求數(shù)列的前n項(xiàng)和列(教案+例題+習(xí)題)

1、四.數(shù)列求和的常用方法1.公式法：等差數(shù)列求和公式；等比數(shù)列求和公式,特別聲明：運(yùn)用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與常用公式：n(n 1)1222的關(guān)系，必要時(shí)需分類討論.n2 如n 1）（2n 1）,例1、已知10g 3 x,求 x log 2 3的前n項(xiàng)和.解：由log 3 xlog 2 310g 3xlog 3 2由等比數(shù)列求和公式得snx（利用常用公式）x(1 xn)1 x2(1121=12n2練一練：等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn = 2n - 1 ,則a12a22a32an2.分組求和法：在直接運(yùn)用公式法求和有困難時(shí)，常將“和式”中 起，再運(yùn)用公式法求和.“同類項(xiàng)”先合并在例2、 求

2、數(shù)列的前n項(xiàng)和:一 -1解：設(shè) sn (1 1) ( 4) a1 1,-a昌a4;3n2,7)(a3n2)可編輯將其每一項(xiàng)拆開(kāi)再重新組合得sn (1a= 1時(shí),sn，)n 1 ) a(3n 1)n(13n2)（分組）(3n1)n2（分組求和）a 1時(shí),sn(3n 1)n2(3n1)n2求和：&7 l ( 1)n (2n 1)3.倒序相加法：若和式中到首尾距離相等的兩項(xiàng)和有其共性或數(shù)列的通項(xiàng)與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則?？煽紤]選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前 n和公式的推導(dǎo)方法）例 3、求sin2 1 sin22 sin23. 2 一. 2 一sin 88sin 89 的值解：設(shè) s

3、 sin 21 sin2 2 sin2 322sin 88 sin 89 .將式右邊反序得_2 _2 一s sin 89 sin 882 _2 -2sin 3 sin 2 sin 1（反序）22.又因?yàn)?sin x cos(90x), sin x cos x 1+得2s (sin21cos21 )(sin2 2cos2 2 )(反序相加)22(sin 89 cos 89 ) =89s=44.5練一練：已知f （x）2x1 x2一 1 1 1，則ffff叼fq f(4)=4.錯(cuò)位相減法：如果數(shù)列的通項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)與一個(gè)等比數(shù)列的通項(xiàng)相乘構(gòu)成，那么常選用錯(cuò)位相減法（這也是等比數(shù)列前n和公

4、式的推導(dǎo)方法）.例 4、求和：sn 1 3x 5x2 7x3（2n 1）xn 1解：由題可知，（2n 1）xn 1的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n 1的通項(xiàng)與等比數(shù)列xn1的通項(xiàng)之設(shè) xsn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn（設(shè)制錯(cuò)位）一得(1 x)sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn1 (2n 1)xn(錯(cuò)位相減)再利用等比數(shù)列的求和公式得:(1 x)snn 11 xn1 2x (2n 1)x1 xsn(2n 1)xn1 (2n 1)xn (1 x)(1 x)2例5、求數(shù)列z,-,-6, ,2v, 前n項(xiàng)的和.2 2 22解：由題可知,2n的通項(xiàng)是等差數(shù)列2n的通項(xiàng)與等比數(shù)列4的通項(xiàng)

5、之積2n2n設(shè)sn2sn222了4224262362一得（12n- 2n2n2r222222324222n廠減）2n2 n 1（設(shè)制錯(cuò)位）（錯(cuò)位相sn4n 2 2n 1練一練：設(shè)an為等比數(shù)列，tn na1 （n 1）a2 l2% 1 an ,已知 t1 1 , 丁24,求數(shù)列an的首項(xiàng)和公比；求數(shù)列 tn的通項(xiàng)公式5.裂項(xiàng)相消法：如果數(shù)列的通項(xiàng)可“分裂成兩項(xiàng)差”的形式，且相鄰項(xiàng)分裂后相關(guān)聯(lián)，那么常選用裂項(xiàng)相消法求和.常用裂項(xiàng)形式有:11111(11 )n(n 1) n n 1 n(n k) kn n k，11111111-2 -2 t ),- k2 k2 1 2 k 1 k 1 k k 1

6、(k 1)k111-2k (k 1)k k 11n(n 1)(n 2)11;2 n(n 1) (n 1)(n 2) (n 1)!11n! (n 1)! 2( n 1 、, n) -2n . n 1122( n n 1).n . n 、n 1例6、11求數(shù)列 ，1,2 .2的前n項(xiàng)和.1 -（裂解：設(shè) an n= vn 1 7n .n 、. n 1項(xiàng))（裂項(xiàng)求111n 1. 2. 2. 3n 、n 1和）= ( 2. 1) ( ,3 ,2)例7、在數(shù)列an中，ann2，又bn ,求數(shù)列bn的前n 1an an 1n項(xiàng)的和.解：anbn1n 12n n 12 28(- n.數(shù)列bn的前n項(xiàng)和（裂項(xiàng)）c1s 8(1 1)1=8(1 - n1 1(2 3)(1n（裂項(xiàng)求和）練一練：（1）求和:（2）在數(shù)列1r4an中，an8nn 1(3n 2) (3n 1)6.通項(xiàng)轉(zhuǎn)換法：先對(duì)通項(xiàng)進(jìn)行變形，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在特征，再運(yùn)用分組求和法求和。例8、求1 11111111n個(gè)11之和.角單：由于1111999k個(gè)11 k(10 91)（找通項(xiàng)及特征）11111111=-(1091 2 (109131) 9(101)抑1103n 110 ) -(1 1 11)11)n個(gè)1n個(gè)1102n 1)（分組求和）-10(10n 1) n