SAS實(shí)驗(yàn)指導(dǎo)-Arch建模

1、ARCH建模及SAS實(shí)現(xiàn) 一. Arch模型 Arch模型即自回歸條件異方差模型，是金融市場(chǎng)中廣泛應(yīng)用的 一種特殊非線性模型。1982年，R.Engle在研究英國通貨膨脹率序列 規(guī)律時(shí)提出ARCH模型，其核心思想是殘差項(xiàng)的條件方差依賴于它 的前期值的大小。1986年，Bollerslev在ARCH模型基礎(chǔ)上對(duì)方差的 表現(xiàn)形式進(jìn)行了線性擴(kuò)展，并形成了更為廣泛的GARCH模型。 1. 金融時(shí)間序列的異方差性特征 金融時(shí)間序列，無恒定均值（非平穩(wěn)性），呈現(xiàn)出階段性的相對(duì)平 穩(wěn)的同時(shí)，往往伴隨著出現(xiàn)劇烈的波動(dòng)性；具有明顯的異方差（方差 隨時(shí)間變化而變化）特征： 尖峰厚尾：金融資產(chǎn)收益呈現(xiàn)厚尾和在均值處

2、呈現(xiàn)過度波峰； 波動(dòng)叢聚性：金融市場(chǎng)波動(dòng)往往呈現(xiàn)簇狀傾向，即波動(dòng)的當(dāng)期水 平往往與它最近的前些時(shí)期水平存在正相關(guān)關(guān)系。 杠桿效應(yīng)：指價(jià)格大幅度下降后往往會(huì)出現(xiàn)同樣幅度價(jià)格上升的 傾向。 1 o R 9 99 7 0 3 因此，傳統(tǒng)線性結(jié)構(gòu)模型(以及時(shí)間序列模型)并不能很好地解 釋金融時(shí)間序列數(shù)據(jù)。 2. ARCH(p) 模型 考慮 k 變量的回歸模型 yt01x1tLk xktt 若殘差項(xiàng)t的均值為0,對(duì)y取基于t-1時(shí)刻信息的期望: Et 1(yt )01x1t Lk xkt 該模型中，yt的無條件方差是固定的。但考慮 yt的條件方差: 22 var(yt |Yt1)Et1(yt01x1tL

3、kxkt)2Et1t2 其中，var(yt |Yt 1)表示基于t-1時(shí)刻信息集合Yt-i的yt的條件方差, 若殘差項(xiàng)t存在自回歸結(jié)構(gòu)，則yt的條件方差不固定。 假設(shè)在前p期所有信息的條件下，殘差項(xiàng)平方 t2服從AR(p)模型: (*) 其中t為0均值、 2 方差的白噪聲序列。 則殘差項(xiàng) t 服從條件正態(tài)分 布: tN 0, 2 t1 2 tp var( t) 2 t1 殘差項(xiàng)t的條件方差: 2 ptp 由兩部分組成: 1 )常數(shù)項(xiàng) ； 2)ARCH 項(xiàng)變動(dòng)信息, 前 p 期的殘差平方和 p 2 i ti i1 注:未知參數(shù) 0, 1,L , p 和 0, 1,L , k 利用極大似然估計(jì)法估

4、 計(jì)。 方差非負(fù)性要求 0, 1,L , p 都非負(fù)。為了使 t2協(xié)方差平穩(wěn), 需 進(jìn)一步要求方程 1 1z Lpzp 0 的根都位于單位圓外。 若 i 都非負(fù),上式等價(jià)于 1 L p 1. 注:若擾動(dòng)項(xiàng)的條件方差不存在自相關(guān),則有 1 Lp 0, 此時(shí) var( t)0,即殘差的條件方差同方差性情形。 3. GARCH( p,q)模型 ARCH(p)模型在實(shí)際應(yīng)用中，為了得到較好的擬合效果，往往需 要很大的階數(shù)p,從而增加了待估參數(shù)個(gè)數(shù)、引發(fā)多重共線性、非限 制估計(jì)違背 i 非負(fù)性要求。 1986年，Bollerslev將ARCH(p)模型推廣為廣義自回歸條件異方 pq 22 i tii t

5、 i i 1 i1 差模型GARCH(p, q):殘差t的條件方差表示為 var( t)t2 由三項(xiàng)組成, (1)常數(shù)項(xiàng) ； 2) ARCH 項(xiàng)； p 3) GARCH 項(xiàng)前 q 期預(yù)測(cè)方差 i1 注:未知參數(shù)用極大似然法估計(jì), 通常殘差的假設(shè)分布有正態(tài)分 布、 t 分布、廣義誤差分布；該模型也要求 i, i 非負(fù)；若要求是平穩(wěn) 過程，需要限制i i 1.實(shí)際上，GARCH(p, q)模型是將殘差 i 1i 1 平方用 ARMA(q,p) 模型描述。 4. ARCH 檢驗(yàn) 檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臍埐钍欠窬哂?ARCH 效應(yīng)有兩種方法： (1) . ARCH LM 檢驗(yàn)拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn) 檢驗(yàn)原假設(shè)Ho：殘差

6、序列直到p階都不存在ARCH效應(yīng)；需進(jìn) 行如下回歸： p ?22 t o i t i t i1 檢驗(yàn)回歸有兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量： F統(tǒng)計(jì)量一一檢驗(yàn)回歸系數(shù)是否顯著為 0. 運(yùn)T X R2統(tǒng)計(jì)量一一LM統(tǒng)計(jì)量，其中T為觀察值個(gè)數(shù)，R2為回 歸擬合優(yōu)度，該統(tǒng)計(jì)量漸近服從 2(p)分布。 (2) . 殘差平方相關(guān)圖 殘差平方相關(guān)圖顯示殘差平方 ？序列，直到任意指定的滯后階 數(shù)的自相關(guān)函數(shù)(AC)和偏自相關(guān)函數(shù)(PAC),并計(jì)算相應(yīng)滯后階 數(shù)的 QLB 統(tǒng)計(jì)量。若不存在 ARCH 效應(yīng)，則任意滯后階數(shù)的自相關(guān) 函數(shù)(AC)和偏自相關(guān)函數(shù)(PAC)都近似為0. 5. GARCH-M 模型 一般風(fēng)險(xiǎn)越大， 預(yù)期收益

7、越大。 在回歸模型中加入一項(xiàng) “利用條 件方差表示的預(yù)期風(fēng)險(xiǎn)”： ytxt pq 2 2 2 t i ti i t i i 1 i1 稱為 GARCH-M 模型。 另外，還有非對(duì)稱沖擊模型： TARCH、EGARCH、PARCH 等（略）。 二. SAS 實(shí)現(xiàn)-PROC AutoReg 過程 SAS 中的 AutoReg 過程，是用于估計(jì)和預(yù)測(cè)誤差項(xiàng)自相關(guān) 或異方差的時(shí)間序列數(shù)據(jù)的線性回歸模型。 自回歸誤差模型被用來校正自相關(guān)系數(shù)和廣義自回歸條件 異方差模型 GARCH ，并且其變體如廣義的 ARCH （GARCH）、 方差無窮的 GARCH（IGARCH ）、指數(shù)的 GARCH（EGARCH

8、） 和依均值的 GARCH（ GARCH-M ）被用于異方差的建模和校正。 自回歸過程 AutoReg 可以擬合任意階的自回歸誤差模型， 并且可 以擬合子集自回歸模型。 為了診斷自相關(guān)性， 過程產(chǎn)生廣義 Durbin-Watson（DW ）統(tǒng) 計(jì)量和其邊緣概率。 普通回歸分析假定誤差方差對(duì)于所有觀察是 相同的，但當(dāng)誤差方差不相同時(shí)，數(shù)據(jù)被稱為異方差，此時(shí)普通 最小二乘法估計(jì)不是有效的， 同時(shí)也影響預(yù)測(cè)值置信區(qū)間的精確 性。 Autoreg 過程能檢驗(yàn)異方差，并且提供 GARCH 模型族來估 計(jì)和校正數(shù)據(jù)易變性。 對(duì)于帶有自相關(guān)擾動(dòng)和隨時(shí)間變化的條件 異方差模型，過程輸出條件均值和條件方差的預(yù)測(cè)

9、值。 基本語法: Proc AutoReg data據(jù)集 可選項(xiàng) ; model因變量=獨(dú)立回歸變量列表 /選項(xiàng)列表; output out=數(shù)據(jù)集 選項(xiàng)列表; by變量; 說明： 1. proc autoreg語句可選項(xiàng) outest=據(jù)集把估計(jì)參數(shù)輸出到指定數(shù)據(jù)集； covout把估計(jì)參數(shù)的協(xié)方差陣輸出到outest=指定數(shù)據(jù) 集；該選項(xiàng)只有在指定了outest=選項(xiàng)后才有效. 2. model 語句 center通過減去均值，中心化因變量并且取消模型的均 值參數(shù)； noi nt取消模型的均值參數(shù)； nlag =數(shù)值| (數(shù)值列表)指定自回歸誤差的階或者自 回歸誤差的時(shí)間間隔的子集。例如，

10、nlag=3與nlag=(1 2 3) 作用相同，但與nlag=(1 3)等不同； garch=(q=數(shù)值,p=數(shù)值,type=選擇值,mean, noint, tr)指 定廣義條件異方差GARCH模型的類型。例如，定義 GARCH(2,1)回歸模型： model y=x1 x2 / garch=(q=2, p=1); 注意：SAS系統(tǒng)的自回歸參數(shù)符號(hào) q和p與前文所述公式中 的符號(hào)p和q正好相反。定義 GARCH-M(1,1)回歸模型： model y=x1 x2 / garch=(q=2,p=1,mea n); type=選擇值 指定 GARCH模型的類型：默認(rèn)為 noineq 表示無約束

11、 GARCH模型；nonneg表示非負(fù)約束 GARCH 模型；stn表示約束GARCH模型系數(shù)的和小于1 ； integ表 示IGARCH模型；exp表示EGARCH模型； noi nt 取消條件異方差模型中的均值參數(shù)； tr GARCH模型的估計(jì)使用信賴區(qū)域方法，缺省值為對(duì) 偶擬牛頓法； archtest要求用portmantea Q檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量和Engle的拉 格朗日乘子LM檢驗(yàn)是否存在條件異方差情況，即是否 有ARCH效應(yīng)； coef輸出前幾條觀察的變換系數(shù)； corrb輸出參數(shù)估計(jì)的估計(jì)相關(guān)系數(shù)； covb輸出參數(shù)估計(jì)的估計(jì)協(xié)方差； dw=n輸出直到n階的DW 統(tǒng)計(jì)量，默認(rèn) n=1; d

12、wprob輸出DW統(tǒng)計(jì)量的p值，當(dāng)誤差自由度大于 300時(shí)dwprob選項(xiàng)被忽略； ginv輸出Yule-Walker解的自協(xié)方差的 Toeplitz矩陣的 逆； itpri nt輸出每步迭代的目標(biāo)函數(shù)和參數(shù)估計(jì); lagdetp輸出DW t統(tǒng)計(jì)量，它用于檢驗(yàn)存在時(shí)滯因變 量時(shí)殘差的自相關(guān)性； lagdep=0歸變量輸出 DW h統(tǒng)計(jì)量，它用于檢驗(yàn)一階 自相關(guān)性； partial輸出偏自相關(guān)； backste去掉非顯著自回歸參數(shù)，參數(shù)按最小顯著性 的次序被去掉； slstay=數(shù)值指定被backstep選項(xiàng)使用的顯著水平，默 認(rèn)為0.05； converge=數(shù)值指定在迭代自回歸參數(shù)估計(jì)時(shí)參數(shù)

13、的 變化量的最大絕對(duì)值小于此數(shù)值，那么認(rèn)為收斂，默認(rèn) 為 0.001; maxiter=數(shù)值指定允許迭代的最大次數(shù)，默認(rèn)為 50; method=ml | ols | yw | ityw指定估計(jì)的方法，分別為： 最大似然估計(jì)、無條件最小二乘法、Yule-Walker估計(jì)、 迭代Yule-Walker估計(jì)； nomiss使用沒有缺失值的第一個(gè)連貫時(shí)間序列數(shù)據(jù) 集，進(jìn)行模型擬合估計(jì)。否則，跳過數(shù)據(jù)集開始的任何 缺失值，使用獨(dú)立回歸變量和因變量都不帶缺失值的所 有數(shù)據(jù)。請(qǐng)?zhí)貏e注意，為了保持時(shí)間序列中正確的時(shí)間 間隔，必須要增加時(shí)間刻度值，這樣就會(huì)產(chǎn)生因變量缺 失值的觀察。當(dāng)因變量缺失時(shí)，過程可以產(chǎn)生

14、預(yù)測(cè)值。 如果缺失值很多，則應(yīng)使用ML估計(jì)。 3. output 語句 out=數(shù)據(jù)集一一指定包含預(yù)測(cè)值和變換值的輸出數(shù)據(jù) 集； alphacli=數(shù)值設(shè)置時(shí)間序列預(yù)測(cè)值置信區(qū)間的顯著 水平，默認(rèn)為0.05; alphaclm=數(shù)值設(shè)置模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)值置信區(qū)間 的顯著水平，缺省值為0.05; cev=變量把條件誤差方差寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指 定變量中，僅GARCH模型被估計(jì)時(shí)才使用； cpev=變量把條件預(yù)測(cè)誤差方差寫入到輸出數(shù)據(jù) 集的指定變量中，僅 GARCH模型被估計(jì)時(shí)才使用； consta門七=變量把被變換的均值寫入到輸出數(shù)據(jù)集 的指定變量中； lcl =變量一一把預(yù)測(cè)值的置信下限寫入到

15、輸出數(shù)據(jù)集 的指定變量中； ucl =變量把預(yù)測(cè)值的置信上限寫入到輸出數(shù)據(jù)集 的指定變量中； lclm =變量把模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)值的置信下限寫 入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中； uclm =變量把模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)值的置信上限寫 入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中； p=變量把預(yù)測(cè)值寫入到輸出數(shù)據(jù)集的指定變量 中； rm =變量把來自模型結(jié)構(gòu)部分預(yù)測(cè)的殘差寫入到 輸出數(shù)據(jù)集的指定變量中； tran sform =變量把被變換的變量寫入到輸出數(shù)據(jù) 集的指定變量中。 三. 例子 對(duì)模擬方法生成的時(shí)間趨勢(shì)加二階自回歸誤差模型的時(shí)間 序列數(shù)據(jù)，用PROC AUTOREG過程進(jìn)行分析和建模，以便于比 較和判斷各種求解

16、模型和運(yùn)算結(jié)果的好壞。 模型： 兀二10 + 0*5一耳 t 0.5名r + (一) 按照模擬模型生成數(shù)據(jù)集 代碼： data randar; e1=0; e11=0; do t=-10 to 36; e= 1.3 *e1- 0.5 *e11+ 2*rannor( 12346 ); x= 10+0.5 *t+e; e11= e1; e1=e; if t 0 then output ; end; Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 運(yùn)行結(jié)果: e1 e11 -2.73816

17、-4.99186 0.03674 -2.73816 0.663560.03674 -0.862330.66356 -4.30165 -0.86233 -3.88957 -4.30165 -3.56635 -3.88957 -3.68908 -3.56635 -2.50263 -3.68908 tex 1 -2.738167.7618 2 0.03674 11.0367 3 0.66356 12.1636 4 -0.86233 11.1377 5 -4.301658.1984 6 -3.889579.1104 7 -3.566359.9337 8 -3.68908 10.3109 9 -2.50

18、263 11.9974 -1.80957 -2.50263 10 -1.80957 13.1904 -0.14763 -1.80957 11 -0.14763 15.3524 1.78537 -0.14763 12 1.78537 17.7854 4.09011 20.5901 3.54577 20.5458 4.090111.78537 13 3.545774.09011 14 -0.929953.54577 15 -0.92995 16.5701 -3.39550 -0.92995 16 -3.39550 14.6045 -4.57207 -3.39550 17 -4.57207 13.9

19、279 -4.02602 -4.57207 18 -4.02602 14.9740 -3.75333 -4.02602 19 -3.75333 15.7467 -1.73776 -3.75333 20 -1.73776 18.2622 -1.42859 -1.73776 21 -1.42859 19.0714 -0.98120 -1.42859 22 -0.98120 20.0188 -1.48741 -0.98120 23 -1.48741 20.0126 -4.41515 -1.48741 24 -4.41515 17.5848 -4.14229 -4.41515 25 -4.14229

20、18.3577 -5.57633 -4.14229 26 -5.57633 17.4237 -5.55633 -5.57633 27 -5.55633 17.9437 -4.17604 -5.55633 28 -4.17604 19.8240 Obsel e11 tex 29 -2.45303 -4.17604 29 -2.45303 22.0470 30 -0.32189 -2.45303 30 -0.32189 24.6781 31 -0.24246 -0.32189 31 -0.24246 25.2575 32 1.61987 -0.24246 321.61987 27.6199 33

21、2.262591.61987 332.26259 28.7626 34 0.485402.26259 340.48540 27.4854 35 -1.115700.48540 35 -1.11570 26.3843 36 -2.95901 -1.11570 36 -2.95901 25.0410 變量e對(duì)應(yīng)e1對(duì)應(yīng) model x=t; run ; 運(yùn)行結(jié)果及說明: AUTORE過程 因變量x 普通最小二乘法估計(jì) SSE 214.953429 DFE 34 普通最小二乘法估計(jì) MSE 6.32216 均方根誤差 2.51439 SBC 173.659101 AIC 170.492063 MAE

22、 2.01903356 AICC 170.855699 MAPE 12.5270666 HQC 171.597444 Durbi n-Wats on 0.4752 回歸R方 0.8200 總R方 0.8200 參數(shù)估計(jì)值 變量 自由度 估計(jì)值 標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值 近似 Pr |t| In tercept 1 8.2308 0.85599.62 .0001 t 1 0.5021 0.0403 12.45 .0001 AUTORE過程 -I 0| O 5 ID IE 3D 95 * IC4 工P 0 ID 帥 30 010 旳 眸 JVJ 0 E 10 15 SO 2E Tb JgiV-3 JWSFf

23、i即打F嘆型自由jg? 現(xiàn)瀏乂 USES齊M亡橫型自由;SE aiosojo 普通最小二乘回歸基于統(tǒng)計(jì)假設(shè)： 誤差相互對(duì)立。 然而，時(shí)間序 列數(shù)據(jù)，普通回歸后的殘差常常是相關(guān)的。 這將導(dǎo)致：第一，對(duì)于參數(shù)的顯著性和置信限的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)將不正 確；第二，回歸系數(shù)的估計(jì)不象考慮到自相關(guān)性時(shí)的估計(jì)一樣有效； 第三，由于回歸殘差不獨(dú)立，它們包含可用來改進(jìn)預(yù)測(cè)值的信息。 由于這些原因，所以對(duì)時(shí)間序列數(shù)據(jù)不使用普通回歸proc reg過 程而使用帶自回歸誤差的回歸 pro autoreg過程。Model語句中指定回 歸模型，沒有可選項(xiàng)，是要求利用普通最小二乘法做 x 對(duì) t 的回歸。 為便于對(duì)比，繪制了散點(diǎn)圖

24、和線性回歸趨勢(shì)線。 回歸R2是對(duì)回歸模型的R2,總R2是包括自回歸誤差在內(nèi)的整體 模型的R2.現(xiàn)在還無自回歸誤差模型，故兩個(gè) R2相等。 估計(jì)模型為： OLS： xt 8.2308 0.5021t t Var（ t ） 6.32216 該模型較合理地接近真實(shí)值，但是誤差方差估計(jì) 6.32216遠(yuǎn)大于真實(shí) 值 4。誤差方差估計(jì)值遠(yuǎn)大于真實(shí)值（通過對(duì)模型的殘差作自相關(guān)性 檢驗(yàn)來判斷和識(shí)別），說明模型還有信息沒有提取。 （三）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷淖韵嚓P(guān)系數(shù) 在實(shí)際問題中， 需要檢驗(yàn)自相關(guān)性是否存在， 以及存在幾階自相 關(guān)。 Durbin-Watson 檢驗(yàn)是廣泛使用的自相關(guān)性的檢驗(yàn)方法。選項(xiàng) dw=4 和 d

25、wprob 是要求過程進(jìn)行 1 到 4 階的 OLS 殘差中自相關(guān)性 Durbin-Watson檢驗(yàn)，并要求輸出Durbin-Watson統(tǒng)計(jì)量的邊緣顯著水 平p值。 注意：對(duì)于季節(jié)性時(shí)間序列數(shù)據(jù)，自相關(guān)性檢驗(yàn)應(yīng)該至少檢驗(yàn)與 季節(jié)性階一樣大的階。例如，對(duì)于月度數(shù)據(jù)至少應(yīng)取dw=12。 代碼： proc autoreg data =ran dar; model x=t / dw=4 dwprob ; run ; 運(yùn)行結(jié)果及說明： Durb in-Wats on 統(tǒng)計(jì)量 順序 DW Pr DW 1 0.4752 .0001 1.0000 2 1.2935 0.0137 0.9863 3 2.0694 0.6545 0.3455 4 2.5544 0.9818 0.0182 Note: PrDW is the p-value for testi ng n egative autocorrelati on. 參數(shù)估計(jì)值 變量 自由度估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)誤差t 值 近似Pr |t| In tercept 1 8.23080.85599.62 .0001 t 1 0.50210.0403 12.45 .0001 一階Durbin-Wat