切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì)(20201209221553)

1、切比雪夫?yàn)V波器設(shè)計(jì) 巴特沃斯濾波器的頻率特性曲線，無論在通帶內(nèi)還是阻帶內(nèi)都是頻率的單調(diào)函數(shù)。因此, 當(dāng)通帶的邊界處滿足指標(biāo)要求時(shí)， 通帶內(nèi)肯定會(huì)有裕量。所以，更有效的設(shè)計(jì)方法應(yīng)該是將 精確度均勻的分布在整個(gè)通帶或阻帶內(nèi)，或者同時(shí)分布在兩者之內(nèi)。這樣就可用較低階數(shù)的 系統(tǒng)滿足要求。這可通過選擇具有等波紋特性的逼近函數(shù)來達(dá)到。 H(j ) H(j )| (b 圖1切比雪夫I型濾波器的振幅特性 (a) N=3, 2dB通帶波紋的切比雪夫振幅特性 (b) N=4, 2dB通帶波紋的切比雪夫振幅特性 |H(j ) N為奇數(shù) $(j )| N為偶數(shù) 圖2切比雪夫II型濾波器的振幅特14 (b 切比雪夫?yàn)V波

2、器的振幅特T生就具有這種等波紋特1生。 是等波紋的，在阻帶內(nèi)是單調(diào)的稱為切比雪夫I型濾波 器；振幅特性在通帶內(nèi)是單調(diào)的 它有兩種類型：振幅特性在通帶內(nèi) 在 阻帶內(nèi)是等波紋的稱為切比雪夫II型濾波器。采用何種形式的切比雪夫?yàn)V波器取決于實(shí)際 用途。圖1和圖2分別畫出了 N為奇數(shù)、偶數(shù)時(shí)的切比雪夫 1、切比雪夫I型濾波器的基本特點(diǎn) I II型濾波器的頻率特性。 a2()H(j)2 1 N 現(xiàn)在介紹切比雪夫I型濾波器的設(shè)計(jì)，切比雪夫歸一化濾波器的幅度平方函數(shù)為 為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)振幅波動(dòng)的程度。越大，波動(dòng)也越大。/ p為對(duì) 截止頻率P的歸一化頻率5 P為截止頻率，也是濾波器的通帶帶寬(注：切比

3、雪夫?yàn)V波 器的通帶帶寬并不一定是3dB帶寬)。Cn(X)是N階切比雪夫多項(xiàng)式定義為 其中COS 1(x)為反余弦函數(shù); 定義如下所示 cos(Ncos x) 0 x 1 Cn (X1 )ch(Nch x) ch(x)為雙曲余弦函數(shù)；ch i(x)為反雙曲余弦函數(shù)；它們的 chx ch 1(x) arcch(x) ln(xx21) 上式可展開為多項(xiàng)式的形式如表1所示： 由表1可歸納出各階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式 為 Cn 1 (x) 2xCn(X)Cn 1 (x) 圖3示出了 N=0, 4，5時(shí)切比雪夫多項(xiàng)式的特性。由 圖3可見： N Cn(X) 0 1 1 X 2 2x2 1 3 3 4x 3

4、x 4 8x4 8x2 1 表1切比雪夫多項(xiàng)式 2 當(dāng) xl 時(shí)，|CN(X) 1，且具有等波紋幅度特 性。 Cn(X)是雙曲余弦函數(shù)，隨著 調(diào)增 加。 再看函數(shù) 2廠 /、2 0 N(X),是小于1的實(shí)數(shù)， Cn(X)的值在 x1之內(nèi)，將在 222 0至之間改變。而1 Cn(X)的函數(shù)值在 X1之內(nèi)，將在 2 至1之間改變。然后將1 92 Cn(X)取倒數(shù)， 即可得切比雪夫 型濾波器幅度平方函 數(shù)。2 根據(jù)以上所述，在 1的區(qū)間 外， 1 H(j)在接近1處振蕩，其最 x而單 Cn(x) 圖3切比雪夫多項(xiàng)式曲線 大值為1，最小值為 增大, 25n( ) ? 1,貝y H(j )很快接近于零。

5、圖57畫出了切比雪夫 I型濾波器振幅特性曲 線從中可以看出：振幅特性H(j)的起伏為1:上因少所以在J 1 時(shí)，H(j) r，即切比雪夫I型濾波器的截止頻率并不對(duì)應(yīng) 41r 3dB的衰減。 1切比雪夫多項(xiàng)式的零值在0 x1的間隔內(nèi)。 2、切比雪夫I型濾波器設(shè)計(jì)方法 要確定切比雪夫?yàn)V波器的幅度平方函數(shù)，需要確定三個(gè)參數(shù)：何確定這三個(gè)參N。下面研究如 數(shù)，具體步驟如下： (1) 將實(shí)際頻率歸一化得 再根據(jù)已知的p s，幅度平方函數(shù) |H(j )|2 1 2cn( 確定 代入 (2)確定和 定義通帶波紋 (即通帶衰減 (以分貝為單位)為: ioig 2l0ig 22 Cn( H(j ioig ioi

6、g 2cN(P) 22 SN心 22 Cn( p) 10 p10 22 Cn( s) 2ch2 Nch 1( s) 因?yàn)镻 1CN(1)1,所以 1O10 其中 ch2 Nch 1(s) ch la) ch J) 1O10 1 1O10 1 這樣可以求出和N,其中ch 1(x) in x . x2 1 o 10% 1 10P7t1 3、綜上所述，設(shè)計(jì)切比雪夫低通濾波器的基本步驟如下: (1)計(jì)算歸一化頻率 (2) 根據(jù)通帶波紋(通帶衰減)Pdb，按照210齋1式計(jì)算； (3) 根據(jù)阻帶起始頻率s，阻帶衰減s和。按照N 式計(jì)算濾波器的階數(shù)N; (4)根據(jù)濾波器階數(shù) N,查表得歸一化原型切比雪夫?yàn)V

7、波器系統(tǒng)函數(shù) H (p)；根據(jù) H(p) 1 的低頻特性求出待定系數(shù) do，注：當(dāng)N為偶數(shù)時(shí)，H (0):;當(dāng)N為奇數(shù)時(shí)，H (0) 1 !2 (5)去掉歸一化影響根據(jù)截止頻率p 按照H (s) H ( p) p衛(wèi)式計(jì)算切比雪夫?yàn)V波 P 器的系統(tǒng)函數(shù)H (s)； s 0.5rad /s，阻 4、舉例說明 已知通帶波紋為ldb，截止頻率p 0.3rad / s，阻帶截止頻率 帶衰減大于15db，試設(shè)計(jì)滿足上述性能指標(biāo)的切比雪夫I型低通濾波器。 解：已知 pO.3，p1dB，s0.5，s 15dB (1) 計(jì)算歸一化頻率p P1， s s 1.6667。 p (2) 計(jì)算。 p 2 10 而 110.1 1 0.2589 (3) 計(jì)算濾波器的階數(shù)N; 1O10 1 |101P1 1015 1 10。川 28757 ch 1 (a) ch1(s) 1 需)2.8013 選定N=3。 H(P); (4) 根據(jù)濾波器階數(shù)N,查表得歸一化原型切比雪夫?yàn)V波器系統(tǒng)函數(shù) H(P) p 0.9883 p 1