高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文：常用邏輯用語教學(xué)過程中的困惑及其反思

1、高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文（第二類）常用邏輯用語教學(xué)過程中的困惑及其反思摘要：新課程在選修中開設(shè)常用邏輯用語內(nèi)容，較老教材的簡易邏輯有很大的不同，不少教輔用書也常犯一些典型錯誤，教師在這塊內(nèi)容把握上也有諸多的疑惑；學(xué)生更是在不少問題的看法上出現(xiàn)了正與誤的激烈爭執(zhí)。關(guān)鍵詞：邏輯、命題、量詞、否定、困惑 在新課程實(shí)施過程中，大家都會碰到很多問題和困惑，而正是在我們思考解決的過程中，新課改才不斷地深放到課堂教學(xué)中。 下面就談?wù)劚救嗽诮虒W(xué)中的一些困惑和反思。一、困惑：1 關(guān)于“命題”的定義 首先看教材給出的定義：可以判斷真假的陳述句叫做命題，判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。 本人產(chǎn)生的因惑是

2、：（1）何為“可以”；（2）“真”“假”的區(qū)分標(biāo)準(zhǔn)是什么；（3）命題是否一定具備唯一的真假性？ 舉例1：語句“小明是高一的學(xué)生”是命題嗎？若這個人是認(rèn)識小明的，自然可以判斷這個語句是真是假，但這個人若不認(rèn)識小明，那么這個人又怎么能進(jìn)行判斷呢？故這個語句能否說它是命題呢? 舉例2：（摘自中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2008年12雜志中的第47頁高考數(shù)學(xué)模擬新題集錦）已知命題p：關(guān)于x 的不等式恒成立；命題q：關(guān)于x的函數(shù)在0，1上是減函數(shù)。若p或q為真命題，p且q為假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍？本人產(chǎn)生的困惑：“不等式的解集為r”這個語句能否稱之為命題？我與教研組同事討論之后得到的幾種說法：說法1：由于不知的具

3、體值，故無法對其判斷真假，所以該語句不能稱之為命題；說法2：當(dāng)2時，該語句為真命題；當(dāng)2時，該語句為假命題；說法3：因?yàn)楫?dāng)=2時，該不等式的解集不為r，則該說法錯誤，故該語句為假命題。若將上例做一改動，即刪除相關(guān)的命題概念則就不會存在如此之多的不解，如：已知p：關(guān)于x 的不等式恒成立； q：關(guān)于x的函數(shù)在0，1上是減函數(shù)。若p與q有且只有一個正確，則實(shí)數(shù)的取值范圍？出題者可謂是煞費(fèi)苦心，此題不僅能通過對“p或q”，“p且q”真假性的考查，還可以考查學(xué)生求解含參不等式恒成立，函數(shù)單調(diào)性等知識點(diǎn)，能夠考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本技能與問題轉(zhuǎn)化能力。對于說法2，很多教師在教學(xué)當(dāng)中也不知不覺地講述過此類話

4、語，但豈不是出現(xiàn)“一個命題，它既可是真，也可以是假的”這是不是與命題的定義相違背呢？ 由此本人對“p或q”，“p且q”真假性的定義產(chǎn)生了疑惑：首先來看教材給出的定義：（1）當(dāng)p，q兩個命題有一個命題為真時，“p或q”是真命題，當(dāng)p，q兩個命題都是假命題時，“p或q”是假命題，（2）p，q兩個命題都是真命題時，“p且q”是真命題，p，q兩個命題有一個命題為假時，“p且q”是假命題。顯然根據(jù)定義，“p或q”，“p且q”真假性的判斷是基于p,q兩個均為命題的前提之下的，那么當(dāng)p，q不是命題時，是否還所謂有“p或q”，“p且q”真假性呢？故給我的提示是我們老師在編題時注意概念的嚴(yán)謹(jǐn)性，不能為了考查某個

5、知識點(diǎn)，而去刻意的編織框架。對于說法（3）是來自學(xué)生的解答，認(rèn)為p,q均為假命題，則題目中的條件“p或q”為真命題，“p且q”為假命題自相矛盾，此題不能求解。這恐怕更是出題者不曾想到的。舉例3：下列語句是不是命題，若是，判斷真假：語句（1）;語句（2）對于所有的（摘自教材1.4節(jié)）教材當(dāng)中是這樣解釋的：語句（1）含有變量x，由于不知道變量x代表什么數(shù)，無法判斷它的真假，因而不是命題，語句（2）在（1）的基礎(chǔ)上，用短語“對所有的”對變量x進(jìn)行限定，從而語句（2）成為可以判斷的語句，因此，語句（2）是命題?；谶@樣的解釋，我們自然會對上述兩個舉例似乎有了一個借鑒的案例，上述疑惑也似乎得以解決，但本

6、人又想到：對于所有的算是對變量x的限定嗎？因?yàn)樵诮滩牡谝还?jié)中闡述“命題”定義時，在旁白的注釋中指出“對于含變量的命題，若變量的取值范圍為r時，則可以省略不寫”，那自然我們可以認(rèn)為語句（1）（2）是一樣的，如此，教材又豈不是前后自相矛盾嗎？2、關(guān)于四種命題的真假關(guān)系首先看這個命題1：“若，則x0”的真假性一拿到這個命題，我們很自然認(rèn)為它是一個假命題，因?yàn)榇瞬坏仁降慕饧癁榭占?，顯然x0不成立，故此為假命題。我們再來看它的逆否命題2：若，則，顯然這是真命題。如此，本人的疑惑不禁產(chǎn)生：“原命題與其逆否命題同真假”是否還成立？我在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考中看到這樣的解釋：此不等式的解集為空集，而空集是任何集合的

7、子集，故可推出x0成立，則原命題1是真命題。對于此解釋本人認(rèn)為有一定合理的一面，從集合的角度，借助充分性的邏輯推導(dǎo)，但我們也應(yīng)該看到，一旦這種說法成立，那么以后學(xué)生解這個不等式的答案豈不是可寫成？3、 關(guān)于命題的否定與否命題教材在講否命題時是這樣定義的：其中一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件和結(jié)論的否定，我們把這樣的的兩個命題叫做互否命題，如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做的否命題，也就是說“若p則q”形式的否命題為“若p則q”?；诖硕x，本人又有這樣的困惑：（1）何為否定？（2）每個命題是否都有條件和結(jié)論？對于否定，教材在后面的兩節(jié)內(nèi)容簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞和全稱量詞與特稱量詞中給

8、出了相關(guān)”否定”的規(guī)定:一般地,對一個命題p全盤否定,就得到一個新命題,記作p,讀作”非p”或”p的否定”;并且規(guī)定:若p是真命題, p為假命題,若p是假命題,則p為真命題. 對于這些規(guī)定,似乎我們以明確如何去否定,教材當(dāng)中給出一些例子加以說明:如：“y=sinx是周期函數(shù)”的否定為“y=sinx不是周期函數(shù)”等類似這樣的簡單命題的否定，但我還注意到教材在旁白中提出“注意命題的否定與否命題的區(qū)別”。那么“y=sinx是周期函數(shù)”的否命題又是怎樣去寫呢，有些學(xué)生就說其否命題為“y=sinx不是周期函數(shù)”，這樣又如何讓學(xué)生去理解注意命題的否定與否命題的區(qū)別呢？有些教師為了讓學(xué)生能將其區(qū)別開來，又特

9、地舉了“若p則q”形式命題的否定，加以區(qū)分。這樣確實(shí)有一定的效果，但我注意到教材在處理例子的時候，似乎在回避對“若p則q”形式命題的否定。本人在一本課外參考書看到一道題，題目是這樣的：寫出下列命題的否定（1） 若x,y都是奇數(shù)，則x+y是偶數(shù)參考答案：若x,y都是奇數(shù)，則x+y不是偶數(shù)（2） 若一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)是奇數(shù)參考答案：若一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)使我困惑的是：“是”的否定究竟為“不是”還是“不一定是”如果將（1）的否定寫成“若x,y都是奇數(shù)，則x+y不一定是偶數(shù)”；（2）的否定寫成“若一個數(shù)是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)”為什么不行呢？我們自然可以用“非p”與“p”的真假相

10、反加以駁斥，這樣的解釋也合情合理。但我們是不是再來思考這個問題：（1）（2）兩個命題的否命題怎么寫呢？如（2）的否命題是寫成“若一個數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)”，還是寫成“若一個數(shù)不是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不一定是奇數(shù)”；還是寫成“若一個數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不一定是奇數(shù)” ；還是寫成“若一個數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，則這個數(shù)不是奇數(shù)”。由于互否關(guān)系個命題的真假性不存在必然性，所以我們應(yīng)寫成哪個形式呢？還是一個命題的否命題并不唯一？正因?yàn)檫@些不確定，這也使我理解教材在例子選擇處理時的原因了。二、反思 有關(guān)命題的各種爭論也由來已久，作為一線教師，特別是像本人這樣的年輕教師在日常的教學(xué)中更應(yīng)注意些什么問題呢？我

11、想應(yīng)搞清以下幾方面：1 知識內(nèi)容的整體定位為了更好地把握常用邏輯用語的要求，首先需要明確整體地位。標(biāo)準(zhǔn)對常用邏輯用語這部分內(nèi)容的整體定位如下：“正確地使用邏輯用語是現(xiàn)代社會公民應(yīng)該具備的基本素質(zhì)。無論是進(jìn)行思考、交流，還是從事各項(xiàng)工作，都需要正確地運(yùn)用邏輯用語表達(dá)自已的思想。在本模塊中，學(xué)生將在義務(wù)教育基礎(chǔ)上，學(xué)習(xí)常用邏輯用語，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，更好地進(jìn)行交流。”“常用邏輯用語”的課程目標(biāo)是幫助學(xué)生正確使用常用邏輯用語，更好地理解數(shù)學(xué)內(nèi)容中的邏輯關(guān)系，體會邏輯用語在表述和論證中的作用，利用這些邏輯用語準(zhǔn)確地表達(dá)數(shù)學(xué)內(nèi)容，更好地進(jìn)行交流避免在使

12、用過程中產(chǎn)生錯誤。高中數(shù)學(xué)課程中，學(xué)“常用邏輯用語”不是為邏輯學(xué)和數(shù)理邏輯打下基礎(chǔ)，這與老教材中“簡易邏輯”的目標(biāo)是不同的。在高中階段，我們沒有必要形式地理解常用邏輯用語在“邏輯學(xué)”和“數(shù)理邏輯”中的確切含義。重點(diǎn)是理解常用邏輯用語在認(rèn)識和表達(dá)數(shù)學(xué)中的作用。對于“常用邏輯用語”的學(xué)習(xí)，我們不應(yīng)側(cè)重于概念上，而是重在使用，在使用中不斷地加深對常用邏輯用語的認(rèn)識。2 教學(xué)要求的定位根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)具體內(nèi)容的要求上，新課程與老教材相比有明顯的區(qū)別。新課程在要求上較老教材低了一些，在本部分教學(xué)中，我們應(yīng)突出實(shí)例，淡化形式，例如，對于一個具體的命題，理解它的否定命題的真假并不難。但是，對于一般形式的命題“若p則

13、q”,認(rèn)識這個命題的否定的含義就比較困難，因此我們不需要形式地討論這類問題。在平常地教學(xué)中，我們應(yīng)盡量避免舉一些容易產(chǎn)生岐義或混淆的例子，我們應(yīng)以學(xué)生已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)內(nèi)容作為載體，幫助學(xué)生會正確地使用邏輯用語，加深對已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識之間的邏輯聯(lián)系和數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，注重聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)。3重新理解命題的定義判斷和命題都是邏輯學(xué)中的詞語。所謂判斷,就是認(rèn)識主體(思維者)對客體(思維對象)有所斷定的思維形式,或者說,判斷是思維者對思維對象有所肯定或有所否定的思維形式。判斷有兩個基本特征:一是對思維對象“有所斷定”,二是有“真假之分”。而命題邏輯學(xué)上指表示判斷的語言形式,由系詞把主詞和賓詞聯(lián)系而成。通

14、俗地說命題就是表示判斷的語句。由于表示判斷的語句是有真假意義的,而具有真假意義的語句通常是對某一事情的斷言,所以新課程把“可以判斷真假的陳述句叫命題”也并無不妥。當(dāng)然“可以判斷真假”指語句具有“有所斷定”的特征,而并不表示我們是否有能力或是否已經(jīng)確定了其真假。故在前文當(dāng)中“小明是高一的學(xué)生”這個語句是否是命題得到了很好的詮釋。4 理解新增內(nèi)容-量詞新課程在這章的編寫意圖上確實(shí)較老教材有較大的改善的提高，如全稱量詞和特稱量詞的提出，對于學(xué)生在數(shù)學(xué)邏輯的訓(xùn)練有較大的好處：如反證法的正確使用。基于標(biāo)準(zhǔn)中對量詞的要求，我想我們在教學(xué)中應(yīng)當(dāng)作為整章的側(cè)重點(diǎn)之一，可以觀注以下兩面方面：（1）在教學(xué)中通過實(shí)

15、例，結(jié)合具體命題幫助學(xué)生來理解全稱量詞、存在量詞的意義，了解量詞在日常生活和數(shù)學(xué)中的各種表達(dá)形式及作用。（2）教學(xué)中重點(diǎn)應(yīng)在解決含有一個量詞的命題的否定形式現(xiàn)舉例加以說明：p:奇數(shù)是質(zhì)數(shù);怎么寫它的否定？非q:奇數(shù)不是質(zhì)數(shù).這時,p是假,“非p”也是假,又與復(fù)合命題的真值表矛盾了.問題又出在哪里呢?事實(shí)上,命題p省略了“全稱量詞”,這里的“奇數(shù)”是指“所有的奇數(shù)”,而全稱量詞的否定應(yīng)是存在量詞,所以p即為:所有奇數(shù)都是質(zhì)數(shù).“非p”應(yīng)為:有些奇數(shù)不是質(zhì)數(shù).也可寫成:奇數(shù)不都是質(zhì)數(shù).還可寫成:存在一些奇數(shù)不是質(zhì)數(shù).這樣,p假,“非p”真.由上例，我們可以看出，在寫相關(guān)命題的否定時，不應(yīng)關(guān)注形式，

16、而應(yīng)看其本質(zhì)，幫助學(xué)生養(yǎng)成正確的數(shù)學(xué)表述。三、建議數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?、邏輯性很?qiáng)的學(xué)科,處處涉及命題之間的邏輯關(guān)系, 數(shù)學(xué)和邏輯的聯(lián)系非常緊密,涉及的面很廣,本教材在講述時有些地方時不是很明確，而我們從不同的角度考慮也確實(shí)存在一些矛盾，用簡易邏輯知識來回答中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐中遇到的問題,確實(shí)是力不從心,有時甚至是不可能的。因此對某些“矛盾”,在中學(xué)階段采取“回避”的處理方式可能更為恰當(dāng),“完美”的解答有待進(jìn)一步的學(xué)習(xí)來解決。但對于我們的高中生而言，在高考這個指揮棒下，容易使學(xué)生產(chǎn)生困惑甚至迷茫，負(fù)面效應(yīng)不容忽視，這顯然不是我們愿意看到的。使我想到，我們的新教材在內(nèi)容的選編上是否有一定的不合理性，所以本人認(rèn)為能否在一些定義上加以改進(jìn)，如：（1）“命題”定義可否更好地與初中教材的定義銜接，（2）可否刪除“命題”的概念體系。 對于高中生他以具備判斷能力，只要能讓學(xué)生會判斷某語句說法正確與否，即已達(dá)到我們的教學(xué)目的了，又何必非要加上是真命題還是假命題呢？所謂上文提到的有關(guān)命題的否定與否命題的相關(guān)困惑，如果刪除“命題”的概念體系，這樣的困惑自然也就消除了，而事實(shí)上，命題的否定其本質(zhì)就是相互對立事