《國考技巧薈萃》國考筆試資料數(shù)量關(guān)系之容斥問題

1、行測高頻考點(diǎn)技巧薈萃第 6 期：數(shù)量關(guān)系之容斥問題 在公務(wù)員、 政法干警、 選調(diào)生等行測考試中 會(huì)經(jīng)常考察到容斥問題， 所以考生一定要給 予重視。通常情況下容斥問題的解題思路都是比較清晰且簡單的， 只要經(jīng)過一段時(shí)間的復(fù)習(xí)， 解容斥問題的正確率一定會(huì)有所提高哦 數(shù)量關(guān)系容斥問題知識(shí)點(diǎn)儲(chǔ)備 一、考情分析 容斥問題在最近幾年的國家公務(wù)員考試中出現(xiàn)的頻率逐漸增大， 尤其是最近兩年國家公 務(wù)員中都有出現(xiàn)。難度也逐漸增大，不再拘泥于最常規(guī)的兩個(gè)集合和三個(gè)集合的考查方式。 在各省市的公務(wù)員考試中，容斥問題仍然出現(xiàn)活躍。因此，這一題型還是需要重點(diǎn)關(guān)注。 二、基本概念 涉及多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的集合， 要求根據(jù)集合間的

2、相互關(guān)系計(jì)算集合中元素個(gè)數(shù)的問題稱為 “容斥原理”問題。 三、技巧方法 （一） 公式法解兩個(gè)集合容斥問題 兩個(gè)集合的容斥問題公式： AU B=A+B-AA B 三個(gè)集合的容斥問題公式： AU BU C=A+B+C-AO B-B n C-CQ A+AP BQ C 一、考情分析 尤其是最近兩年都有出 容斥問題在最近幾年的國家公務(wù)員考試中出現(xiàn)的頻率逐漸增大, 現(xiàn)。難度也逐漸增大，不再拘泥于最常規(guī)的兩個(gè)集合和三個(gè)集合的考查方式。在各省市的公 務(wù)員考試中，容斥問題仍然出現(xiàn)活躍。因此，這一題型還是需要重點(diǎn)關(guān)注。 、基本概念 涉及多個(gè)相互關(guān)聯(lián)的集合，要求根據(jù)集合間的相互關(guān)系計(jì)算集合中元素個(gè)數(shù)的問題稱為 “容

3、斥原理”問題。 三、技巧方法 （一）公式法解兩個(gè)集合容斥問題 兩個(gè)集合的容斥問題公式： AU B=A+BMB 三個(gè)集合的容斥問題公式： AU BU C=A+B+CAAB-BnC-Cn A+AO BAC （二）文氏圖法解兩個(gè)集合容斥問題 四、例題精講 例題1 :某班有56人，每人至少參加一個(gè)興趣小組，參加生物組的有46人，參加科技 組的有28人，兩組都參加的有多少人？ A.10 B.18 C.24 D.30 解析：集合A=參加生物組的人、集合B=參加科技組的人由AU B=A+B-AOB知 兩組都參加的有 AO B=46+28-56=18人。 例題2:某單位有青年員工 85人，其中68人會(huì)騎自行車

4、，62人會(huì)游泳，既不會(huì)騎車又不 會(huì)游泳的有12人，則既會(huì)騎車又會(huì)游泳的有 （）人。 A.57 B.73 C.130 D.69 解析：我們來用集合I表示所有的青年員工，A表示會(huì)騎自行車的人，B表示會(huì)游泳的人, 則AQB表示既會(huì)騎車又會(huì)游泳的人，現(xiàn)在設(shè)AA B=x,把題中的數(shù)據(jù)一一填到表格里面，可 以得到: 直接計(jì)算可以知道，68-x+x+62-x+12=85，因此x=57。 例題3:某專業(yè)有學(xué)生50人，現(xiàn)開設(shè)有甲、乙、丙三門選修課。有40人選修甲課程，36 人選修乙課程，30人選修丙課程，兼選甲、乙兩門課程的有28人，兼選甲、丙兩門課程的 有26人，兼選乙、丙兩門課程的有24人，甲、乙、丙三門課

5、程均選的有20人，問三門課 程均未選的有多少人？ A.1人B.2人C.3人D.4 人 解析：三個(gè)集合的容斥原理問題。至少選了一門課的有 40+36+30-28-26-24+20=48人，所 以三門都沒選的有 50-48=2人。 例題4:某班參加體育活動(dòng)的學(xué)生有25人，參加音樂活動(dòng)的有 26人，參加美術(shù)活動(dòng)的有 24人，同時(shí)參加體育、音樂活動(dòng)的有16人，同時(shí)參加音樂、美術(shù)活動(dòng)的有 15人，同時(shí)參 加美術(shù)、體育活動(dòng)的有14人，三種活動(dòng)都參加的有 5人，這個(gè)班共有多少名學(xué)生參加活動(dòng)？ A.36 B.35 C.30 D.25 解析：設(shè)A=參加體育活動(dòng)、B=參加音樂活動(dòng)、C=參加美術(shù)活動(dòng) 根據(jù)題意，將所

6、給的條件填入相應(yīng)的集合中，可畫出文氏圖如下： 根據(jù)圖示，可知全班共有11+5+9+10=35名學(xué)生參加活動(dòng)。 例題5:某高校對(duì)一些學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查。在接受調(diào)查的學(xué)生中，準(zhǔn)備參加注冊(cè)會(huì)計(jì)師考 試的有63人，準(zhǔn)備參加英語六級(jí)考試的有89人，準(zhǔn)備參加計(jì)算機(jī)考試的有47人，三種考 試都準(zhǔn)備參加的有 24人，準(zhǔn)備選擇兩種考試參加的有46人，不參加其中任何一種考試的有 15人。問接受調(diào)查的學(xué)生共有多少人？ A.120 B.144 C.177 D.192 解析：利用圖示法解題。 圖中，黑色部分是準(zhǔn)備參加兩種考試的學(xué)生，灰色部分是準(zhǔn)備參加三種考試的學(xué)生。計(jì)算 總?cè)藬?shù)時(shí)，黑色部分重復(fù)計(jì)算了一次，灰色部分重復(fù)計(jì)算

7、了兩次，所以接受調(diào)查的學(xué)生共有 63+89+47- 24X2 -46+15=120 人。所以正確答案為 A。 盤點(diǎn)解答數(shù)量關(guān)系容斥問題的 數(shù)量關(guān)系高頻考點(diǎn)之容斥問題 容斥問題在歷年省考、國考中的出鏡頻率都很高，考生們需引起足夠重視。XX教育專 家認(rèn)為，對(duì)于容斥問題， 考生只要認(rèn)真讀題就一定能夠正確地解出此題。接下來，我們一起 來看一下有關(guān)容斥問題的解法。 兩者容斥的解法：對(duì)于容斥問題，解題關(guān)鍵是首先找到各個(gè)集合，然后理清各集合之間 的關(guān)系，然后通過兩大核心方法便可解決問題，兩大核心方法 容斥問題在歷年省考、國考中的出鏡頻率都很高，預(yù)計(jì)2015國家公務(wù)員考試也會(huì)繼續(xù)采 用該題型，考生們需引起足夠

8、重視。XX教育專家認(rèn)為，對(duì)于容斥問題，考生只要認(rèn)真讀題 就一定能夠正確地解出此題。接下來，我們一起來看一下有關(guān)容斥問題的解法。 一、兩者容斥的解法 對(duì)于容斥問題，解題關(guān)鍵是首先找到各個(gè)集合，然后理清各集合之間的關(guān)系，然后通過兩 大核心方法便可解決問題，兩大核心方法為： 1、將所有區(qū)域化為一層 2、畫文氏圖 容斥問題考察的題型包括求定值、求極值，求定值通常考察兩種題型兩者容斥、三者 容斥，首先來看兩者容斥問題： 例：大學(xué)四年級(jí)某班有 50名同學(xué)，其中奧運(yùn)會(huì)志愿者 10人，全運(yùn)會(huì)志愿者17人，30人 兩種志愿者都不是，則班內(nèi)是全運(yùn)會(huì)志愿者且奧運(yùn)會(huì)志愿者的同學(xué)是多少？ A.6 B.7 C.8 D.9

9、 XX解析：第一步：根據(jù)題意畫文氏圖，描述出題中所涉及到的幾個(gè)集合之間的容斥關(guān)系: 1=?0 第二步：在集合當(dāng)中把每一個(gè)獨(dú)立的封閉區(qū)間，都用一個(gè)單獨(dú)的字母來表示： A表示是奧運(yùn)會(huì)自愿者 B表示是全運(yùn)會(huì)志愿者 I表示是全班人數(shù) X表示全運(yùn)會(huì)且奧運(yùn)會(huì)志愿者 Y表示非奧運(yùn)會(huì)且非全運(yùn)會(huì)志愿者 第三步：根據(jù)題意建立等量關(guān)系，根據(jù)把重復(fù)數(shù)的次數(shù)變?yōu)橹粩?shù)1次，或者說把重疊的面 積變?yōu)橐粚?，做到不重不漏的原則。 匸A+B-X+Y，所以X=A+B+Y-I=7（利用尾數(shù)法）。 結(jié)論：兩者容斥問題，畫圖之后可知，兩個(gè)圓相交的地方有1層、2層兩種情況，當(dāng)將兩 個(gè)集合相加的時(shí)候，2層部分多計(jì)算一次，故若想求全集，需要將

10、重疊區(qū)域減掉，故兩者容 斥問題的公式為：全集I=A+B-X+Y（I代表全集，A、B分別代表兩個(gè)集合，X代表兩個(gè)集合的 交集，Y代表集合之外的部分） 二、三者容斥的解法 接下來看三者容斥問題，三者容斥問題所給的已知條件不同，導(dǎo)致其公式不同。 首先來看第一種三者容斥問題： 例：某調(diào)查公司對(duì)甲、乙、丙三部電影的收看情況向 125人進(jìn)行調(diào)查，有89人看過甲片， 有47人看過乙片，有63人看過丙片，其中有24人三部電影都看過，20人一部也沒有看過， 則只看過其中兩部電影的人數(shù)是多少人 ？ A、 69 B、 65 C、 57 D、 46 XX解析：第一步：根據(jù)題意描述出題中所涉及的幾個(gè)集合之間的容斥關(guān)系

11、第二步：在集合當(dāng)中把具有相似屬性的封閉區(qū)間，都用一個(gè)單獨(dú)的字母來表示。 A表示看甲片的人 B表示看乙片的人 C表示看丙片的人 X表示看過甲乙丙三種片子的人 Y表示三部電影都沒看過的人 I表示總共接受調(diào)查的人數(shù) O P、Q表示看過兩部片子的人 第三步：根據(jù)題意建立等量關(guān)系，根據(jù)把重復(fù)數(shù)的次數(shù)變?yōu)?次，或者說把重疊的面積變 為一層，做到不重不漏的原則。 匸A+B+C-O-P-Q-2X+Y,O+P+Q=A+B+C-2X+Y-l=89+47+63-2X 24+20-125=尾數(shù)是 6 結(jié)論：三者容斥問題，畫圖之后可知，三個(gè)圓相交的地方有1層、2層、3層三種情況， 當(dāng)將三個(gè)集合相加的時(shí)候，2層和3層區(qū)域

12、分別多計(jì)算一次和兩次，故若想求全集，需要將 重疊區(qū)域減掉，故三者容斥問題的公式為： 匸A+B+C-O-P-Q-2X+Y (I表示全集，A、B、C代表三個(gè)集合，O P、Q表示兩個(gè)只有兩層的區(qū)域，X表示三層的 區(qū)域，Y代表圓之外的部分) 第二種三者容斥問題，即容斥極值問題： (A n B) =A+B -I(I 表示全集) 例：小明、小剛兩人一起參加一次英語考試，已知考試共有100道題，且小明做對(duì)了 68 題，小剛做對(duì)了 58題。問兩人都最對(duì)的題目至少有幾題？ (A n Bn C) =A+B+C-2I 例：小明、小剛和小紅三人一起參加一次英語考試，已知考試共有100道題，且小明做對(duì) 了 68題，小剛

13、做對(duì)了 58題，小紅做對(duì)了 78題。問三人都最對(duì)的題目至少有幾題 (A n Bn cn D)=a+b +C+D-31 依此類推 XX教育專家相信考生們通過以上講解基本上能夠全面把握容斥問題，無論是文科考生還 是理工科考生，都可以順利解答出來。 巧解數(shù)量關(guān)系容斥問題 考試中會(huì)考察到容斥問題， 容斥問題的實(shí)質(zhì)就是數(shù)數(shù)， 在數(shù)數(shù)的時(shí)候能準(zhǔn)確將題目中所涉 及的量明確分類，而且分類的時(shí)候不能重復(fù)，也不能遺漏。下面XX行測頻道為大家講解容 斥問題的幾種題型及解題方法，希望能對(duì)考生有所幫助 數(shù)量關(guān)系容斥問題不靠公式也能解 對(duì)于許多考生來說， 公務(wù)員考試行測中的容斥問題一直是難點(diǎn)， 特別是一些復(fù)雜的三者容 斥問題，單單靠記憶一些公式是難以解決的。XX教育專家建議考生，不記這些復(fù)雜的容斥 原理公式也是可以的， 關(guān)鍵要學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用容斥原理， 尤其是利用文氏圖結(jié)合容斥原理， 一 些問題可以輕松解決 兩招輕松搞定數(shù)量關(guān)系容斥問題 容斥問題在公務(wù)員考試行測中是很常見的一種題型，難度相對(duì)來說也不大， 但是有些考生 對(duì)于容斥問題的理解還不是很清晰，不能很好地解決其中的問題。 數(shù)量關(guān)系容斥問題解法精講 對(duì)于容斥問題， 在公務(wù)員考試行測當(dāng)中是經(jīng)常見到的， 所以考生一定要給予