高二數(shù)學(xué)直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

1、.課 題：94直線和平面垂直(共4課時(shí))第一課時(shí)：直線和平面垂直的判定定理第二課時(shí)：直線和平面垂直的性質(zhì)定理第三課時(shí)：直線與平面所成角第四課時(shí)：三垂線定理1、直線和平面垂直的定義教學(xué)目的：(1)能準(zhǔn)確敘述直線和平面垂直的定義，并能畫圖予以表示；(2)能準(zhǔn)確說出直線與平面垂直的判定定理的條件和結(jié)論，并用圖形、符號(hào)語言予以表示，會(huì)用判定定理解決有關(guān)問題；(3)通過判定定理的證明，初步掌握將空間問題轉(zhuǎn)化維平面問題的方法。內(nèi)容分析：1、 直線與平面垂直是直線與直線垂直的延伸，是今后研究三垂線定理、平面與平面垂直以及有關(guān)距離、空間角、多面體、旋轉(zhuǎn)體的基礎(chǔ)。本節(jié)的學(xué)習(xí)可完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，并對(duì)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生觀察

2、、發(fā)現(xiàn)的能力和空間想象能力，起著十分重要的作用。2、 本課的重點(diǎn)是：直線與平面垂直的定義及判定定理。由于本節(jié)的判定定理的證明有一定的難度：定理的論證層次多，構(gòu)圖復(fù)雜，輔助線多，運(yùn)用平面幾何知識(shí)多，所以本節(jié)的難點(diǎn)是判定定理的證明。突破難點(diǎn)的方法是充分運(yùn)用實(shí)物模型演示，以具體形象支持邏輯思維。判定定理的證明深刻地體現(xiàn)了空間問題向平面問題的轉(zhuǎn)化。學(xué)生對(duì)定理的理解要突出“兩條”、“相交”、“垂直”這三個(gè)關(guān)鍵詞。3、 例1 安排在判定定理之前講述是恰當(dāng)?shù)?，既是?duì)定義的應(yīng)用，又是對(duì)判定定理證明的鋪墊。例2的設(shè)置是突出定義和判定定理的重要作用，再次說明直線與平面垂直和直線與直線垂直是可以互相轉(zhuǎn)化的。2006

3、高考題：1、（2006重慶）若是平面外一點(diǎn)，則下列命題正確的是（A）過只能作一條直線與平面相交 （B）過可作無數(shù)條直線與平面垂直（C）過只能作一條直線與平面平行 （D）過可作無數(shù)條直線與平面平行2、（2006上海理）如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么，稱此直線與平面構(gòu)成一個(gè)“正交線面對(duì)”在一個(gè)正方體中，由兩個(gè)頂點(diǎn)確定的直線與含有四個(gè)頂點(diǎn)的平面構(gòu)成的“正交線面對(duì)”的個(gè)數(shù)是 3、（2006廣東）給出以下四個(gè)命題：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面。如果兩條直線都平行于一個(gè)平面，

4、那么這兩條直線互相平行。如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。其中真命題的個(gè)數(shù)是A.4B.3C.2D.1問1：如果把直立的人當(dāng)直線，與地面上所有直線有什么關(guān)系？問2：如果把直立的人當(dāng)直線，直立的人與地面上有什么關(guān)系？問3：如何定義直線與平面垂直？如何用符號(hào)表示直線與平面垂直？定義：如果一條直線和一個(gè)平面相交，并且和這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個(gè)平面互相垂直。其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面，交點(diǎn)叫做垂足。直線與平面垂直簡(jiǎn)稱線面垂直，記作：a。問4：如何畫直線與平面垂直？畫法：畫直線和平面垂直時(shí)，通常要把直線畫成和表示平面的平行四邊形的一

5、邊垂直問5：直線與平面垂直定義中“任何”表示所有嗎？“任何”改為“無數(shù)條”可以嗎？改為“一條”、“兩條”呢？問6： a等價(jià)于對(duì)任意的直線，都有a嗎？利用定義，我們得到了判定線面垂直的最基本方法，同時(shí)也得到了線面垂直的最基本的性質(zhì)2、直線與平面垂直的判定定理2006高考題：1、（2006福建）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，（I）求證：平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的大小；（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。2、（2006重慶）如圖，在四棱錐PABCD中，PA底面ABCD,DAB為直角，ABCD,AD=CD=24B,E、F分別為PC、CD的中點(diǎn).（）試證：C

6、D平面BEF;（）設(shè)PAkAB,且二面角E-BD-C的平面角大于,求k的取值范圍.3、（2006浙江）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).()求證：PBDM; ()求BD與平面ADMN所成的角。()求CD與平面ADMN所成的角4、（2006江蘇）在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如圖1）。將AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，連結(jié)A1B、A1P（如圖2）（）求證：A1E平面BEP；（）求直線A1E與

7、平面A1BP所成角的大小；（）求二面角BA1PF的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）圖1圖25、（2006北京理）如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐中，平面，且，點(diǎn)是的中點(diǎn).（）求證：；直線與平面垂直的判定定理的引入：?jiǎn)?：若ab，ac，則bc嗎？將c改為平面，結(jié)論還成立嗎？即：若ab，a，則b嗎？例1 求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面已知：ab,a求證：b證明：設(shè)是內(nèi)的任意一條直線本題的作用：要證b，沒有辦法？而已知ab，只需證a即可，在證題時(shí)起轉(zhuǎn)移作用，但具體要證a還需其他方法問2：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的所有直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面嗎？問3：如果

8、一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的一條直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面嗎？問4：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面嗎？問5：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面嗎？問6：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面嗎？直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面即 若，B，則已知：、是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線與的交點(diǎn)為B，且，求證：分析：在內(nèi)平移，使它們都通過點(diǎn)B，這時(shí)，仍保持和垂直過點(diǎn)B作任一條不與，重合的直線g，如果我們能根據(jù)且推出g，那么就證明了直線和

9、過點(diǎn)B的所有直線都垂直，即垂直為此，我們?cè)谏献渣c(diǎn)B起于平面的兩側(cè)分別截取BA=BA，于是，都是線段AA的垂直平分線，它們上面的點(diǎn)到A、A的距離相等如果我們能證明g上的點(diǎn)到A、A的距離也相等，那么g也是AA的垂直平分線，于是g就垂直于在g上任取一點(diǎn)E，過點(diǎn)E在內(nèi)作不通過點(diǎn)B的直線，分別與，相交于點(diǎn)C、D，容易證明ACDACD，進(jìn)而又可證明ACEACE于是EA=EA，g一般地：證明：如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個(gè)平面已知：是平面內(nèi)的兩條相交直線，直線與的交點(diǎn)為，且，求證：證明：過點(diǎn)作 ，過任作直線，在上于平面兩側(cè)分別截取，都是的垂直平分線，在上任取點(diǎn)，過在平面內(nèi)作

10、不通過的直線分別與相交于點(diǎn)，又，問7：豎立旗桿時(shí)，只需什么條件，就能保證旗桿垂直于地面？（只需讓旗桿與地面內(nèi)的兩條相交直線都垂直）講解范例：例2 過一點(diǎn)和已知平面垂直的直線只有一條已知：平面和一點(diǎn)P求證：過點(diǎn)P與垂直的直線只有一條證明：不論在平面內(nèi)或外，設(shè)直線，垂足為（或）若另一直線，設(shè)確定的平面為，且又在平面內(nèi)，與平面幾何中的定理矛盾所以過點(diǎn)與垂直的直線只有一條例3 有一根旗桿高，它的頂端掛一條長(zhǎng)的繩子，拉緊繩子并把它的下端放在地面上的兩點(diǎn)（和旗桿腳不在同一直線上），如果這兩點(diǎn)都和旗桿腳的距離是，那么旗桿就和地面垂直，為什么？解：在和中，即又不共線平面，即旗桿和地面垂直；例4 已知直線平面，

11、垂足為A，直線AP求證：AP在內(nèi)證明：設(shè)AP與確定的平面為如果AP不在內(nèi)，則可設(shè)與相交于直線AM，AM又AP，于是在平面內(nèi)過點(diǎn)A有兩條直線垂直于，這是不可能的所以AP一定在內(nèi)例5 求證:經(jīng)過平面外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和已知平面平行已知:求證:過點(diǎn)有且只有一個(gè)平面證明:過平面外一點(diǎn)作直線,再過點(diǎn)作平面,使,則.因?yàn)檫^點(diǎn)且與平行的平面必與的垂線也垂直,而過點(diǎn)與 垂直的平面是唯一的,所以過點(diǎn)且與平行的平面只有一個(gè).指出:由例2可得,.例6 已知：空間四邊形，求證：證明：取中點(diǎn)，連結(jié)，平面，又平面，例7在正方體中，分別是的中點(diǎn)，求證平面結(jié)論：正方體中，（1）什么線與各外面垂直？ （2）什么線與各對(duì)角面

12、垂直？ （3）什么線與各銳角三角形所在平面垂直？3、直線和平面垂直的性質(zhì)定理教學(xué)目的：（1）掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理，它是判斷空間直線和直線平行的重要方法之一；（2）掌握證明直線與平面垂直的性質(zhì)定理的證明方法；（3）認(rèn)識(shí)和理解什么是點(diǎn)到平面的距離，什么是直線到平面的距離。內(nèi)容分析：1、 在直線和平面的位置關(guān)系中，垂直關(guān)系和平性關(guān)系一樣，不僅應(yīng)用較多、較廣，而且是學(xué)習(xí)平面與平面位置關(guān)系的基礎(chǔ)。2、 本課重點(diǎn)是直線和平面垂直的性質(zhì)定理；難點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生把直線與直線的關(guān)系問題有針對(duì)性的、有目的性的轉(zhuǎn)化為直線與平面的關(guān)系問題。3、 為了證明直線與平面垂直的性質(zhì)定理，教師可用多媒體演示實(shí)例。同時(shí)歸納小

13、結(jié)出在解決立體幾何問題時(shí)“作 證 算”。4、 課本例2的證明，實(shí)際上是指立體幾何中直線上的點(diǎn)到平面距離問題轉(zhuǎn)化為平面幾何中兩平行直線的距離問題。2006高考題：1、（2006天津）平行四邊形的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，已知其中有兩個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個(gè)頂點(diǎn)到平面的距離可能是：1； 2； 3； 4； 以上結(jié)論正確的為_。（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）2、（2006安徽）多面體上，位于同一條棱兩端的頂點(diǎn)稱為相鄰的，如圖，正方體的一個(gè)頂點(diǎn)A在平面內(nèi)，其余頂點(diǎn)在的同側(cè)，正方體上與頂點(diǎn)A相鄰的三個(gè)頂點(diǎn)到的距離分別為1，2和4，P是正方體的其余四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)，則P到平面的距

14、離可能是： 3； 4； 5； 6； 7 以上結(jié)論正確的為_。（寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）3、（2006江西）如圖，在三棱錐ABCD中，側(cè)面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜邊，且AD，BDCD1，另一個(gè)側(cè)面是正三角形（1） 求證：ADBC（2） 求二面角BACD的大小（3） 在直線AC上是否存在一點(diǎn)E，使ED與面BCD成30角？若存在，確定E的位置；若不存在，說明理由。4、（2006全國(guó)）如圖，、是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段。點(diǎn)A、B在上，C在上，。（）證明；（）若，求與平面ABC所成角的余弦值。直線和平面垂直的性質(zhì)定理的引入:問1：垂直于同一條直線的兩條直線是否平行

15、？為什么？問2：平行于同一條直線的兩條直線是否平行？為什么？問3：平行于同一平面的兩條直線是否平行？為什么？問4：垂直于同一平面的兩條直線是否平行？為什么？問5：若，則嗎？問6：若，則嗎？問7：?jiǎn)?的逆命題成立嗎？即 ，則嗎？直線和平面垂直的性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那麼這兩條直線平行。 已知：如圖， 求證：證明：（反證法）假定不平行于，則與相交或異面；（1）若與相交，設(shè)， 過點(diǎn)有兩條直線與平面垂直，此與“過一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面”矛盾，與不相交；（2）若與異面，設(shè)，過作， 又且，過點(diǎn)有直線和垂直于與過一點(diǎn)有且只有一條直線一已知平面垂直矛盾，與不異面，綜上假設(shè)不成立，

16、 二、講解范例：例1 已知直線平面，垂足為，直線，求證：在平面內(nèi)證明：設(shè)與確定的平面為，如果不在內(nèi)，則可設(shè)，又，于是在平面內(nèi)過點(diǎn)有兩條直線垂直于，這與過一點(diǎn)有且只有一條直線一已知平面垂直矛盾，所以一定在平面內(nèi)例2 已知一條直線和一個(gè)平面平行，求證直線上各點(diǎn)到平面的距離相等證明：過直線上任意兩點(diǎn)A、B分別引平面的垂線,垂足分別為 設(shè)經(jīng)過直線的平面為，/ 四邊形為平行四邊形由A、B是直線上任意的兩點(diǎn)，可知直線上各點(diǎn)到這個(gè)平面距離相等問8：如何定義點(diǎn)到平面的距離？直線和平面的距離？點(diǎn)到平面的距離的定義：從平面外一點(diǎn)引一個(gè)平面的垂線，這個(gè)點(diǎn)和垂足間的距離叫做這個(gè)點(diǎn)到這個(gè)平面的距離直線和平面的距離的定義

17、：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離例3已知：a，b是兩條異面直線，aa，bb，ab=，AB是a，b公垂線，交a于A，交b于B求證：AB證明方法一：（利用線面垂直的性質(zhì)定理）過A作b，則a，可確定一平面AB是異面垂線的公垂線，即ABa，ABbAB ABa，b，ab=a，b AB證明方法二：（利用同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩條直線互相平行）AB是異面直線a，b的公垂線，過AB與a作平面，a=mABbamnlgaa am又aAB，AB mAB又過AB作平面g，g=n同理：nAB mn，于是有m又ab= m AB例4在棱長(zhǎng)為a正方體中，求點(diǎn)A到下列平面的

18、距離：（1）平面A1B1C1D1 （2）平面A1BCD1 （3）平面A1BD（4）平面B1CD1 結(jié)論與規(guī)律：若，則上各點(diǎn)到的距離等于到的距離。1、與空間四邊形四頂點(diǎn)距離相等的平面有 個(gè)。與正方體八頂點(diǎn)距離相等的平面有 個(gè)。4、斜線在平面內(nèi)的射影教學(xué)目的：（1）能區(qū)分垂線段、斜線段、斜線等概念，明確點(diǎn)在平面內(nèi)的射影，斜線及斜線段在平面內(nèi)的射影的概念，并掌握本節(jié)定理；（2）掌握并會(huì)作直線與平面所成角，并會(huì)進(jìn)行計(jì)算。內(nèi)容分析：1、 本節(jié)課的特點(diǎn)是概念多，但除直線與平面所成角外，大都比較淺顯?？砂创咕€和斜線兩個(gè)序列把它們串起來并進(jìn)行比較。2、 本節(jié)重點(diǎn)是斜線定理，直線與平面所成角。難點(diǎn)是對(duì)“斜線和平

19、面所成角是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)直線所成一切角中最小的角”的理解和證明。3、 轉(zhuǎn)化思想是一種重要的思想方法，立體幾何中的降維就是這種思想的具體體現(xiàn)。直線與平面所成的角直線與直線所成的角，就是將立體角轉(zhuǎn)化為平面角來算。4、 用正方體作為載體，來說明垂線、斜線有關(guān)概念、定理及直線與平面所成角，比較直觀，易于得出結(jié)論，有利于學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)。2006高考題：1、（2006四川理）在三棱錐O-ABC中，三條棱OA、OB、OC兩兩互相垂直，且OAOBOC,M是AB的中點(diǎn)，則OM與平面ABC所成角的大小是_（用反三角函數(shù)表示）。2、（2006浙江）如圖，正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為1，平面過棱AB，且CD

20、，則正四面體上的所有點(diǎn)在平面內(nèi)的射影構(gòu)成的圖形面積是.3、（2006福建）已知正方形.、分別是、的中點(diǎn),將沿折起,如圖所示,記二面角的大小為.若為正三角形,試判斷點(diǎn)在平面內(nèi)的射影是否在直線上,證明你的結(jié)論,并求角的余弦值. AACBDEFBCDEF教學(xué)重點(diǎn)：線面夾角的概念及利用概念分步求夾角教學(xué)難點(diǎn)：直線和平面所成角的概念及的應(yīng)用知識(shí)：?jiǎn)?：（1）平面幾何中，點(diǎn)、線段在直線上射影的概念及性質(zhì)？（2）在平面內(nèi)，從直線外一點(diǎn)向這個(gè)直線所引的垂線段和斜線段中。射影相等兩條斜線段 ；射影較長(zhǎng)的斜線段也較 。相等的斜線段射影 ，較長(zhǎng)的斜線段射影較 垂線段比任何一條斜線段都 。問2：什么叫點(diǎn)在平面內(nèi)的射影

21、？什么叫平面的垂線、垂線段？什么叫平面的斜線、斜線段？什么叫斜線在平面內(nèi)的射影？什么叫斜線段在平面內(nèi)的射影？如何畫呢？垂線 自一點(diǎn)向平面引垂線,垂足叫這點(diǎn)在這個(gè)平面上的射影. 這個(gè)點(diǎn)和垂足間的線段叫做這點(diǎn)到這個(gè)平面的垂線段. 斜線 一條直線和一個(gè)平面相交，但不和這個(gè)平面垂直，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線。斜線和平面的交點(diǎn)叫斜足；斜線上一點(diǎn)與斜足間的線段叫這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段。射影 過斜線上斜足外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影。垂足和斜足間線段叫這點(diǎn)到這個(gè)平面的斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的射影。直線與平面平行，直線在平面由射影是一條直線。直線與平面垂直射影是點(diǎn)。斜線任一

22、點(diǎn)在平面內(nèi)的射影一定在斜線的射影上。問3：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線中射影相交兩條斜線 ；射影較長(zhǎng)的斜線段也較 。相等的斜線段射影 ，較長(zhǎng)的斜線段射影 垂線段比任何一條斜線段 。OB=OCAB=AC OBOCABACAB=ACOB=OC ABACOBOCOAAB，OAAC這就是“射影長(zhǎng)相等定理”問4：在問3中，去掉“從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引”，結(jié)論還成立嗎？典型例題：例1、正方體中，指出：（1） 點(diǎn)D1在平面AC上的射影；（2） 點(diǎn)D1到面AC上的垂線段；（3）直線D1A、D1B、D1C是平面AC的斜線嗎？指出斜足及相應(yīng)的斜線段，并指出斜線及斜線段在這個(gè)平面內(nèi)的射影；（4）觀察

23、：斜線段D1A、D1B、D1C及相應(yīng)的射影，誰長(zhǎng)？例2、正方體中，（1） 線段AA1在面AC、面B1C及面DC1的射影分別為 、 、 ；（2）線段AD1在面AC、面B1C及面DC1的射影分別為 、 、 ；（3）線段AC1在面AC、面B1C及面DC1的射影分別為 、 、 .例3 兩條異面直線在同一平面內(nèi)的射影可能是什么？結(jié)論：1、 若，O為垂足，則O為三角形ABC的外心。5、直線和平面所成角2006高考題：1、（2006福建）對(duì)于平面和共面的直線、下列命題中真命題是（A）若則（B）若則（C）若則（D）若、與所成的角相等，則2、（2006福建）給出下列四個(gè)命題: 垂直于同一直線的兩條直線互相平行.

24、垂直于同一平面的兩個(gè)平面互相平行.若直線與同一平面所成的角相等,則互相平行.若直線是異面直線,則與都相交的兩條直線是異面直線.其中假命題的個(gè)數(shù)是(A)1 (B)2 (C)3 (D)44（2006福建） 若一條直線與一個(gè)正四棱柱各個(gè)面所成的角都為,則=_5、（2006上海文）在直三棱柱中，. （2）若與平面S所成角為，求三棱錐的體積。6、（2006浙江）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為直角梯形,ADBC,BAD=90,PA底面ABCD，且PAAD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).()求證：PBDM; ()求BD與平面ADMN所成的角。()求CD與平面ADMN所成的角問1：我們以前

25、所討論的角都是直線間的角。由于實(shí)際需要，人們還要研究直線與平面所成的角。例如，發(fā)射炮彈時(shí)，要考慮泡筒和地平面所成的角。那么直線與平面所成的角如何定義？夾角又是如何來求呢？問2：什么是異面直線所成的角？這個(gè)角是否具備惟一性和確定性？如何求異面直線所成的角？直線與平面所成的角能否也可轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的平面角來求？問3：斜線在平面內(nèi)的射影有幾條？經(jīng)過斜足且在平面內(nèi)的直線有多少條？為使斜線與平面所成的角有惟一性和確定性，應(yīng)如何定義斜線與平面所成的角？定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角叫做這條斜線和這個(gè)平面所成的角。問4：當(dāng)直線垂直于平面，直線與平面所成的角如何定義？當(dāng)直線平行于平面

26、或在平面內(nèi)時(shí)呢？一直線垂直于平面，所成的角是直角一直線平行于平面或在平面內(nèi)，所成角為0角問5：直線和平面所成角范圍是是么？（ 0，）問6：若，則、與平面所成角相等嗎？問7：斜線與平面所成角與斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的其它直線所成的角，有什么關(guān)系？定理：斜線和平面所成角是這條斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的直線所成的一切角中最小的角證明：設(shè)平面的一條斜線在內(nèi)的射影為，角是與所成的角直線OD是平面內(nèi)與不同的任意一條直線，過點(diǎn)上的點(diǎn)A引AC垂直于OD，垂足為C因?yàn)锳BAC，所以，即,因此問8：斜線和平面內(nèi)經(jīng)過斜足的所有直線重，所成角最大值是多少？最小值呢？問9：已知平面a的斜線a與a內(nèi)一直線b相交成角，且a與a相

27、交成 j1角，a在a上的射影c與b相交成 j2角，則一定有？用幾何法研究：在平面a的斜線a上取一點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作直線c、b的垂線PO、PB，垂足為O、B連接OB，則OBb.在直角AOP中，.在直角ABC中，.在直角ABP中，.所以 所以成立則同樣可以得到：平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影所成角，是這條斜線和這個(gè)平面內(nèi)的任一條直線所成角中最小的角；典型例題例1、正方體中，（1）12條棱所在直線與平面ABCD所成角的大小可能是 ；（2）各面的對(duì)角線所在直線與平面ABCD所成角的大小可能是 ；（3）直線AC1與平面ABCD 所成角的大小是 ；（4）12條棱所在直線與平面ABC1D1所成角的大小可能是

28、；（5）12條面對(duì)角線所在直線與平面ABC1D1所成角的大小可能是 。例2、一直線與正方體的十二條棱所在直線成等角，則 ；一平面與正方體的十二條棱所在直線成等角，則 。結(jié)論：1、由一點(diǎn)出發(fā)的三條射線中，如果有兩個(gè)銳角所在平面互相垂直，則這兩個(gè)銳角的余弦積等于第三個(gè)角的余弦，且第三個(gè)角大于這兩個(gè)銳角。2、什么直線與正方體的十二條棱所在直線所成角都相等？什么平面與正方體的十二條棱所在直線所成角都相等？3、若P為ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA=PB=PC點(diǎn)P在ABC所在平面內(nèi)的射影是ABC的外心.或：若P為ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA、PB、PC 與平面ABC所成角相等點(diǎn)P在ABC所在平面內(nèi)的射影是A

29、BC的外心.補(bǔ)充：應(yīng)用求角例1 如圖，已知是平面的一條斜線，為斜足，為垂足，為內(nèi)的一條直線，求斜線和平面所成角解：，由斜線和平面所成角的定義可知，為和所成角， 又，即斜線和平面所成角為例2如圖，在正方體中，求面對(duì)角線與對(duì)角面所成的角解法一：連結(jié)與交于，連結(jié)，平面，是與對(duì)角面所成的角，在中，解法二：由法一得是與對(duì)角面所成的角，又，說明：求直線與平面所成角的一般方法是先找斜線在平面中的射影，后求斜線與其射影的夾角另外，在條件允許的情況下，用公式求線面角顯得更加方便例3已知空間四邊形的各邊及對(duì)角線相等，求與平面所成角的余弦值 解：過作平面于點(diǎn)，連接，是正三角形的外心，設(shè)四面體的邊長(zhǎng)為，則，即為與平面

30、所成角，所以，與平面所成角的余弦值為例4 如圖，已知APBP，PAPC，ABP=ACP=60，PB=PC=BC，D是BC中點(diǎn)，求AD與平面PBC所成角的余弦值. 解：APBP，PAPC，APPBC連PD，則PD就是AD在平面PBC上的射影PDA就是AD與平面PBC所成角又ABP=ACP=60，PB=PC=BC，D是BC中點(diǎn)，PD=, PA=BC AD=AD與平面PBC所成角的余弦值為小結(jié)：求角度問題解題的一般步驟是：（1）找出這個(gè)角；（2）證明該角符合題意；（3）作出這個(gè)角所在的三角形，解三角形，求出角；求角度問題不論哪種情況都?xì)w結(jié)到兩條直線所成角問題，即在線線成角中找到答案5、三垂線定理教學(xué)

31、目的：（1）了解三垂線定理及其逆定理的內(nèi)容，會(huì)用這個(gè)定理及其逆定理解決問題；（2）培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想和論證能力。內(nèi)容分析：1、“三垂線定理”是判斷空間兩直線垂直的一種方法，它在直線與直線、直線與平面垂直中起著紐帶作用。通常立體幾何問題的處理，大都是將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題來解決，唯有三垂線定理可在不同平面的情況下判斷直線與直線垂直。它為今后研究二面角的平面角、多面體、旋轉(zhuǎn)體等奠定了基礎(chǔ)，在本章教科書的邏輯結(jié)構(gòu)體系中，起著承上啟下的作用。2、 教學(xué)重點(diǎn)：準(zhǔn)確了解三垂線定理及其擬定立的內(nèi)容和本質(zhì)；教學(xué)難點(diǎn)：準(zhǔn)確把握“空間三線”垂直關(guān)系實(shí)質(zhì)及在非水平放置的平面上運(yùn)用三垂線定理。例1的設(shè)置做到了循序漸

32、進(jìn)，有利于突破難點(diǎn)。3、 定理的教學(xué)采用實(shí)驗(yàn)和引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)的方法，通過“引申設(shè)疑，實(shí)驗(yàn)猜想，論證推廣”等環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維、直覺思維能力和探究意識(shí)。4、 本節(jié)定理的證明和例題的證明，符號(hào)化的程度都較高。教學(xué)中應(yīng)積極使用符號(hào)語言，養(yǎng)成學(xué)生使用數(shù)學(xué)符號(hào)的良好習(xí)慣。2006高考題：1、（2006重慶）對(duì)于任意的直線l與平同a,在平面a內(nèi)必有直線m,使m與l(A)平行（B）相交(C)垂直 (D)互為異面直線2、（2006湖北）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是側(cè)棱上的一點(diǎn)，。（）、試確定，使直線與平面所成角的正切值為；（）、在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對(duì)任意的，在平面上的射影垂直于，并證明尼的結(jié)論。問1

33、：斜線與平面內(nèi)經(jīng)過斜足的所有直線中，所成角最大是多少？問2：平面的一條斜線在平面內(nèi)是否一定有垂線？如果有，有幾條？如何確定呢？問3：平面內(nèi)的一條直線滿足什么條件一定和斜線垂直呢？ 三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直問4：如何用符號(hào)表示三垂線定理？ 問5：如何證明三垂線定理？證明：（略）問6：定理的實(shí)質(zhì)是什么？判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系問7：（1）如何利用三垂線定理證明平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直？（2）如何利用三垂線定理證明兩條異面直線垂直？即應(yīng)用三垂線定理的一般思路是什么？應(yīng)用定理的一般思路：確定平面，抓

34、住垂線，找到射影，證明垂直。例題：例1、正方體中，直線AC1與直線BD垂直，為什么？例2、正方體中，P為平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，怎么過P畫一條直線和直線CE垂直。例3、正方體中，求證：（1）；（2）；（3）.問8：（1）若，試在上找一點(diǎn)E，使。（2）若在平面內(nèi)，點(diǎn)，垂足分別為E、F、O，試問嗎？（學(xué)生自做）例4 求證：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線所在直線上。（證明詳見課本）問9：若在平面內(nèi)，點(diǎn)，垂足為O，試問嗎？問10：三垂線定理的逆命題是什么？三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式： 問11：三垂線指那三條線？其實(shí)質(zhì)是什么？三垂線指PA，PO，AO都垂直內(nèi)的直線a。 其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理 問12：三垂線定理及其逆定理有何應(yīng)用？當(dāng)平面不是水平放置時(shí)，結(jié)論是否仍然成立？定理證明異面直線垂直，逆定理證明同一平面內(nèi)兩直線垂直。當(dāng)平面不是水平放置時(shí)，結(jié)論仍然成立。講解范例：例1 如圖，道路兩旁有一條河，河對(duì)岸有電塔，高，只有量角器和皮尺作測(cè)量工具，能否測(cè)出電塔頂與道路的距離？解：在道路邊取點(diǎn)，使與道路邊所成的水平角等于，再在道路