理論力學期末考試復習資料

1、 理論力學期末考試復習資料題型及比例填空題（20%）選擇題（20%）證明題（10%）簡答題（10%）計算題（40%）第一章：質點力學（2025%）一質點的運動學I：（重點考查）非相對運動學1、描述質點的運動需要確定參照系和坐標系。參照系：沒特別聲明，一般以地球為參照系，且認為地球是不動的，即以靜止坐標系為運動的參考。坐標系：根據(jù)問題的方便，通常選擇直角坐標系（適用于三維，二維，一維的運動），極坐標系（適用于二維運動，題中明顯有極徑，極角等字眼或者有心力作用下質點的運動時采用極坐標系），自然坐標系（適用于二維運動，題中明顯有曲率半徑，切向等字眼時，或者圓周曲線運動，拋物線運動等通常采用自然坐標系

2、）。2、描述質點運動的基本物理量是位移（坐標）、速度、加速度，明確速度、加速度，軌道方程在三種坐標系下的求解，直角坐標系下步驟：（1）, 建立好坐標系 （2），表示出質點的坐標（可能借助于中間變量，如直角坐標系中借助于角度） （3）對坐標求一階導得速度，二階導得加速度，涉及的未知量要利用題中所給的已知信息求得。 若求軌道方程，先求得x、y、z隨時間或其他共同變量（參數(shù)）的函數(shù)關系，消去共同變量即可，其它坐標系下是一個道理。若是采用處理二維運動的極坐標系和自然坐標系： 明確怎么建立這兩種坐標系及速度、加速度表的達式和各項的意義 (a) 極坐標系：極軸（不變的），極角與極徑（質點對質點的位矢大小）

3、則隨質點不斷發(fā)生變化，特別需要明確的徑向、橫向的單位矢量的確定，徑向即沿徑矢延長方向，橫向是垂直徑向，指向極角增加的一側，它們的方向隨質點的運動不斷發(fā)生變化，稱為是活動坐標系；我們只需應用相應的公式計算，并理解每一項的意義即可： 速度： 徑向， 橫向，加速度：徑向 ，明確第一項是由于徑向速度得大小改變而引起，第二項則是橫向速度得方向發(fā)生改變而引起；橫向 ,第一項是混合項，其中之一表由橫向速度得大小改變而引起，其中之二表由徑向速度得方向改變而引起，而第二項則表示由橫向速度得大小變化而引起 (b)自然坐標系：明確是把矢量分為切向和法向，活動坐標系的單位矢量沿切向，沿法向，并指向軌道彎曲的一側： 速

4、度：切向 不存在法向速度加速度：切向 ，描述速度大小隨時間的變化率，可能是零，可能不是零； 法向 描述速度方向隨時間的變化率，只有運動軌跡為曲線就一定不為零。 II：相對運動學 當質點相對于某平動運動參照系運動時，其對地的絕對速度 ，即等于牽連速度(被運動參照系牽帶著而具有與運動參照系相等的速度)+相對速度，這類問題，通常是平面運動問題，我們需建立適當坐標系，一般為直角坐標系和極坐標系，把該矢量式進行適當分解，如在直角坐標系中 該類問題中區(qū)分質點和運動參照系很重要，一般來講，運動參照系的運動相對穩(wěn)定，質點的運動變化相對較大。 絕對加速度牽連加速度相對加速度，運動參照系勻速時兩者相等二 質點的動

5、力學（牛頓運動微分方程） I 慣性系（靜止或做勻速直線運動的參照系，一般以地球為靜止的慣性參照系 ） 我們明確牛頓第二定律是一矢量式，必須建立合理的坐標系把和分解到坐標軸上，用分量式才能求解，所以建立合理的坐標系，正確的受力分析，利用初始條件求解牛頓運動微分方程的分量式（逐次積分法或公式法進行積分，積分常數(shù)需由初始條件決定），是該類問題的三大步驟 自由質點：空間 平面的：非自由質點：受到約束，一般把力分為主動力（不隨運動狀態(tài)的變化而變化,如重力）和約束反力（約束所施加，通常會隨運動狀態(tài)的變化而變化，如支持力），這種情況采用自然坐標系比較方便光滑約束的情況 求解這類微分方程，有時需進行適當?shù)奈⒎?/p>

6、變換，如，非慣性系（描述質點運動的參照系，具有加速度）在這樣的參照系中，牛頓第二定律不再成立，必須引入慣性力，牛頓第二定律形式上才能繼續(xù)成立慣性力，并非相互作用力，沒有施力物體，僅表明我們是在非慣性系中研究動力學問題，同樣，需建立適當?shù)淖鴺讼?，把相互作用力和慣性力，相對加速度進行分解，用分量式求解（相對平衡問題，可能能用矢量三角形法則求解）三功和能功：功是能量轉化的量度，功是過程量，能是狀態(tài)量根據(jù)力做功是否與路徑無關區(qū)分三類力保守力：力做功與路徑無關，只取決于初末位置，這是判斷一個力是否是保守力的根本標準。另外兩個判斷標準是：（1）存在相應的勢能標量函數(shù)，滿足 即保守力做功等于勢能變化量的負值

7、 （2）該力的旋度一定為零 非保守力：做功與路徑有關，如渦旋電場做功 耗散力： 做功與路徑有關，而且總是做負功四、動力學三大定理及相應的守恒定律（單個質點） 從牛頓第二定律出發(fā),可推得 1，動量定理及動量守恒定律 （1）動量定理微分形式：質點動量的微分等于作用在質點上力的元沖量。積分形式：上式表明，在一段時間內，質點動量的增量等于作用在質點上的力在同一段時間內的沖量。注意是矢量式：我們需建立坐標系（該步驟也是規(guī)定正方向的過程），各矢量投影到坐標軸上才能求解 （2）動量守恒定律 如質點不受力或者合力為零，則質點的動量守恒注意是動量定理及動量守恒定律都是矢量式：無論是幾維，我們都需建立坐標系（該步

8、驟也是規(guī)定正方向的過程），各矢量投影到坐標軸上才能求解 2，角動量定理及角動量守恒定律（1） 角動量定理 力矩與角動量（動量矩）的概念 對點的力矩： 對點的角動量（動量矩）：對軸線的力矩或角動量，是在該軸上取一點做為定點，先求根據(jù)上面兩式求得對該點力矩和角動量，再投影到該軸上即可（分量式請看書）。若力與軸線相交或平行，則該力對軸線沒有力矩，利用該結論，可能有力對軸線的力矩與對某軸的力矩相等，因對其它兩軸的力矩為零，即共面力系情況，只可能對垂直于該面的軸線有力矩，所以對該軸線的力矩等于對該軸線與這個面的交點的力矩，第三章應用定軸轉動定理（對Z軸的角動量定理）時通常利用到這點。 角動量定理：微分形

9、式質點對某定點 的動量矩（角動量）對時間的導數(shù)，等于作用力對同一點的力矩。 積分形式 某過程，角動量的變化量等于外力在該時間段內給予質點的沖量矩 角動量守恒：若質點所受的力對某點力矩為量，則質點對該定點的角動量守恒對單個質點，若動量受衡，則角動量也守恒，但反之不成立，比如有心力作用下質點的運動。與動量定理及動量守恒定律一樣，我們需要以定點為坐標原點，建立坐標系（該步驟也是規(guī)定正方向的過程），各矢量投影到坐標軸上才能求解3 動能定理及機械能守恒定律 動能定理： 主要采用積分形式的動能定理處理問題：在某一過程，質點動能的變化量，等于該過程所有作用力所做功之代數(shù)和。因此，清楚研究過程，有哪些作用力，

10、是否做功，做正功還是負功，初末態(tài)動能（未知的當未知數(shù)處理）是必須的。 機械能守恒：從動能定理出發(fā)，若某過程，只有保守力做功，則該過程機械能守恒能用機械能守恒處理的問題，一定能用動能定理處理，反之，則不然。動能定理和機械能守恒，是標量式，沒有分量式，不需建立坐標系，但涉及勢能時，務必規(guī)定勢能零面或勢能零點,一般對彈性勢能，是以自然伸長為零勢能點，引力或斥力勢能是以無窮遠為勢能零點；重力勢能是以某一水平面為零勢能點。五、有心力 總體認識： 有心力是保守力，必有機械能守恒；有心力對力心力矩為零，所以質點對力心的角動量守恒，并由此推斷有心力下，質點只能在一個平面上用動，由于力總是沿徑矢的反方向指向力心

11、，所以一般采用極坐標系研究有心力下質點的運動。1， 有心力下，質點的運動微分方程1） 動力學方程： 徑向： 橫向： 由橫向方程，必能推得 ，表對力心的角動量守恒，因對力心力矩為零，有 2） 能量方程：有心力下，機械能必守恒2， 動力學方程的求解，軌道方程比耐公式在動力學方程中，消去時間t，并設得比耐公式：根據(jù)比耐公式，（1）已知質點所受的有心力F, 求質點的軌道方程 （2）已知質點的軌道方程求質點所受的有心力 能量方程中，涉及力力心某點的勢能求解，對于引力或斥力勢能，我們一般以無窮遠為勢能零點，根據(jù)保守力做功與勢能變化的關系，可得，離力心r處的勢能 若是引力，力與位矢反向，要加負號，才能去掉上

12、式的矢量號，若為斥力，則相反。如平方反比的引力勢能3， 行星的運動從比耐公式出發(fā)，已知引力，可導出平方反比引力下的軌道屬于圓錐曲線軌道 結合能量方程和角動量守恒方程，可推得軌道形狀的能量（由于是常量）判據(jù)： 推得偏心率 ,軌道為橢圓 ，推得偏心率 軌道為拋物線 推得偏心率 軌道為雙曲線我們知行星的軌道為橢圓軌道，所以其能量一定小于零（書58頁），粒子的散射，由于其能量大于零，因而是雙曲線的一支，其處理方法也不外乎比奈公式，角動量守恒方程，機械能守恒方程。4 宇宙速度明白第一（擾地球運行的最小發(fā)射速度，第二（脫離地球引力的最小發(fā)射速度），第三宇宙速度（脫離太陽引力的最小發(fā)射速度得）含義。第二章

13、質點組力學（10%15%）一、 基本概念和質心的求解質點組：相互作用著的大量質點組成的質點系內力：質點間的相互作用力，總是成對出現(xiàn)，內力之和一定為零外力： 質點組以外的物體施加的作用力質心：質點組的質量中心，是一幾何點，而不是一質點，其定義如下以某一點O為坐標原點（參考點），則質心對該點的位矢等于各質點對同一點的位矢乘以質量之矢量和除以總質量分量式，則為對于質點間的距離不隨時間發(fā)生變化的情況，參考點不同，所求出的質心坐標不同，但相對質點組的空間位置是不變的。我們大多遇到的是連續(xù)的情況，所以求和需改為積分 上面積分，并不意味著是一重積分。可能二重，可能三重，視情況而定，x,y,z是所選取微元的坐

14、標，若是規(guī)則小幾何體，如薄圓片，x,y,z則指的是規(guī)則幾何體質心坐標?！拔⒃钡暮侠磉x?。ㄎ⒃蛞?guī)則的小幾何體）和構建適當?shù)淖鴺讼担ㄒ浞掷脤ΨQ性），借助于密度，表達出微元質量及坐標是關鍵，最后再進行積分求解 密度均勻，形狀規(guī)則，且各處重力加速度相同，則質心，幾何中心，重心重合。二(重點考查)質點組的三大定理及相應的守恒定律由于質點數(shù)目可能較多，且內力通常未知，所以對每一個質點應用牛頓第二定律求解其運動規(guī)律是不切實際的，但對整個質點組利用動量定理，角動量定理，動能定理及相應的守恒定律，則可能消除未知的某些量，如內力，內力對定點O的力矩，從而使問題簡化1， 對質點組應用動量定理和相應的動量守恒

15、定律1） 動量定理（內力之矢量和為零）質點組動量對時間的微商等于作用在質點組上諸外力之矢量和，從動量定理，再結合質心的定義，不難導出質心運動定理質心就好比一個質點的運動一樣，此質點集中整個質點組的質量，作用在此質點上的力等于作用在質點組所有質點上諸外力的矢量和2） 動量守恒定律若整個質點組不受外力，或雖受外力，但外力之矢量和為零，或外力遠小于內力，則整個質點組的總動量為常量 注意，上面這些都是矢量式，務必建立坐標系，進行矢量投影，用分量式求解，一維的情況，規(guī)定正方向，也相當于建立以維的坐標系；另外，速度是絕對速度。與單個質點一樣，若質點組整體的合外力不為零，但在某方向投影之代數(shù)和為零，則該方向

16、的各質點動量之投影的代數(shù)和為零，即該方向動量守恒。2, 對質點組應用角動量定理和角動量守恒定律1）角動量定理（內力對定點O的力矩之代數(shù)和為零）質點組對某一定點的總角動量對時間的微商，等于諸外力對同一定點的力矩之矢量和2)角動量守恒定律如果作用在質點組上的諸外力對某一定點O的合力矩為零或不受外力矩作用，則質點組的總角動量保持不變 對質點組，不像對單個質點，動量守恒不能導出角動量守恒，當然反過來也不行。同理，角動量定理和角動量守恒定律是矢量式，務必建立坐標系，進行矢量投影，用分量式求解，明確是對那個點或軸線的角動量和力矩若所有外力對定點O的力矩之矢量和不為零，但對以該點為坐標原點的某軸線的投影為零

17、，則所有質點對該軸線的角動量是一常數(shù)。如： （2） 質點組對質心的角動量定理 此時是非慣性系，必須引入慣性力，但由于所有慣性力的合力通過質心，所以對質心的角動量定理在形式上與對定點的角動量定理相同但對其它動點，該結論一般不成立。 3、對質點組應用動能定理和機械能守恒定律 1）動能定理，從單個質點的動能定理出發(fā)，可推得質點組的動能定理：質點組總動能的微分等于諸內力和外力所做元功之和，特別強調內力做功之代數(shù)和不一定為零，只有在剛體（任意兩質點的距離不變）的情況，才是零。應用時，通常是采用上式的積分形式，明確過程，哪些力做功，做負功還是正功質點組的動能是標量，但根據(jù)柯尼希定理，可分解為質心的動能和相

18、對質心的動能之和（標量分解）2）機械能守恒定律 所有非保守力（可能是內力，可能是外力）不做功，則質點組的機械能保持不變3） 對質心的動能定理以質心為參考，是非慣性系，須考慮慣性力做功，但因慣性力做功之代數(shù)和為零所以，在形式上與對定點相同質點組對質心的動能，等于質點組相對于 質心系位移時內力與外力所做功之和三、三大定理及守恒定律的應用 1，兩體問題（太陽與行星） 太陽不再靜止不動，可對開普勒第三定律進行修正 2， 質心系和實驗室坐標系（兩質點的散射和碰撞） 質心系: 由于內力遠大于外力（重力），可認為外力為零，根據(jù)質心運動理，質心做勻速運動，質心系是一慣性系，為理論工作者所用 實驗室坐標系：即靜

19、止坐標系，為實驗工作者所用。 實驗室坐標系下的偏轉角與質心系下的偏轉角 根據(jù)m1(入射粒子)和 m2的關系，可討論兩種偏轉角的關系，如m2遠大于m1，則相等2， 變質量物體的運動有質量m和合并前的微質量組成的質點組，應用動量定理有： 約去二階小量，可得變質量物體的動力學方程 是m的絕對速度，是的絕對速度，是整個質點組的合外力（內力之和是零了），通常為重力是質量隨時間的變化率，增加是正，減少是負。當時，可簡化為注意，m是隨時間變化的 求解時，由于是矢量式，所以需建立坐標系，一維的規(guī)定正方向，把矢量式轉為標量式才能求解；表達出質量和力隨時間的變化情況是解決這類問題的關鍵。 第三章 剛體力學（20%

20、25%）一、基本概念和整體認識1，剛體：特殊質點組，任意兩質點的距離保持不變，類似于質點是一種理想情況，相對于所研究的問題，當物體的大小和形狀的變化，可以忽視時，則物體可當做剛體。2，剛體空間位置的確定，只需確定不共線的三點位置坐標，但由于任意兩點的位置不變，受到三個約束，所以只需6個即可3，剛體運動的分類 根據(jù)運動時的限制，需要的獨立變量數(shù)可少于6個，根據(jù)限制的不同，把剛體的運動分為：（1） 平動：任意兩質點的聯(lián)線在任意兩個不同的時刻，都保持平行，各個質點的運動情況完全相同，所以任意一質點的運動即可代表整個剛體的運動，顯然只需3個獨立變量（2） 定軸轉動：剛體運動時，始終有兩點不動的運動，該

21、兩點的連線即為固定的轉動軸，只需確定剛體繞該定軸轉過多少度，所以只需一個獨立變量（3） 平面平行運動：剛體運動時，始終與一固定平面平行的運動，可分解為質心的平面平動和繞統(tǒng)過質心并垂直于該平面的轉動（由軸線取向不變，所以相當于一定轉動），因而需要3個獨立變量（4） 定點轉動：剛體運動時，只有一個點不動，剛體只能繞通過這個點的軸線轉動，顯然軸線的取向是可以不斷發(fā)生變化的，確定軸線的空間取向（三個方向余旋，但三方向余旋平方和為1），所以只需兩個獨立變量，但還需一個變量來確定繞軸線轉過的角度，因此總共需三個獨立變量。通常用三個獨立的歐拉角來描述，即進動角（0到2），章動角（0到），自轉角（0到2） 教

22、材121頁，（5） 一般運動：不受任何約束，一般分解為質心的平動和繞質心的定點轉動，因而需6個獨立變量。4， 描述剛體運動，最基本的物理量是角速度，即描述剛體繞某個點和軸線轉動的快慢，是一矢量（相應于無限小轉動，無限小轉動是可對易的（交換先后兩次的轉動順序，結果不 變），而有限轉動是不可對易的） ，方向用右手螺旋法則來確定。5， 剛體的歐拉運動學方程，剛體定點轉動時，把角速度（注意是狀態(tài)量）投影到固連在剛體上隨剛體一塊運動的隨動坐標系上（只做為計算的工具，在后面的剛體的平面平行運動學和剛體的定點轉動運動學，及非慣性系運動學、動力學，都常常這么做），但運動參照系仍是地球，而得其分量式，描述了角速

23、度分量隨歐拉角及時間之間的變化關系二、 剛體的運動方程與平衡方程1、 力系的簡化由于剛體受力可能紛繁復雜，所以首先要對剛體的力系進行簡化1） I，非平行共面力系的簡化應用的基本原理是力的可傳性原理，力可沿作用線滑移而不改變作用效果（但作用線不能隨便移動）。所以可以采用兩兩相交的辦法求得非平行共面力系的合力 II，平行共面力系的簡化，采用合力對垂直于該平面的某一軸線的力矩與所有平行力對該軸線的力矩之代數(shù)和相等，來求得合力大小和作用點 平面平行力系中存在一特殊情況，即由一對對大小相等，方向相方的平行力所組成，其中的任何一對平行力，我們稱為力偶，其唯一的作用效果是產(chǎn)生力偶矩，垂直于該平面，但作用點不

24、固定，稱為自由矢量大?。浩渲幸涣Τ艘粤ε急郏▋善叫辛Φ木嚯x）方向：右手螺旋法則也等于其中一力對另一個力作用點的力矩這樣的平面平行力，可簡化為一合力偶，可能是零，可能不是零2） 空間力系的簡化共點力系和平行力系的簡化，與平面情況類似，關鍵是既不平行也不共面的力系：利用力偶的知識，我們可根據(jù)問題的方便，選擇一簡化中心（通常是質心），于是剛體上任意一力可以遷移到該點，為了消除遷移的影響（移動了作用線），必須加上一力偶，即加上未遷移前，該力對簡化中心的力矩。因而所有力遷移到簡化中心后，就有一合力和合力矩，我們稱為主矢（作用效果使剛體平動）和主矩（作用效果使剛體繞通過簡化中心的軸線轉動）。顯然簡化中心不

25、一樣，主矢不變，主矩一般要改變，但顯然不能因為人為選擇的簡化中心的不同而改變剛體的運動狀態(tài)2， 剛體的運動微分方程根據(jù)前面的分析，剛體的運動一般分解為質心的平動和繞質心的定點轉動，因此質心為簡化中心，力系簡化為一主矢和一主矩，我們利用質心的運動定理處理質心的平動和應用對質心的角動量定理處理繞質心的定點轉動即可處理剛體的一般運動。1） 質心的平動 矢量式，建立坐標系，轉為標量式才能求解。 2）繞質心的定點轉動 分量式，如 注意對軸線的力矩和角動量，一定是先求對點的力矩和角動量，再投影到該軸線上來做的；若對另外兩坐標軸沒有力矩（共面力系，平面運動），則此時對點和對軸線的力矩相等。3、 剛體的平衡方

26、程 以任意點為簡化中心顯然要求主矢為零，主矩為零 所有外力之矢量和為零，對任意點的力矩為零。若為共面力系, 以所在面為xoy平面，則剛體平衡必有： 所有外力 對垂直于xoy平面的任意軸線（不一定是對坐標Z軸）的力矩之代數(shù)和為零，由于共面力系不可能對x或y軸產(chǎn)生力矩（相交或平行），所以對任意垂直于該面的軸線的力矩就等于對該軸線與這個平面交點的力矩。又因與該點相交的力不可能對該點有力矩，所以我們當選較多力交匯點為參考點列力矩平衡方程（轉動效果逆時針為正）。 若剛體在三個共面力下平衡，則三力必交于一點（反證法）三 、剛體的轉動慣量 1， 剛體的角動量和轉動動能應用對剛體對某點的總角動量等于所有質點對

27、同一點角動量的矢量和，可得 所以方向一般與角速度不不同對三軸線的分量式： 從上式可知，剛體做定軸轉動，且轉軸是慣量主軸（平面平行運動，可看做特殊的定軸轉動），定點轉動時，轉軸為慣量主軸的情況，有，在這幾種特殊情況角動量才與角速度方向相同。所以，即便是定軸轉動，角動量與角速度也不一定同向。 剛體的轉動動動能 最常用的是 2， 轉動慣量 1） 概念在上式動能的第二種表達式中， ，即為剛體對某軸線的轉動慣量，為各質點到該軸線的垂直距離，顯然同一剛體對不同的軸線具有不同的轉動慣量，因此說到轉動慣量，務必聲明是對那軸線的轉動慣量，就好像說到力矩務必清楚是對那個點或那軸線的力矩一樣。對比于平動動能中的質量

28、，知轉動慣量就像平動中的質量一樣，是描述轉動慣性大小的量度。2） 求解上式定義是離散的情況，其實我們遇到的是連續(xù)的情況，所以上式求和需轉為積分: 為微元到轉軸的距離，與質心的求解類似，微元的選取可能是真正的微元，也可能是規(guī)則幾何體，當為規(guī)則幾何體的時，應是每一部分到轉軸的距離（應相等）。該積分可能是一重，二重，三重，視具體問題而定；計算時通常也要建立坐標系（也要充分利用對稱性），轉軸為一坐標軸，在該坐標系下表達出與dm,積分求解。 我們需要記住一些規(guī)則的剛體對特定軸線的轉動慣量如： 均質細棒，對垂直通過端點的軸線的轉動慣量為，對垂直通過中心的軸線的轉動慣量為 為棒全長半徑是均質薄圓片對垂直通過

29、圓心的軸線的轉動慣量為，而對任意一直徑的轉動慣量是半徑是的均質圓環(huán)對垂直通過圓心的軸線的轉動慣量為，而對任意一直徑的轉動慣量是實心圓柱體對中心對稱軸（通過薄圓片的圓心）的轉動慣量是等等另外我們還可能借助于平行軸定理來求解剛體對任意與質心軸平行的軸線的轉動慣量為 為兩平行軸的距離。有時為了方便，可能用回轉半徑來表示，即剛體對某軸線的轉動慣量等效于一集中剛體全部質量的一點對該軸線的轉動慣量，即為回轉半徑，所以求剛體對某軸線的回轉半徑實際是求剛體對該軸線的轉動慣量，比如半徑為的均質圓環(huán)對任意一直徑的回轉半徑為3， 慣量張量和慣量橢球， 慣量主軸及求法剛體做定點轉動時，對任意過定點的軸線的轉動慣量的一

30、般表達式若是靜止坐標系，慣量系數(shù)是隨時間變化的。慣量張量分為軸轉慣量和慣量積，按照一定規(guī)律排列成二階張量形式，參考教材133頁慣量橢球，以剛體上的一點作為坐標原點（轉動點O），建立固連在剛體上的坐標軸，使得軸轉動慣量和慣量積為常數(shù)，在轉軸上截取一線段過O點有無限多轉軸，則Q點所滿足的曲面方程，就是慣量橢球，若坐標原點在質心，則為中心慣量橢球。 建立固連的坐標系，隨慣量系數(shù)為常數(shù)，但還不能消除慣量積，若以慣量橢球的三對稱軸（相互垂直的主軸）為為坐標軸，則因對稱性而消去慣量積，使問題簡化，于是我們稱慣量橢球的主軸為慣量主軸，對慣量主軸的轉動慣量為主轉動慣量。在這樣的條件下，對通過定點O（坐標原點）

31、任意軸線的轉動慣量一般以幾何方法求得，即規(guī)則剛體的對稱軸為慣量主軸，因此我們以規(guī)則幾何體的對稱中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，求得剛體對三對稱軸的軸轉動慣量，則對任意通過該點的軸線的轉動慣量，只有知其與三坐標軸的方向余旋，則利用上述公式求解即可四， 剛體的平動和繞固定軸的轉動 明確平動（3個獨立變量）與定軸轉動（1個獨立變量）的概念1） 定軸轉動運動學以軸上某一點為坐標原點，則任意一點的速度因每一質點做的圓周運動，所以加速度分為切向加速度和法向加速度為到轉軸的距離，線量由于不同，則不同，但角量則各點相同，角速度，角加速度,角位移之間的關系，可以借用平動時，速度，加速度，位移之間的關系2） 定軸

32、轉動動力學顯然采用對軸線的角動量定理（稱為轉動定理） 注意是對軸線上某點的角動量定理，在轉軸上的投影，所以是標量式，應用該式解決動力學問題，需解決兩個問題I， 剛體對定軸的轉動慣量II， 所有外力對定軸力矩之代數(shù)和前面講過，對力對軸的力矩一定是先求得對軸線上某點的力矩，然后再往該軸線投影而得，看起來很麻煩，實則不然。我們所遇到的情況，基本都是共面力系的情形（包括后面的平面平行運動），所以所有外力對轉軸的力矩等于對轉軸與該面的交點的力矩（經(jīng)過交點的力，如約束反力，對該點則無力矩），因而大小就等于該力乘以交點到力的作用線的垂直距離，方向用右手螺旋法則判斷，要特別強調正負的取法，與平衡問題不同，這里

33、是先確定角位移的正方向（一定是靜線指向動線為的方向），再根據(jù)右手螺旋法則確定力矩的正方向。從而求得個外力對軸線與平面交點的力矩之代數(shù)和若剛體所受的外力中，只有保守力做功，則機械能守恒，該類問題也可結合機械能守恒定律來求解3） 軸承上的附加壓力（通常是非共面力系）應用動量定理和對軸花上某點的角動量定理求解 若要使剛體處于動平衡，即轉動時使剛體所受的軸承施加的作用力與靜止時相等，則要求剛體的轉軸為慣量主軸，且質心在轉軸上，所以制造和安裝機器的轉動部分時需要盡可能滿足上述兩條件，否則附加雜軸承上的壓力會產(chǎn)生很大的破壞作用。五， （重點考查）剛體的平面平行運動（需3個獨立變量） 明確概念，由于剛體做平

34、面平行運動時始終與某一固定平面平行，因此截取一平行于該固定平面的薄片做為代表，即可研究剛體平面平行運動的運動學和動力學（動力學要求是通過質心的薄片）1） 運動學薄片上任意一點的運動分解為基點的平動和繞基點的轉動I， 速度于是薄片上任意一點的速度為基點的速度( 牽連)和繞基點的轉動速度(相對)之矢量和)(0rrvrvvAArrrvrrvr-w+=w+= 是研究對象對基點的位矢II，任意點的加速度，則是對上式求導，所以記住速度公式是基礎根據(jù)上述兩公式，我們看到是矢量式，務必建立合理的固連在剛體上的坐標系（三維）作為計算工具，但運動參照系是靜止坐標系，用來表示各矢量，才能運算, 后面的定點轉動運動學

35、和轉動參照系運動學和動力學都是采用相同的手法I）轉動瞬心做平面平動的剛體，角速度不為零時，每一時刻，剛體上總有一點的速度為零，該點即為轉動瞬心，該點速度雖為零，但加速度不為零。我們可以以該點為基點，求解其它點的速度帶來方便，但不能求解其它點的加速度（此時，應以加速度已知點為基點）可以根據(jù)該結論，只有知到薄片上任意兩點的速度，則做兩速度得垂線，交點必為轉動瞬心。相對于靜止坐標系，隨時間轉動瞬心所描繪的軌跡為空間極跡；相對于剛體本身則為本體極跡；2） 動力學薄片的選取，一定為通過質心并平行于固定平面的薄片，以質心為基點，薄片的運動分解為質心的平面平動和繞通過質心且垂直于該薄片的軸線的轉動（由于軸線

36、取向一定，可視為定軸轉動），這樣可以利用質心運動定理處理質心的平動，和對質心的角動量定理（形式上與對定點的角動量定理一樣）研究繞通過質心且垂直于該薄片的軸線的轉動I， 質心的平面平動是而維運動，因此可采用直角坐標系，也可采用極坐標系，自然坐標系（質心做圓周運動的情況），一般采用直角坐標系分解矢量式 所以必須建立坐標系，并進行正確的受力分析（不明確力的方向時，可先假定其方向，如靜摩擦力），雖以含質心的薄片為代表，但我們知應是整個剛體所受的作用力（下面對軸線的轉動慣量也一樣），應為共面力系，否則質心就不能做平面運動了II， 繞通過質心且垂直于該薄片的軸線的轉動由于可視為定軸轉動，因而對質心的角動量

37、定理簡化為通過質心且垂直于該薄片的軸線的轉動定理（角動量定理），所以處理方法就給定軸轉動一樣 或a) 明確剛體的對該軸線的轉動慣量b) 求所有外力對該軸線的力矩 由于是共面力系，因此若以軸線與薄片的交點即質心為坐標原點，轉軸為一坐標軸，則所有外力對薄片上兩軸線的力矩必為零（因力與兩軸線相交或平行，都不會對軸線產(chǎn)生力矩效果），所以所有外力對該軸線的力矩等于對質心（點）的力矩，力叉積相對于該點的位矢（大?。毫Τ肆Ρ?，方向：右手螺旋法則）；正負的取法，仍然是先確定角位移的正方向（靜線指動線），再用右手螺旋法則（握角位移）來確定力矩的正方向，進而確定力矩的正負。 由于剛體做平面平行運動時要受到約束，因

38、此，常要用到約束條件如圓柱體無滑滾動，則 ，當然也意味著接觸點的速度為零，是轉動瞬心III）還可能借助機械能守恒定律 若只有保守力做功(注意無滑滾動的靜摩擦力不會做功)，則機械能守恒應用了柯尼希定理，各質點相對質心是在做轉動。本節(jié)還涉及滾動摩擦的概念，是由于剛體和接觸面都不是絕對剛性，剛體做無滑滾動時，剛體陷入接觸面而產(chǎn)生，它遠小于滑動摩擦，所以常用滾珠，滾軸軸承是為了用滾動摩擦代替滑動摩擦六、剛體的定點轉動（3個獨立變量）明確概念空間極面：剛體定點轉動時轉動瞬軸在靜止坐標系所描出的錐面本體極面：剛體定點轉動時轉動瞬軸相對于剛體自身所描出的錐面1 )運動學速度： 此時轉動點為基點，速度為零，與

39、平面平動相比，這里是三維的加速度：對速度求導即可，注意分別為轉動加速度和向軸加速度，是質點到瞬時轉動軸的垂直距離，方向垂直背離轉軸指向質點； 若為一般運動，則應加上基點的速度和加速度，變?yōu)楸硎举|點到基點的位矢除了是三維外，與平面平行運動還有不同之處，即無論是定點轉動，還是一般運動，剛體上的質點都可能同時參與幾種轉動，因而角速度一定是絕對角速度即合角速度，是分角速度的合成上面都是矢量式，務必建立坐標系，一般建立固連在剛體上隨剛體一塊轉動的隨動坐標系，作為計算的工具（明確運動參照系是地面），公式中的各矢量用表示，才能利用上述公式進行計算（注意之間的叉積關系）2）動力學了解歐拉動力學方程的推導過程，

40、做了兩次簡化，一為了使慣性系數(shù)為常數(shù)，用固連在剛體上的隨動坐標系；二為了消除慣量積，使用了慣量主軸作為坐標軸。第四章 轉動參照系 （10%）本章是研究相對于轉動參照系運動的質點的運動學和動力學，而轉動參照系一般為剛體，所以區(qū)別于第三章剛體內部一質點（無相對運動）的運動學 一、運動學（建立固連在剛體上隨剛體一塊轉動的隨動坐標系） 1， 平面轉動參照系1）速度： 為相對速度（質點相對于轉動參照系的速度）與牽連速度（被轉動參照系牽帶著一塊運動而具有的速度）的矢量和；質點相對轉動點的位矢，在這里是二維2）加速度： 與第一章的平動參照系不同，除了相對加速度 ，牽連加速度（含的項, 牽連切向加速和牽連向心

41、加速度）之外，還有一項是科氏加速度，方向由右手螺旋法則確定，是由于牽連運動和相對運動相互影響而產(chǎn)生，牽連運動改變相對運動的方向，相對運動改變牽連速度，若任意一項是零或特殊情況角速度和相對速度平行，則不存在科氏加速度運算時，建立好固連在剛體上的隨動坐標系。各矢量用隨動坐標系的表示再運算。2， 空間轉動參照系 明確在空間轉動參照系任意一矢量（相對于空間轉動參照系的坐標原點）的絕對變化率是相對變化率+牽連變化率相對變化率 是動坐標系不動時，該矢量的變化率，若相對于動坐標系是常矢量，則該項為零；牽連變化率，是被轉動參照系牽帶著一塊運動所具有的變化率，當或二者平行的時候，該項為零。1）速度與平面轉動參照

42、系相同，但意識到這里（質點相對轉動點的位矢）是三維的2) 加速度形式上與平面轉動參照系相同，但這里，都是三維，稱為是牽連向軸加速度（不是牽連向心加速度），是質點到瞬時轉動軸的垂直距離，方向垂直背離轉軸指向質點； 顯然，當質點相對轉動參照系不動時，則與第三章的剛體定點轉動公式一樣， 轉動參照系做定點轉動的基礎上推廣到一般情形，即轉動點在做平動，速度和加速度都該在加上一項，當然應歸為牽連速度和牽連加速度。與前面同理，具體操作時，應建立好固連在剛體上的隨動坐標系，各矢量用隨動坐標系的表示再運算，但明確運動參照系是靜止坐標系，求得絕對速度和絕對加速度二、 轉動參照系動力學 轉動參照系一定具有加速度，因

43、此一定是非慣性系，在非慣性系中要是牛頓地二定律形式上繼續(xù)成立，必須加上由于運動參照系具有加速度而產(chǎn)生的非相互作用力慣性力1， 平面轉動參照系從公式 出發(fā)，兩邊同乘以質量，利用慣性系中，并移項有這就是質點相對轉動參照系運動時的動力學方程（即為相對加速度），由于是非慣性系，所以必須添加上三項相應的慣性力才能得到形式上的牛頓第二定律，后面三項慣性力分別為牽聯(lián)切向慣性力、慣性離心力（因沿位矢，背離轉動點）、科氏力（用右手螺旋法則確定，但注意與科氏加速度2的方向相反與前面同理，具體操作時，應建立好固連在剛體上的隨動坐標系，各矢量用隨動坐標系的表示再運算，2， 空間轉動參照系從上式出發(fā)，兩邊同乘質量，再移

44、項形式上與平面轉動參照系相同，但這里，都是三維，在這基礎上可推得一般情形下的表達式，這里不再陳述。3， 相對平衡當質點相對于轉動參照系靜止時，相對速度和相對加速為零，沒有科氏力，這種狀態(tài)稱為相對平衡，是在相互作用力和牽連慣性力的作用下處于相對平衡狀態(tài)，可以利用它們的合力為零來解決問題。所以相對平衡應該在非慣性系中處理。四，應用（科氏力對地球自轉影響） 當研究地表上物體的運動精度比較高時，不能再把地球看作是一慣性系，由于自轉與公轉， 是非慣性系，由于公轉加速度比自轉加速度還小得多，所以一般不考慮公轉。1， 慣性離心力的影響明確重力是萬有引力與慣性離心力的合力，因慣性離心力隨緯度而減小，所以重力隨

45、緯度增加而增加，兩極處最大（等于萬有引力），但，因是較小的量，所以重力隨緯度變化不會很大2， 科氏力的影響當然只有相對地表有運動的物體才談得上科氏力 科氏力對相對地表運動的物體的影響得分北半球和南半球，在北半球科氏力總是指向質點運動方向的右側，但在南半球，正好相反，科氏力總是指向運動方向的左側，以河流的沖刷為例，在北半球，是右岸（相對河流方向來說的）沖刷較左岸嚴重，因科氏力總指向運動方向的右側。在南半球，則是左岸（相對河流方向來說的）沖刷較右岸嚴重，因科氏力總指向運動方向的左側。對于火車單線軌道除了區(qū)分南北半球外，還要注意是單向行駛還是雙向行駛。 第五章 分析力學（30%） 明白分析力學與牛頓

46、力學，研究對象都是宏觀物體，任務都是解決宏觀物體的運動規(guī)律，但所采用的方法很不相同，在牛頓力學中，最重要的量是力和加速度，矢量性很強，除了動能定理和機械能守恒定律外，幾乎都是矢量式，因此務必要建立適當?shù)淖鴺讼?，若是動力學則要進行準確的受力分析，把矢量式變?yōu)榉至渴?；若是運動學，則矢量用分量來表達（如前面的轉動參照系運動學），才能求解。而分析力學中最重要的是能量，即動能和勢能，其次確定系統(tǒng)的自由度，進而確定廣義坐標，用廣義坐標來表示能量等函數(shù)，是十分重要的一步，因而標量性很明顯，當然有時也免不了要受力分析，畢竟是力學。一、約束與廣義坐標 分析力學的研究對象：主要是相互作用著的大量質點組成的質點系，

47、我們常見的就是特殊的質點系剛體，我們稱為力學體系。單個質點當然也可用分析力學處理，不過，有時反使問題復雜化，因它的優(yōu)勢在于處理復雜體系，一方面用廣義坐標(獨立坐標)來描述力學體系使方程數(shù)減少，一方面消除未知的約束反力（目標是求解力學體系的運動規(guī)律，而不是約束反力）. 1, 約束 限制力學體系中質點自由運動的條件，通常為坐標，速度，時間的函數(shù)，該函數(shù)我們稱為約束方程，簡稱約束 按照下面不同的劃分標準，分為：1） 限制質點空間位置的約束是否顯含時間 不顯含時間，穩(wěn)定約束，形如 顯含時間，不穩(wěn)定約束，形如2） 限制質點空間位置的約束是否可解 始終不能脫離約束曲面（曲線）的約束，是不可解約束，用等式表

48、示，形如 質點雖被約束在某一曲面上，但在某一方向可以脫離，是可解約束，同時用等式和不等式表示，形如：3)是否限制質點的速度 僅限制質點的空間位置的約束，形如：稱為幾何約束，給不可解約束完全等價，幾何約束也稱為完整約束； 不僅限制質點的坐標，而且限制質點的速度，是微分約束；可積分為幾何約束的微分約束也為完整約束，所以完成約束包括幾何約束(不可解約束)和可積分為幾何約束的微分約束；而非完成約束則包括可解約束和不能積分為幾何約束的微分約束，受完整約束的力學體系是完成系，反之是非完整系，我們主要研究完整系。 我們注意到，上面分類中有相互包含的情況，如同一個約束，即可是穩(wěn)定約束，也可是不可解約束，還可是

49、幾何約束；可解約束只能是非完整約束。3， 廣義坐標 若一個有3n個質點組成的力學體系受到k個幾何約束，則描述其空間位形的獨立坐標數(shù)只需3n-k個，此時力學體系的自由度和獨立坐標數(shù)相等，若有微分約束，則自由度數(shù)可小于獨立坐標數(shù)，我們研究的是幾何約束 這3n-k=s個獨立坐標，稱其為是廣義坐標，每一質點的三個直角坐標都可用這s個獨立坐標來表示，于是整個力體系的空間位形當然就只需s個獨立坐標來描述明確位矢是廣義坐標和時間的顯函數(shù)，若不是時間的顯函數(shù)是穩(wěn)定約束的情況。廣義坐標，既然稱廣義，它可以是長度，還可是角度等，只需滿足和廣義力的乘積具有功的量綱或者說具有功的形式二， 虛功原理1. 幾個基本概念1

50、） 實位移與虛位移的區(qū)別和聯(lián)系實位移是實實在在由真實運動而發(fā)生的位移，必然經(jīng)歷時間，且受運動規(guī)律（初始條件和受力情況，所以已包含了約束條件）的限制，只有一個，用表示；而虛位移則是在某一時刻，約束所許可的條件下，假象的可能發(fā)生的位移，可能由無數(shù)多個，且不經(jīng)歷時間，不受真實運動的影響，由約束條件和該時刻所在位置決定，用表示；當在穩(wěn)定約束的情況下，實位移是諸多虛位移中的一個2）虛功所有主動力和約束反力在任意的虛位移所做的元功之和，與虛位移相應，物功能轉化，也不需經(jīng)歷時間3）理想約束 若某一力學體系的所有約束反力在任意虛位移所做元功之和為零 常見理想約束 1)光滑曲面，曲線，鉸鏈； 2)剛性桿；3)不

51、可伸長的輕繩 ；后面我們研究的就是這類理想約束2，虛功原理 研究對象是受理性的穩(wěn)定的約束且處于靜止狀態(tài)的力學體系，研究任務，是解決該類體系的靜力學平衡問題 內容： 由于3n個坐標不完全獨立，所以不能令系數(shù)為零，需用獨立的廣義坐標表示 對連續(xù)體的情況，應是主動力作用點對直角坐標系原點的位矢，從上式出發(fā)：用虛功原理解決力學體系的平衡問題的步驟1） 需建立固定的直角坐標系2） 分析主動力，3） 觀察分析體系的自由度，并確定廣義坐標4） 用廣義坐標表示主動力作用點的直角坐標5） 代入直角坐標系下的虛功原理方程（主動力滿足的平衡方程）或廣義坐標下的平衡方程程都一樣求解用虛功原理解決力學體系的平衡問題相對于力學體系的好處1） 可不考慮未知的約束反力2） 力學體系約束越多，同等條件下，平衡方程越少，這正是處理復雜體系所需要的，而牛頓力學正還相反缺點：不能求出約束反力三 （重點考查）拉格朗日方程是在達郎貝爾原理（把動力學問題轉為靜力學問題的原理）和虛功原理的基礎上推導的1基本形式的拉格朗日方程1）內容（1） ，T為力學體系的動能，