2020屆高三數(shù)學(xué)精準(zhǔn)培優(yōu)專練二十幾何概型(理科)學(xué)生版

1、2020屆高三 培優(yōu)點(diǎn)二十幾何概型 、長(zhǎng)度類幾何概型 y x2 ax 4無(wú)零點(diǎn)的概率是( 例1若a是從區(qū)間0,20中任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，則函數(shù) C. 0.1D 0.4 A二、面積類幾何概型 例2: (1 )圖形類幾何概型 例題2-1 :如圖，在正方形圍欄內(nèi)均勻撒米粒，一只小雞在其中隨意啄食，此刻小雞正在正方形的內(nèi)切圓 中的概率是() C.- (2)線性規(guī)劃類幾何概型 例2-2:小明一家訂購(gòu)的晚報(bào)會(huì)在下午 5:30 6:30之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地被送到, 小明一家人在下午 6:00 7:00之間的任何一個(gè)時(shí)間隨機(jī)地開(kāi)始晚餐. 你認(rèn)為晚報(bào)在晚餐開(kāi)始之前被送到和晚餐開(kāi)始之后被送到哪一種可能性更大 晚報(bào)

2、在晚餐開(kāi)始之前被送到的概率是多少? （3 ）利用積分求面積 例2-3:如圖，矩形 OABC的四個(gè)頂點(diǎn)依次為 0（0,0），A（n，0），B（n，1），C（0,1）， 記線段OC、CB以及y sin x（0 任意投一點(diǎn) M，則點(diǎn)M落在區(qū)域 若向矩形OABC內(nèi) x n的圖象圍成的區(qū)域（圖中陰影部分）為 內(nèi)的概率為（） 2 c. n 三、體積類幾何概型 EF , PE EG , P EFG內(nèi)的概率 例3 :已知P , E , G , F都在球面C上，且P在厶EFG所在平面外，PE PE 2GF 2EG 4 , EGF 120，在球面C內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在三棱錐 對(duì)點(diǎn)增分集訓(xùn) 、選擇題 1已知地鐵列

3、車每10分鐘一班，在車站停1分鐘則乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率是（） 1111 A B C D 109118 ABCD的邊長(zhǎng)為4，小正 n個(gè)點(diǎn)，有m個(gè)點(diǎn)落在中 2下圖是2002年8月中國(guó)成功主辦的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，是我們古代數(shù)學(xué)家趙爽為證明勾股定理而 繪制的，在我國(guó)最早的數(shù)學(xué)著作周髀算經(jīng)中有詳細(xì)的記載若圖中大正方形 方形的邊長(zhǎng)為2，現(xiàn)作出小正方形的內(nèi)切圓，向大正方形所在區(qū)域模擬隨機(jī)投擲 間的圓內(nèi)，由此可估計(jì) n的所似值為 16m A n 8m B n 3 已知橢圓 2 y b2 1(a b c. n 2m D n 0）的面積公式為Snab，某同學(xué)通過(guò)下面的隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)估計(jì)n的值過(guò) 2 x

4、橢圓E : 12 3m n V3n B 3m D 1的左右焦點(diǎn)F1 , F2分別作與x軸垂直的直線與橢圓 E交于A , B , C , D四點(diǎn)，隨機(jī) 在橢圓E內(nèi)撒m粒豆子，設(shè)落入四邊形 ABCD內(nèi)的豆子數(shù)為n，則圓周率n的值約為（ 40秒若一名行人來(lái)到該路口遇到 4某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為 紅燈，則至少需要等待 15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為（) 7 533 A .B .C.D . 108810 5 .分別以正方形 ABCD的四條邊為直徑畫半圓， 重疊部分如圖中陰影區(qū)域所示，若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一 點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率為（） AB 4 n n 2 4 n n

5、 2 A . B. C . D . 2 2 4 4 6 . 2路公共汽車每 5分鐘發(fā)車一次， 小明到乘車點(diǎn)的時(shí)刻是隨機(jī)的， 則他候車時(shí)間不超過(guò)兩分鐘的概率 是 ) 3 B.- 5 從區(qū)間1,8上任意選取一個(gè)實(shí)數(shù) m，則雙曲線x2 2 y m 1的離心率大于2的概率為（ 4 - 7 C. 在面積為S的 ABC內(nèi)任選一點(diǎn)P，則隨機(jī)事件 S1 PBC的面積小于上”的概率為 ； 3 3 從寫有0,1,2丄,9的十張卡片中，有放回地每次抽一張，連抽兩次，則兩張卡片上的數(shù)字各不相同的 9 概率是 . 10 其中正確說(shuō)法的序號(hào)有 12 .已知直線I過(guò)點(diǎn)(1,0) ,l 與圓 C :(X 1)2 y2 3相交

6、于 A , B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)| AB | 2的概率 三、解答題 13設(shè)關(guān)于X的一元二次方程 2 2 x ax b 0 . (1 )若 a 是從 0, 1, 2, 3, 4五個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù), b是從0, 1, 2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方 程有實(shí)根的概率； (2)若a是從區(qū)間0, 4上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間0, 2上任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率. 14.已知有一個(gè)三邊長(zhǎng)分別為3,4,5的三角形.求下面兩只螞蟻與三角形三頂點(diǎn)的距離均超過(guò) (1) 一只螞蟻在三角形的邊上爬行； (2) 一只螞蟻在三角形所在區(qū)域內(nèi)部爬行. 1的概率. 15.已知圓 C: x2 y212，直線 I :4x

7、 3y 25 . (1 )圓C的圓心到直線I的距離為多少？ (2)圓C上任意一點(diǎn) A到直線I的距離小于2的概率為多少? 16某射擊運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行射擊訓(xùn)練，前三次射擊在靶上的著彈點(diǎn)A、B、C剛好是邊長(zhǎng)為3 cm的等邊三角 形的三個(gè)頂點(diǎn). （1） 第四次射擊時(shí)，該運(yùn)動(dòng)員瞄準(zhǔn) ABC區(qū)域射擊（不會(huì)打到 ABC外），則此次射擊的著彈點(diǎn)距 A、 B、C的距離都超過(guò)1cm的概率為多少？（彈孔大小忽略不計(jì)） （2） 該運(yùn)動(dòng)員前三次射擊的成績(jī)（環(huán)數(shù)）都在區(qū)間7.5,8.5）內(nèi)，調(diào)整一下后，又連打三槍，其成績(jī)（環(huán) a和b ）進(jìn)行技術(shù)分 數(shù)）都在區(qū)間9.5,10.5）內(nèi).現(xiàn)從這6次射擊成績(jī)中隨機(jī)抽取兩次射擊的成績(jī)（記

8、為 析.求事件“a b| 1 ”的概率. 培優(yōu)點(diǎn)二十幾何概型答案 例1:【答案】B 2 2 【解析】方程x ax 4 0無(wú)實(shí)解，則 a 16 0，即(a 4)(a 4)0 又a 0,20 , 0 a 4，其構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為 4 , 從區(qū)間0,20中任取一個(gè)實(shí)數(shù)a構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為20 , 24 則方程x2 ax 40無(wú)實(shí)解的概率是0.2 故選B. 20 例2: (1)【答案】B 【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則圓的半徑為a , 2 由幾何概型的概率公式得 P，故答案為B 2a 2a 4 (2)【答案】見(jiàn)解析；7 8 【解析】 建立如圖所示的坐標(biāo)系. 圖中直線x 6 , x 7 , y 5.5,

9、y 6.5圍成一個(gè)正方形區(qū)域 G , 該試驗(yàn)的所有結(jié)果與區(qū)域 G內(nèi)的點(diǎn)(x, y)對(duì)應(yīng)， 由題意知，每次結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相同的，是幾何概型. 作射線y x(x 0) 晚報(bào)在晚餐前送達(dá)即 y x, 因此圖中陰影部分表示事件A： “晚報(bào)在晚餐前送達(dá)”. 而G中空白部分則表示事件 B: “晚報(bào)在晚餐開(kāi)始后送到”. 由圖知事件 A發(fā)生的可能性大. 易求G的面積為1,而g的面積為-，由幾何概型的概率公式可得P(A)-. 8 8 (3)【答案】D 【解析】陰影部分的面積是 2n (1 sin x)dx (x cosx)磴 0 nn 21，矩形的面積是21 1 點(diǎn)M落在區(qū)域 內(nèi)的概率2一 冗 2 例3:【

10、答案】 6 32 n 【解析】如圖，在三角形 EGF中，由已知可得EG GF 2, EGF 120，可得 EF 2 3 , 2J3 設(shè)三角形EFG的外接圓的半徑為r，由2r，可得r 2 . si n120 1 再設(shè) EGF的外心為G1，過(guò)G1作底面EGF的垂線G1O，且使G1OPE 2，連接OE , 2 則2.2為三棱錐P EFG的外接球的半徑, 則球的體積為V 4 n(2習(xí) n, Vp egf 3 則該點(diǎn)落在三棱錐 EFG內(nèi)的概率為 心 3 64.2 7C 3 ,6 32 n 一、選擇題 1【答案】A 【解析】由于地鐵列車每10分鐘一班，列車在車站停 1分鐘, 乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車的概率為

11、P ，故選A . 10 2.【答案】A 【解析】大正方形的邊長(zhǎng)為4，總面積為 16，小正方形的邊長(zhǎng)為 2，其內(nèi)切圓的半徑為1,面積為n； nt n m16m 則，解得n故選A. 16 n 3.答案】A 【解析】根據(jù)題意得到 業(yè)，S四 Mb 4b2c 2 X 將方程 12 b，c代入等式中得到 m ,3 n n 4.答案】 【解析】紅燈持續(xù)時(shí)間為 40秒，至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈, 一名行人前25秒來(lái)到該路口遇到紅燈, 至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為 255 .故選B . 408 5.答案】B 【解析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，那么圖中陰影區(qū)域的面積S1 8 (1 n 1) 2 n 4, 而

12、正方形的面積S24，所以若向該正方形內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn), 則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域的概率 P二2 4 2 6.答案】A 【解析】公共汽車站每隔5分鐘有一輛車通過(guò), 當(dāng)乘客在上一輛車開(kāi)走后 3分鐘內(nèi)到達(dá)候車時(shí)間會(huì)超過(guò) 2分鐘, 乘客候車時(shí)間不超過(guò) 2分鐘的概率為P 空 - 55 7.答案】D 【解析】由題意得a 1, b 、m , c . 1 m , 2 ， 一 1 m 2，解得 m 3，即 3 m 8, a S 對(duì)于，如圖，作出 ABC的高A0,當(dāng) PBC的面積等于2時(shí)，0P 3 5s 5 9，故不正確; S 于3,則點(diǎn)P應(yīng)位于圖中的陰影部分內(nèi)，由題意可得 3 所以由幾何概型概率公式可得 PBC的面積小于

13、 2 24 Saaef( )2S-S，故陰影部分的面積 3 9 s -”的概率為P 3 對(duì)于，由題意得所有的基本事件總數(shù)為 10 10100個(gè)，事件“有放回地每次抽一張, 連抽兩次，則兩張 卡片上的數(shù)字各不相同”包含的基本事件有 10 990個(gè)，根據(jù)古典概型的概率公式得所求概率為 909 P，故正確. 100 10 綜上可得正確. 12.【答案】 2 2 2(k1)x k 【解析】顯然直線l的斜率存在，設(shè)直線方程為 y k(x 1), 2 2 2 2 代入(x 1) y 3中得，(k 1)x 4(k2 1)2 4(k2 1)(k2 又當(dāng)弦長(zhǎng)| AB | 2時(shí)，圓半徑r .3 ,圓心到直線的距離

14、 1 k 1，由幾何概型知，事件 M : “直線l與圓C相交弦長(zhǎng)| AB | 2 ”的概率 P(M ) 1 ( 1) 3 ( 3) 三、解答題 13. 【答案】(1) T l與圓C相交于A , B兩點(diǎn), ; (2)-. 5 2 【解析】(1)由題意知本題是一個(gè)古典概型，設(shè)事件A為“方程有實(shí)根” 總的基本事件共 15個(gè):(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)， (3,1), (3, 2)，(4, 0)，(4,1)，(4, 2)， 其中第一個(gè)數(shù)表示 a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值. 事件 A 中包含 8個(gè)基本事件(a

15、2b) , (0, 0) , (1,0) , (2, 0) , (2,1) , (3,0) , (3,1), (4, 0) , (4,1), (4, 2), 事件A發(fā)生的概率為P -. 155 (2)由題意知本題是一個(gè)幾何概型， 試驗(yàn)的全部結(jié)束所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? a,b) |0 a 4,0 b 2, 滿足條件的構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)?a,b)|0 a 4,0 b 2, a 2b. 所求的概率是p 1 . 2 1 n 14. 【答案】(1) ; (2) 1. 2 12 【解析】記“螞蟻與三角形三頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1”為事件 A . (1)根據(jù)題意，如圖 ABC 中，AB 3, BC 4, AC 5, A

16、D AI BE BF CG CH 1, 則 ABC的周長(zhǎng)為12, 由圖分析可得，距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的部分為線段 DE、FG、HI 上, 即其長(zhǎng)度為6, 則螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過(guò)1的概率螞蟻在三角形的邊上爬行，其測(cè)度是長(zhǎng)度， 1 所求概率P(A)-. 2 三角形 (2)螞蟻在三角形所在區(qū)域內(nèi)部爬行，其測(cè)度是面積, ABC的面積為 1 34 2 n 12 1 離三個(gè)頂點(diǎn)距離都不大于 1的地方的面積為S 1 2 所以其恰在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于 1的地方的概率為所求概率 P(A) 6 1 6 n 2 6 n 12 15.【答案】(1) d 5 ； (2)- 6 【解析】(

17、1)由題意知，圓x y212的圓心是(0,0)，圓心到直線的距離是 (2)如圖，圓心 C到直線I的距離是5，到直線I的距離是3 , 則劣弧AB所對(duì)應(yīng)的弧上的點(diǎn)到直線 I的距離都小于2 , 優(yōu)弧AB所對(duì)應(yīng)的弧上的點(diǎn)到直線 I的距離都大于2 , AC 2.3 , CD 3 , ad AC2 CD2.3，AB 2 3, ACB 60 , 【解析】(1)因?yàn)橹鴱楛c(diǎn)若與 A、B、C的距離都超過(guò)1cm , 60 根據(jù)幾何概型的概率公式得到 P 360 2、3 n 3 16.【答案】(1) 1 (2) 27 5 則著彈點(diǎn)就不能落在分別以 A、B、C為中心，半徑為1cm的三個(gè)扇形區(qū)域內(nèi), 只能落在圖中陰影部分內(nèi). 因?yàn)?/p>