,NBC4=45。，

13NCB4=60°,

SPC//AB,

⑦NPCB=NCBA=60°,

回ZBOP=2ZPCB=60。X2=120°,

回當(dāng)NBOP=120°時(shí)，PC//AB-.

(2)解：①如圖2,當(dāng)PM〃8C時(shí)，連接。C,

ElPM切。于點(diǎn)P,

團(tuán)。P_LpW,

0OP±BC,

國。尸是半徑，

⑦BP=P