高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)大題壓軸高考題選

1、.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高考?jí)狠S題選一選擇題（共2小題）1（2013安徽）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若f（x1）=x1x2，則關(guān)于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A3B4C5D62（2012福建）函數(shù)f（x）在a，b上有定義，若對(duì)任意x1，x2a，b，有則稱f（x）在a，b上具有性質(zhì)P設(shè)f（x）在1，3上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：f（x）在1，3上的圖象是連續(xù)不斷的；f（x2）在1，上具有性質(zhì)P；若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x1，3；對(duì)任意x1，x2，x3，x41，3，有f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x

2、4）其中真命題的序號(hào)是（）ABCD二選擇題（共1小題）3（2012新課標(biāo)）設(shè)函數(shù)f（x）=的最大值為M，最小值為m，則M+m=三選擇題（共23小題）4（2014陜西）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+，mR（）當(dāng)m=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求f（x）的極小值；（）討論函數(shù)g（x）=f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）若對(duì)任意ba0，1恒成立，求m的取值范圍5（2013新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=exln（x+m）（）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；（）當(dāng)m2時(shí)，證明f（x）06（2013四川）已知函數(shù)，其中a是實(shí)數(shù)，設(shè)A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）為該函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且x1x

3、2（）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；（）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍7（2013湖南）已知函數(shù)f（x）=（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）證明：當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1x2）時(shí)，x1+x208（2013遼寧）已知函數(shù)f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，當(dāng)x0，1時(shí)，（I）求證：；（II）若f（x）g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍9（2013陜西）已知函數(shù)f（x）=ex，xR（） 若直線y=kx+1與f （x）的反函數(shù)g（x）=lnx的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值

4、；（） 設(shè)x0，討論曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)（） 設(shè)ab，比較與的大小，并說(shuō)明理由10（2013湖北）設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)（）求函數(shù)f（x）=（1+x）r+1（r+1）x1（x1）的最小值；（）證明：；（）設(shè)xR，記x為不小于x的最小整數(shù)，例如令的值（參考數(shù)據(jù)：11（2012遼寧）設(shè)f（x）=ln（x+1）+ax+b（a，bR，a，b為常數(shù)），曲線y=f（x）與直線y=x在（0，0）點(diǎn)相切（I）求a，b的值；（II）證明：當(dāng)0x2時(shí)，f（x）12（2012福建）已知函數(shù)f（x）=axsinx（aR），且在上的最大值為，（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）判

5、斷函數(shù)f（x）在（0，）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明13（2012湖北）設(shè)函數(shù)f（x）=axn（1x）+b（x0），n為正整數(shù)，a，b為常數(shù)，曲線y=f（x）在（1，f（1）處的切線方程為x+y=1（）求a，b的值；（）求函數(shù)f（x）的最大值；（）證明：f（x）14（2012湖南）已知函數(shù)f（x）=exax，其中a0（1）若對(duì)一切xR，f（x）1恒成立，求a的取值集合；（2）在函數(shù)f（x）的圖象上取定點(diǎn)A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）（x1x2），記直線AB的斜率為K，證明：存在x0（x1，x2），使f（x0）=K恒成立15（2012四川）已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線與x軸正半軸相

6、交于點(diǎn)A，設(shè)f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距（）用a和n表示f（n）；（）求對(duì)所有n都有成立的a的最小值；（）當(dāng)0a1時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由16（2011四川）已知函數(shù)f（x）=x+，h（x）=（）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）h（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè)aR，解關(guān)于x的方程log4f（x1）=log2h（ax）log2h（4x）；（）試比較f（100）h（100）與的大小17（2011陜西）設(shè)函數(shù)f（x）定義在（0，+）上，f（1）=0，導(dǎo)函數(shù)f（x）=，g（x）=f（x）+f（x）（）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；（）討論g（x）與的大小關(guān)系；（）是否存在x0

7、0，使得|g（x）g（x0）|對(duì)任意x0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由18（2011四川）已知函數(shù)f（x）=x+，h（x）=（）設(shè)函數(shù)F（x）=18f（x）x2h（x）2，求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè)aR，解關(guān)于x的方程lgf（x1）=2lgh（ax）2lgh（4x）；（）設(shè)nNn，證明：f（n）h（n）h（1）+h（2）+h（n）19（2010四川）設(shè)，a0且a1），g（x）是f（x）的反函數(shù)（）設(shè)關(guān)于x的方程求在區(qū)間2，6上有實(shí)數(shù)解，求t的取值范圍；（）當(dāng)a=e，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，證明：；（）當(dāng)0a時(shí)，試比較|與4的大小，并說(shuō)明理由20（2010全國(guó)卷）設(shè)

8、函數(shù)f（x）=1ex（）證明：當(dāng)x1時(shí)，f（x）；（）設(shè)當(dāng)x0時(shí)，f（x），求a的取值范圍21（2010陜西）已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR，（）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值和該切線方程；（）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）g（x），當(dāng)h（x）存在最小值時(shí)，求其最小值（a）的解析式；（）對(duì)（）中的（a）和任意的a0，b0，證明：（）（）22（2009全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；（）證明：f（x2）23（2009湖北）在R上定義運(yùn)算：（b、cR是常

9、數(shù)），已知f1（x）=x22c，f2（x）=x2b，f（x）=f1（x）f2（x）如果函數(shù)f（x）在x=1處有極值，試確定b、c的值；求曲線y=f（x）上斜率為c的切線與該曲線的公共點(diǎn)；記g（x）=|f（x）|（1x1）的最大值為M，若Mk對(duì)任意的b、c恒成立，試求k的取值范圍（參考公式：x33bx2+4b3=（x+b）（x2b）2）24（2009湖北）已知關(guān)于x的函數(shù)f（x）=x3+bx2+cx+bc，其導(dǎo)函數(shù)為f（x）令g（x）=|f（x）|，記函數(shù)g（x）在區(qū)間1、1上的最大值為M（）如果函數(shù)f（x）在x=1處有極值，試確定b、c的值：（）若|b|1，證明對(duì)任意的c，都有M2（）若MK對(duì)

10、任意的b、c恒成立，試求k的最大值25（2008江蘇）請(qǐng)先閱讀：在等式cos2x=2cos2x1（xR）的兩邊求導(dǎo)，得：（cos2x）=（2cos2x1），由求導(dǎo)法則，得（sin2x）2=4cosx（sinx），化簡(jiǎn)得等式：sin2x=2cosxsinx（1）利用上題的想法（或其他方法），結(jié)合等式（1+x）n=Cn0+Cn1x+Cn2x2+Cnnxn（xR，正整數(shù)n2），證明：（2）對(duì)于正整數(shù)n3，求證：（i）；（ii）；（iii）26（2008天津）已知函數(shù)f（x）=x4+ax3+2x2+b（xR），其中a，bR（）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；（）若函數(shù)f（x）僅在x=0處有極值，求a的

11、取值范圍；（）若對(duì)于任意的a2，2，不等式f（x）1在1，1上恒成立，求b的取值范圍四解答題（共4小題）27（2008福建）已知函數(shù)f（x）=ln（1+x）x（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）記f（x）在區(qū)間0，n（nN*）上的最小值為bn令an=ln（1+n）bn（i）如果對(duì)一切n，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；（ii）求證：28（2007福建）已知函數(shù)f（x）=exkx，（1）若k=e，試確定函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若k0，且對(duì)于任意xR，f（|x|）0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）+f（x），求證：F（1）F（2）F（n）（nN*）29（2006

12、四川）已知函數(shù)，f（x）的導(dǎo)函數(shù)是f（x）對(duì)任意兩個(gè)不相等的正數(shù)x1、x2，證明：（）當(dāng)a0時(shí)，；（）當(dāng)a4時(shí)，|f（x1）f（x2）|x1x2|30（2006遼寧）已知f0（x）=xn，其中kn（n，kN+），設(shè)F（x）=Cn0f0（x2）+Cn1f1（x2）+Cnnfn（x2），x1，1（1）寫(xiě)出fk（1）；（2）證明：對(duì)任意的x1，x21，1，恒有|F（x1）F（x2）|2n1（n+2）n1函數(shù)與導(dǎo)數(shù)高考?jí)狠S題選參考答案與試題解析一選擇題（共2小題）1（2013安徽）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，若f（x1）=x1x2，則關(guān)于x的方程3（f（x）2+2a

13、f（x）+b=0的不同實(shí)根個(gè)數(shù)為（）A3B4C5D6【解答】解：函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c有兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，f（x）=3x2+2ax+b=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，=4a212b0解得=x1x2，而方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的1=0，此方程有兩解且f（x）=x1或x2不妨取0x1x2，f（x1）0把y=f（x）向下平移x1個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）x1的圖象，f（x1）=x1，可知方程f（x）=x1有兩解把y=f（x）向下平移x2個(gè)單位即可得到y(tǒng)=f（x）x2的圖象，f（x1）=x1，f（x1）x20，可知方程f（x）=x2只有一解綜上可知：方程f（x）=x1或f（

14、x）=x2只有3個(gè)實(shí)數(shù)解即關(guān)于x的方程3（f（x）2+2af（x）+b=0的只有3不同實(shí)根故選：A2（2012福建）函數(shù)f（x）在a，b上有定義，若對(duì)任意x1，x2a，b，有則稱f（x）在a，b上具有性質(zhì)P設(shè)f（x）在1，3上具有性質(zhì)P，現(xiàn)給出如下命題：f（x）在1，3上的圖象是連續(xù)不斷的；f（x2）在1，上具有性質(zhì)P；若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x1，3；對(duì)任意x1，x2，x3，x41，3，有f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4）其中真命題的序號(hào)是（）ABCD【解答】解：在中，反例：f（x）=在1，3上滿足性質(zhì)P，但f（x）在1，3上不是連續(xù)函數(shù)，故不成立；在中

15、，反例：f（x）=x在1，3上滿足性質(zhì)P，但f（x2）=x2在1，上不滿足性質(zhì)P，故不成立；在中：在1，3上，f（2）=f（），故f（x）=1，對(duì)任意的x1，x21，3，f（x）=1，故成立；在中，對(duì)任意x1，x2，x3，x41，3，有=f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4），f（x1）+f（x2）+f（x3）+f（x4），故成立故選D二選擇題（共1小題）3（2012新課標(biāo)）設(shè)函數(shù)f（x）=的最大值為M，最小值為m，則M+m=2【解答】解：函數(shù)可化為f（x）=，令，則為奇函數(shù)，的最大值與最小值的和為0函數(shù)f（x）=的最大值與最小值的和為1+1+0=2即M+m=2故答案為：2三選擇題（共

16、23小題）4（2014陜西）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx+，mR（）當(dāng)m=e（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，求f（x）的極小值；（）討論函數(shù)g（x）=f（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（）若對(duì)任意ba0，1恒成立，求m的取值范圍【解答】解：（）當(dāng)m=e時(shí)，f（x）=lnx+，f（x）=；當(dāng)x（0，e）時(shí)，f（x）0，f（x）在（0，e）上是減函數(shù)；當(dāng)x（e，+）時(shí)，f（x）0，f（x）在（e，+）上是增函數(shù)；x=e時(shí)，f（x）取得極小值為f（e）=lne+=2；（）函數(shù)g（x）=f（x）=（x0），令g（x）=0，得m=x3+x（x0）；設(shè)（x）=x3+x（x0），（x）=x2+1=（x1）（x+1）；當(dāng)x（0，1）時(shí)

17、，（x）0，（x）在（0，1）上是增函數(shù)，當(dāng)x（1，+）時(shí)，（x）0，（x）在（1，+）上是減函數(shù)；x=1是（x）的極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，x=1是（x）的最大值點(diǎn)，（x）的最大值為（1）=；又（0）=0，結(jié)合y=（x）的圖象，如圖；可知：當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m=時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0m時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)m時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)m=或m0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)0m時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；（）對(duì)任意ba0，1恒成立，等價(jià)于f（b）bf（a）a恒成立；設(shè)h（x）=f（x）x=lnx+x（x0），

18、則h（b）h（a）h（x）在（0，+）上單調(diào)遞減；h（x）=10在（0，+）上恒成立，mx2+x=+（x0），m；對(duì)于m=，h（x）=0僅在x=時(shí)成立；m的取值范圍是，+）5（2013新課標(biāo)）已知函數(shù)f（x）=exln（x+m）（）設(shè)x=0是f（x）的極值點(diǎn)，求m，并討論f（x）的單調(diào)性；（）當(dāng)m2時(shí)，證明f（x）0【解答】（）解：，x=0是f（x）的極值點(diǎn)，解得m=1所以函數(shù)f（x）=exln（x+1），其定義域?yàn)椋?，+）設(shè)g（x）=ex（x+1）1，則g（x）=ex（x+1）+ex0，所以g（x）在（1，+）上為增函數(shù)，又g（0）=0，所以當(dāng)x0時(shí)，g（x）0，即f（x）0；當(dāng)1x0時(shí)，

19、g（x）0，f（x）0所以f（x）在（1，0）上為減函數(shù)；在（0，+）上為增函數(shù)；（）證明：當(dāng)m2，x（m，+）時(shí)，ln（x+m）ln（x+2），故只需證明當(dāng)m=2時(shí)f（x）0當(dāng)m=2時(shí)，函數(shù)在（2，+）上為增函數(shù)，且f（1）0，f（0）0故f（x）=0在（2，+）上有唯一實(shí)數(shù)根x0，且x0（1，0）當(dāng)x（2，x0）時(shí)，f（x）0，當(dāng)x（x0，+）時(shí)，f（x）0，從而當(dāng)x=x0時(shí)，f（x）取得最小值由f（x0）=0，得，ln（x0+2）=x0故f（x）=0綜上，當(dāng)m2時(shí)，f（x）06（2013四川）已知函數(shù)，其中a是實(shí)數(shù)，設(shè)A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）為該函數(shù)圖象上的點(diǎn)，且x1x

20、2（）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x20，求x2x1的最小值；（）若函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合，求a的取值范圍【解答】解：（I）當(dāng)x0時(shí)，f（x）=（x+1）2+a，f（x）在（，1）上單調(diào)遞減，在1，0）上單調(diào)遞增；當(dāng)x0時(shí)，f（x）=lnx，在（0，+）單調(diào)遞增（II）x1x20，f（x）=x2+2x+a，f（x）=2x+2，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A，B處的切線的斜率分別為f（x1），f（x2），函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，（2x1+2）（2x2+2）=12x1+20，2x2+20，=1，當(dāng)且僅當(dāng)（2x1+2）

21、=2x2+2=1，即，時(shí)等號(hào)成立函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線互相垂直，且x20，求x2x1的最小值為1（III）當(dāng)x1x20或0x1x2時(shí)，故不成立，x10x2當(dāng)x10時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x1，f（x1），處的切線方程為，即當(dāng)x20時(shí)，函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（x2，f（x2）處的切線方程為，即函數(shù)f（x）的圖象在點(diǎn)A，B處的切線重合的充要條件是，由及x10x2可得1x10，由得=函數(shù)，y=ln（2x1+2）在區(qū)間（1，0）上單調(diào)遞減，a（x1）=在（1，0）上單調(diào)遞減，且x11時(shí)，ln（2x1+2），即ln（2x1+2）+，也即a（x1）+x10，a（x1）1ln2a的取值范圍是（1l

22、n2，+）7（2013湖南）已知函數(shù)f（x）=（）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（）證明：當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1x2）時(shí)，x1+x20【解答】解：（）易知函數(shù)的定義域?yàn)镽=，當(dāng)x0時(shí)，f（x）0；當(dāng)x0時(shí)，f（x）0函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（，0），單調(diào)遞減區(qū)間為（0，+）（）當(dāng)x1時(shí)，由于，ex0，得到f（x）0；同理，當(dāng)x1時(shí)，f（x）0當(dāng)f（x1）=f（x2）（x1x2）時(shí)，不妨設(shè)x1x2由（）可知：x1（，0），x2（0，1）下面證明：x（0，1），f（x）f（x），即證此不等式等價(jià)于令g（x）=，則g（x）=xex（e2x1）當(dāng)x（0，1）時(shí)，g（x）0，g（x）單調(diào)遞減，g（x

23、）g（0）=0即x（0，1），f（x）f（x）而x2（0，1），f（x2）f（x2）從而，f（x1）f（x2）由于x1，x2（，0），f（x）在（，0）上單調(diào)遞增，x1x2，即x1+x208（2013遼寧）已知函數(shù)f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，當(dāng)x0，1時(shí)，（I）求證：；（II）若f（x）g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】（I）證明：當(dāng)x0，1）時(shí)，（1+x）e2x1x（1+x）ex（1x）ex，令h（x）=（1+x）ex（1x）ex，則h（x）=x（exex）當(dāng)x0，1）時(shí)，h（x）0，h（x）在0，1）上是增函數(shù)，h（x）h（0）=0，即f（x）1x

24、當(dāng)x0，1）時(shí)，ex1+x，令u（x）=ex1x，則u（x）=ex1當(dāng)x0，1）時(shí)，u（x）0，u（x）在0，1）單調(diào)遞增，u（x）u（0）=0，f（x）綜上可知：（II）解：設(shè)G（x）=f（x）g（x）=令H（x）=，則H（x）=x2sinx，令K（x）=x2sinx，則K（x）=12cosx當(dāng)x0，1）時(shí)，K（x）0，可得H（x）是0，1）上的減函數(shù)，H（x）H（0）=0，故H（x）在0，1）單調(diào)遞減，H（x）H（0）=2a+1+H（x）a+3當(dāng)a3時(shí)，f（x）g（x）在0，1）上恒成立下面證明當(dāng)a3時(shí)，f（x）g（x）在0，1）上不恒成立f（x）g（x）=x令v（x）=，則v（x）=當(dāng)x

25、0，1）時(shí)，v（x）0，故v（x）在0，1）上是減函數(shù)，v（x）（a+1+2cos1，a+3當(dāng)a3時(shí)，a+30存在x0（0，1），使得v（x0）0，此時(shí)，f（x0）g（x0）即f（x）g（x）在0，1）不恒成立綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，39（2013陜西）已知函數(shù)f（x）=ex，xR（） 若直線y=kx+1與f （x）的反函數(shù)g（x）=lnx的圖象相切，求實(shí)數(shù)k的值；（） 設(shè)x0，討論曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)（） 設(shè)ab，比較與的大小，并說(shuō)明理由【解答】解：（I）函數(shù)f（x）=ex的反函數(shù)為g（x）=lnx，設(shè)直線y=kx+1與g（x）的圖象相切于點(diǎn)P（x0，y

26、0），則，解得，k=e2，k=e2（II）當(dāng)x0，m0時(shí)，令f（x）=mx2，化為m=，令h（x）=，則，則x（0，2）時(shí)，h（x）0，h（x）單調(diào)遞減；x（2，+）時(shí)，h（x）0，h（x）單調(diào)遞增當(dāng)x=2時(shí)，h（x）取得極小值即最小值，當(dāng)時(shí)，曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m0）公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1；當(dāng)時(shí)，曲線y=f （x） 與曲線y=mx2（m0）公共點(diǎn)個(gè)數(shù)為2（） =，令g（x）=x+2+（x2）ex（x0），則g（x）=1+（x1）exg（x）=xex0，g（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，且g（0）=0，g（x）0，g

27、（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，而g（0）=0，在（0，+）上，有g(shù)（x）g（0）=0當(dāng)x0時(shí)，g（x）=x+2+（x2）ex0，且ab，即當(dāng)ab時(shí)，10（2013湖北）設(shè)n是正整數(shù)，r為正有理數(shù)（）求函數(shù)f（x）=（1+x）r+1（r+1）x1（x1）的最小值；（）證明：；（）設(shè)xR，記x為不小于x的最小整數(shù)，例如令的值（參考數(shù)據(jù)：【解答】解；（）由題意得f（x）=（r+1）（1+x）r（r+1）=（r+1）（1+x）r1，令f（x）=0，解得x=0當(dāng)1x0時(shí)，f（x）0，f（x）在（1，0）內(nèi)是減函數(shù)；當(dāng)x0時(shí)，f（x）0，f（x）在（0，+）內(nèi)是增函數(shù)故函數(shù)f（x）在x=0處，取得最小值為

28、f（0）=0（）由（），當(dāng)x（1，+）時(shí)，有f（x）f（0）=0，即（1+x）r+11+（r+1）x，且等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)成立，故當(dāng)x1且x0，有（1+x）r+11+（r+1）x，在中，令（這時(shí)x1且x0），得上式兩邊同乘nr+1，得（n+1）r+1nr+1+nr（r+1），即，當(dāng)n1時(shí)，在中令（這時(shí)x1且x0），類似可得，且當(dāng)n=1時(shí)，也成立綜合，得，（）在中，令，n分別取值81，82，83，125，得，將以上各式相加，并整理得代入數(shù)據(jù)計(jì)算，可得由S的定義，得S=21111（2012遼寧）設(shè)f（x）=ln（x+1）+ax+b（a，bR，a，b為常數(shù)），曲線y=f（x）與直線y=x在（0，0

29、）點(diǎn)相切（I）求a，b的值；（II）證明：當(dāng)0x2時(shí)，f（x）【解答】（I）解：由y=f（x）過(guò)（0，0），f（0）=0，b=1曲線y=f（x）與直線在（0，0）點(diǎn)相切y|x=0=a=0；（II）證明：由（I）知f（x）=ln（x+1）+由均值不等式，當(dāng)x0時(shí)，令k（x）=ln（x+1）x，則k（0）=0，k（x）=，k（x）0ln（x+1）x，由得，當(dāng)x0時(shí)，f（x）記h（x）=（x+6）f（x）9x，則當(dāng)0x2時(shí)，h（x）=f（x）+（x+6）f（x）9=h（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，又h（0）=0，h（x）0當(dāng)0x2時(shí)，f（x）12（2012福建）已知函數(shù)f（x）=axsinx（aR）

30、，且在上的最大值為，（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）判斷函數(shù)f（x）在（0，）內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并加以證明【解答】解：（I）由已知得f（x）=a（sinx+xcosx），對(duì)于任意的x（0，），有sinx+xcosx0，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，x（0，），f（x）0，從而f（x）在（0，）單調(diào)遞減，又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，故函數(shù)在上上的最大值為f（0）=，不合題意；當(dāng)a0時(shí)，x（0，），f（x）0，從而f（x）在（0，）單調(diào)遞增，又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，故函數(shù)在上上的最大值為f（）=，解得a=1，綜上所述，得（II）函數(shù)f（x）在（0，）內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)證明如下：由

31、（I）知，從而有f（0）=0，f（）=0，又函數(shù)在上圖象是連續(xù)不斷的，所以函數(shù)f（x）在（0，）內(nèi)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，又由（I）知f（x）在（0，）單調(diào)遞增，故函數(shù)f（x）在（0，）內(nèi)僅有一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)x，時(shí)，令g（x）=f（x）=sinx+xcosx，由g（）=10，g（）=0，且g（x）在，上的圖象是連續(xù)不斷的，故存在m（，），使得g（m）=0由g（x）=2cosxxsinx，知x（，）時(shí)，有g(shù)（x）0，從而g（x）在，上單調(diào)遞減當(dāng)x（，m），g（x）g（m）=0，即f（x）0，從而f（x）在（，m）內(nèi)單調(diào)遞增故當(dāng)x（，m）時(shí)，f（x）f（）=0，從而（x）在（，m）內(nèi)無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)x（m，）時(shí)，有

32、g（x）g（m）=0，即f（x）0，從而f（x）在（，m）內(nèi)單調(diào)遞減又f（m）0，f（）0且f（x）在m，上的圖象是連續(xù)不斷的，從而f（x）在m，內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)綜上所述，函數(shù)f（x）在（0，）內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)13（2012湖北）設(shè)函數(shù)f（x）=axn（1x）+b（x0），n為正整數(shù)，a，b為常數(shù)，曲線y=f（x）在（1，f（1）處的切線方程為x+y=1（）求a，b的值；（）求函數(shù)f（x）的最大值；（）證明：f（x）【解答】解：（）因?yàn)閒（1）=b，由點(diǎn)（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1，即b=0因?yàn)閒（x）=anxn1a（n+1）xn，所以f（1）=a又因?yàn)榍芯€x+y=1的斜率為1

33、，所以a=1，即a=1，故a=1，b=0（）由（）知，f（x）=xn（1x），則有f（x）=（n+1）xn1（x），令f（x）=0，解得x=在（0，）上，導(dǎo)數(shù)為正，故函數(shù)f（x）是增函數(shù)；在（，+）上導(dǎo)數(shù)為負(fù)，故函數(shù)f（x）是減函數(shù)；故函數(shù)f（x）在（0，+）上的最大值為f（）=（）n（1）=，（）令（t）=lnt1+，則（t）=（t0）在（0，1）上，（t）0，故（t）單調(diào)減；在（1，+），（t）0，故（t）單調(diào)增；故（t）在（0，+）上的最小值為（1）=0，所以（t）0（t1）則lnt1，（t1），令t=1+，得ln（1+），即ln（1+）n+1lne所以（1+）n+1e，即由（）知，f（

34、x），故所證不等式成立14（2012湖南）已知函數(shù)f（x）=exax，其中a0（1）若對(duì)一切xR，f（x）1恒成立，求a的取值集合；（2）在函數(shù)f（x）的圖象上取定點(diǎn)A（x1，f（x1），B（x2，f（x2）（x1x2），記直線AB的斜率為K，證明：存在x0（x1，x2），使f（x0）=K恒成立【解答】解：（1）f（x）=exa，令f（x）=0，解可得x=lna；當(dāng)xlna，f（x）0，f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)xlna，f（x）0，f（x）單調(diào)遞增，故當(dāng)x=lna時(shí)，f（x）取最小值，f（lna）=aalna，對(duì)一切xR，f（x）1恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)aalna1，令g（t）=ttlnt，則g（t）=

35、lnt，當(dāng)0t1時(shí)，g（t）0，g（t）單調(diào)遞增，當(dāng)t1時(shí)，g（t）0，g（t）單調(diào)遞減，故當(dāng)t=1時(shí)，g（t）取得最大值，且g（1）=1，因此當(dāng)且僅當(dāng)a=1時(shí)，式成立，綜上所述，a的取值的集合為1（2）根據(jù)題意，k=a，令（x）=f（x）k=ex，則（x1）=（x2x1）1，（x2）=（x1x2）1，令F（t）=ett1，則F（t）=et1，當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)（t）0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞減；當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)（t）0，F(xiàn)（t）單調(diào)遞增，則F（t）的最小值為F（0）=0，故當(dāng)t0時(shí)，F(xiàn)（t）F（0）=0，即ett10，從而（x2x1）10，且0，則（x1）0，（x1x2）10，0，則（x2）0，因?yàn)楹瘮?shù)y=（

36、x）在區(qū)間x1，x2上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，所以存在x0（x1，x2），使（x0）=0，即f（x0）=K成立15（2012四川）已知a為正實(shí)數(shù)，n為自然數(shù)，拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，設(shè)f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距（）用a和n表示f（n）；（）求對(duì)所有n都有成立的a的最小值；（）當(dāng)0a1時(shí)，比較與的大小，并說(shuō)明理由【解答】解：（）拋物線與x軸正半軸相交于點(diǎn)A，A（）對(duì)求導(dǎo)得y=2x拋物線在點(diǎn)A處的切線方程為，f（n）為該拋物線在點(diǎn)A處的切線在y軸上的截距，f（n）=an；（）由（）知f（n）=an，則成立的充要條件是an2n3+1即知，an2n3+1對(duì)所有n成立，特別

37、的，取n=2得到a當(dāng)a=，n3時(shí)，an4n=（1+3）n1+=1+2n3+2n3+1當(dāng)n=0，1，2時(shí)，a=時(shí)，對(duì)所有n都有成立a的最小值為；（）由（）知f（k）=ak，下面證明：首先證明：當(dāng)0x1時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=x（x2x）+1，0x1，則g（x）=x（x）當(dāng)0x時(shí)，g（x）0；當(dāng)時(shí)，g（x）0故函數(shù)g（x）在區(qū)間（0，1）上的最小值g（x）min=g（）=0當(dāng)0x1時(shí)，g（x）0，由0a1知0ak1，因此，從而=16（2011四川）已知函數(shù)f（x）=x+，h（x）=（）設(shè)函數(shù)F（x）=f（x）h（x），求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè)aR，解關(guān)于x的方程log4f（x1）=log2h

38、（ax）log2h（4x）；（）試比較f（100）h（100）與的大小【解答】解：（）由F（x）=f（x）h（x）=x+（x0）知，F(xiàn)（x）=，令F（x）=0，得x=當(dāng)x（0，）時(shí)，F(xiàn)（x）0；當(dāng)x（，+）時(shí)，F(xiàn)（x）0故x（0，）時(shí)，F(xiàn)（x）是減函數(shù)；故x（，+）時(shí)，F(xiàn)（x）是增函數(shù)F（x）在x=處有極小值且F（）=（）原方程可化為log4（x1）+log2 h（4x）=log2h（ax），即log2（x1）+log2=log2，當(dāng)1a4時(shí)，原方程有一解x=3；當(dāng)4a5時(shí)，原方程有兩解x=3；當(dāng)a=5時(shí)，原方程有一解x=3；當(dāng)a1或a5時(shí)，原方程無(wú)解 （）設(shè)數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為sn，且sn

39、=f（n）g（n）從而有a1=s1=1當(dāng)2k100時(shí)，ak=sksk1=，ak=（4k3）（4k1）=0即對(duì)任意的2k100，都有ak又因?yàn)閍1=s1=1，所以a1+a2+a3+a100=h（1）+h（2）+h（100）故f（100）h（100）17（2011陜西）設(shè)函數(shù)f（x）定義在（0，+）上，f（1）=0，導(dǎo)函數(shù)f（x）=，g（x）=f（x）+f（x）（）求g（x）的單調(diào)區(qū)間和最小值；（）討論g（x）與的大小關(guān)系；（）是否存在x00，使得|g（x）g（x0）|對(duì)任意x0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由【解答】解：（）由題設(shè)易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，g（

40、x）=，令g（x）=0，得x=1，當(dāng)x（0，1）時(shí)，g（x）0，故g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，1），當(dāng)x（1，+）時(shí)，g（x）0，故g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（1，+），因此x=1是g（x）的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，從而是最小值點(diǎn)，最小值為g（1）=1；（）=lnx+x，設(shè)h（x）=g（x）=2lnxx+，則h（x）=，當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=0，即g（x）=，當(dāng)x（0，1）（1，+）時(shí)，h（x）0，h（1）=0，因此，h（x）在（0，+）內(nèi)單調(diào)遞減，當(dāng)0x1，時(shí)，h（x）h（1）=0，即g（x），當(dāng)x1，時(shí)，h（x）h（1）=0，即g（x），（）滿足條件的x0 不存在證明如下：證法一 假設(shè)存

41、在x00，使|g（x）g（x0）|成立，即對(duì)任意x0，有 ，（*）但對(duì)上述x0，取 時(shí)，有 Inx1=g（x0），這與（*）左邊不等式矛盾，因此，不存在x00，使|g（x）g（x0）| 成立證法二 假設(shè)存在x00，使|g（x）g（x0）|成立由（）知， 的最小值為g（x）=1 又Inx，而x1 時(shí)，Inx 的值域?yàn)椋?，+），x1 時(shí)，g（x） 的值域?yàn)?，+），從而可取一個(gè)x11，使 g（x1）g（x0）+1，即g（x1）g（x0）1，故|g（x1）g（x0）|1，與假設(shè)矛盾 不存在x00，使|g（x）g（x0）|成立18（2011四川）已知函數(shù)f（x）=x+，h（x）=（）設(shè)函數(shù)F（x）=

42、18f（x）x2h（x）2，求F（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（）設(shè)aR，解關(guān)于x的方程lgf（x1）=2lgh（ax）2lgh（4x）；（）設(shè)nNn，證明：f（n）h（n）h（1）+h（2）+h（n）【解答】解：（）F（x）=18f（x）x2h（x）2=x3+12x+9（x0）所以F（x）=3x2+12=0，x=2且x（0，2）時(shí)，F(xiàn)（x）0，當(dāng)x（2，+）時(shí)，F(xiàn)（x）0所以F（x）在（0，2）上單調(diào)遞增，在（2，+）上單調(diào)遞減故x=2時(shí)，F(xiàn)（x）有極大值，且F（2）=8+24+9=25（）原方程變形為lg（x1）+2lg=2lg，當(dāng)1a4時(shí)，原方程有一解x=3，當(dāng)4a5時(shí)，原方程有兩解x=3，當(dāng)

43、a=5時(shí)，原方程有一解x=3，當(dāng)a1或a5時(shí)，原方程無(wú)解（）由已知得h（1）+h（2）+h（n）=，f（n）h（n）=，從而a1=s1=1，當(dāng)k2時(shí)，an=snsn1=，又=0即對(duì)任意的k2，有，又因?yàn)閍1=1=，所以a1+a2+an，則snh（1）+h（2）+h（n），故原不等式成立19（2010四川）設(shè)，a0且a1），g（x）是f（x）的反函數(shù)（）設(shè)關(guān)于x的方程求在區(qū)間2，6上有實(shí)數(shù)解，求t的取值范圍；（）當(dāng)a=e，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）時(shí)，證明：；（）當(dāng)0a時(shí)，試比較|與4的大小，并說(shuō)明理由【解答】解：（1）由題意，得ax=0故g（x）=，x（，1）（1，+）由得t=（x1）2（7x），x

44、2，6則t=3x2+18x15=3（x1）（x5）列表如下： x 2（2，5） 5（5，6）6 t+ t 5 遞增極大值32 遞減25 所以t最小值=5，t最大值=32所以t的取值范圍為5，32（5分）（）=ln（）=ln令u（z）=lnz2=2lnz+z，z0則u（z）=（1）20所以u(píng)（z）在（0，+）上是增函數(shù)又因?yàn)?0，所以u(píng)（）u（1）=0即ln0即（9分）（3）設(shè)a=，則p1，1f（1）=3，當(dāng)n=1時(shí)，|f（1）1|=24，當(dāng)n2時(shí)，設(shè)k2，kN*時(shí)，則f（k）=，=1+所以1f（k）1+，從而n1n1+=n+1n+1，所以nf（1）+n+1n+4，綜上所述，總有|n|420（2

45、010全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)f（x）=1ex（）證明：當(dāng)x1時(shí)，f（x）；（）設(shè)當(dāng)x0時(shí)，f（x），求a的取值范圍【解答】解：（1）當(dāng)x1時(shí)，f（x）當(dāng)且僅當(dāng)ex1+x令g（x）=exx1，則g（x）=ex1當(dāng)x0時(shí)g（x）0，g（x）在0，+）是增函數(shù)當(dāng)x0時(shí)g（x）0，g（x）在（，0是減函數(shù)于是g（x）在x=0處達(dá)到最小值，因而當(dāng)xR時(shí)，g（x）g（0）時(shí)，即ex1+x所以當(dāng)x1時(shí)，f（x）（2）由題意x0，此時(shí)f（x）0當(dāng)a0時(shí)，若x，則0，f（x）不成立；當(dāng)a0時(shí)，令h（x）=axf（x）+f（x）x，則f（x）當(dāng)且僅當(dāng)h（x）0因?yàn)閒（x）=1ex，所以h（x）=af（x）+axf（x）+

46、f（x）1=af（x）axf（x）+axf（x）（i）當(dāng)0a時(shí)，由（1）知x（x+1）f（x）h（x）af（x）axf（x）+a（x+1）f（x）f（x）=（2a1）f（x）0，h（x）在0，+）是減函數(shù)，h（x）h（0）=0，即f（x）（ii）當(dāng)a時(shí)，由（i）知xf（x）h（x）=af（x）axf（x）+axf（x）af（x）axf（x）+af（x）f（x）=（2a1ax）f（x）當(dāng)0x時(shí)，h（x）0，所以h（x）0，所以h（x）h（0）=0，即f（x）綜上，a的取值范圍是0，21（2010陜西）已知函數(shù)f（x）=，g（x）=alnx，aR，（）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）相交，且在

47、交點(diǎn)處有共同的切線，求a的值和該切線方程；（）設(shè)函數(shù)h（x）=f（x）g（x），當(dāng)h（x）存在最小值時(shí)，求其最小值（a）的解析式；（）對(duì)（）中的（a）和任意的a0，b0，證明：（）（）【解答】解：（）f（x）=，g（x）=有已知得解得：a=，x=e2兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（e2，e）切線的斜率為k=f（e2）=切線的方程為ye=（xe2）（）由條件知h（x）=alnx（x0），h（x）=，當(dāng)a0時(shí)，令h（x）=0，解得x=4a2當(dāng)0x4a2時(shí)，h（x）0，h（x）在（0，4a2）上單調(diào)遞減；當(dāng)x4a2時(shí)，h（x）0，h（x）在（4a2，+）上單調(diào)遞增x=4a2是h（x）在（0，+）上的惟一極值點(diǎn)

48、，且是極小值點(diǎn)，從而也是h（x）的最小值點(diǎn)最小值（a）=h（4a2）=2aaln（4a2）=2a1ln （2a）當(dāng)a0時(shí)，h（x）=0，h（x）在（0，+）上單調(diào)遞增，無(wú)最小值故h（x）的最小值（a）的解析式為（a）=2a1ln （2a）（a0）（）證明：由（）知（a）=2ln2a對(duì)任意的a0，b0=ln4ab，（）=2ln（2）=ln（a+b）2ln4ab，（）=2ln（2）=2ln=ln4ab，故由得（）（）22（2009全國(guó)卷）設(shè)函數(shù)f（x）=x2+aln（1+x）有兩個(gè)極值點(diǎn)x1、x2，且x1x2，（）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調(diào)性；（）證明：f（x2）【解答】解：（I）令g（x）=2x2+2x+a，其對(duì)稱軸為由題意知x1、x2是方程g（x）=0的兩個(gè)均大于1的不相等的實(shí)根，其充要條件為，得（1）當(dāng)x（1，