相似三角形難題集錦[教育材料]

1、 相似三角形1.如圖，在RtABC中，ACB=90，AC=3，BC=4，過點(diǎn)B作射線BB1AC動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AC方向以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C沿射線AC方向以每秒3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)過點(diǎn)D作DHAB于H，過點(diǎn)E作EFAC交射線BB1于F，G是EF中點(diǎn)，連接DG設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t為何值時(shí)，AD=AB，并求出此時(shí)DE的長(zhǎng)度；（2）當(dāng)DEG與ACB相似時(shí)，求t的值2.如圖，在ABC中，ABC90，AB=6m，BC=8m，動(dòng)點(diǎn)P以2m/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C移動(dòng)同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q以1m/s的速度從C點(diǎn)出發(fā)，沿CB向點(diǎn)B移動(dòng)當(dāng)其中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，它們都停止移動(dòng)設(shè)

2、移動(dòng)的時(shí)間為t秒（1）當(dāng)t=2.5s時(shí)，求CPQ的面積；求CPQ的面積S（平方米）關(guān)于時(shí)間t（秒）的函數(shù)解析式；（2）在P，Q移動(dòng)的過程中，當(dāng)CPQ為等腰三角形時(shí)，求出t的值3.如圖1，在RtABC中，ACB90，AC6，BC8，點(diǎn)D在邊AB上運(yùn)動(dòng)，DE平分CDB交邊BC于點(diǎn)E，EMBD，垂足為M，ENCD，垂足為N（1）當(dāng)ADCD時(shí)，求證：DEAC；（2）探究：AD為何值時(shí)，BME與CNE相似？4.如圖所示，在ABC中，BABC20cm，AC30cm，點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著AB以每秒4cm的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從C點(diǎn)出發(fā)，沿CA以每秒3cm的速度向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，Q點(diǎn)隨之停止運(yùn)

3、動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x（1）當(dāng)x為何值時(shí)，PQBC？（2）APQ與CQB能否相似？若能，求出AP的長(zhǎng)；若不能說明理由5.如圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm，點(diǎn)P沿AB邊從A開始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開始向點(diǎn)A以1cm/s的速度移動(dòng)如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0t6）。（1）當(dāng)t為何值時(shí)，QAP為等腰直角三角形？（2）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與ABC相似？ 6.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，1)，正比例函數(shù)y=kx的圖象與線段OA的夾角是45，求這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式7.在ABC中，AB=，AC=4，BC=

4、2，以AB為邊在C點(diǎn)的異側(cè)作ABD，使ABD為等腰直角三角形，求線段CD的長(zhǎng)8.在ABC中，AC=BC，ACB=90，點(diǎn)M是AC上的一點(diǎn)，點(diǎn)N是BC上的一點(diǎn)，沿著直線MN折疊，使得點(diǎn)C恰好落在邊AB上的P點(diǎn)求證：MC：NC=AP：PB9.如圖，在直角坐標(biāo)系中，矩形ABCO的邊OA在x軸上，邊OC在y軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，3），將矩形沿對(duì)角線AC翻折B點(diǎn)落在D點(diǎn)的位置，且AD交y軸于點(diǎn)E那么D點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.10.已知，如圖，直線y=2x2與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)以AB為短邊在第一象限做一個(gè)矩形ABCD，使得矩形的兩邊之比為12。求C、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)。 11.如圖：ABC中，D

5、是AB上一點(diǎn)，AD=AC，BC邊上的中線AE交CD于F。求證：12.四邊形ABCD中，AC為AB、AD的比例中項(xiàng)，且AC平分DAB。求證：13.在梯形ABCD中，ABCD，ABb，CDa，E為AD邊上的任意一點(diǎn)，EFAB，且EF交BC于點(diǎn)F，某同學(xué)在研究這一問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)如下事實(shí)：(1)當(dāng)時(shí)，EF=；(2)當(dāng)時(shí)，EF=；(3)當(dāng)時(shí)，EF=當(dāng)時(shí)，參照上述研究結(jié)論，請(qǐng)你猜想用a、b和k表示EF的一般結(jié)論，并給出證明14.已知：如圖，在ABC中，M是AC的中點(diǎn)，E、F是BC上的兩點(diǎn)，且BEEFFC。求BN：NQ：QM15.證明：（1）重心定理：三角形頂點(diǎn)到重心的距離等于該頂點(diǎn)對(duì)邊上中線長(zhǎng)的（注：重心是

6、三角形三條中線的交點(diǎn)）.（2）角平分線定理：三角形一個(gè)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例16.如圖，在等邊ABC中，M、N分別是邊AB，AC的中點(diǎn)，D為MN上任意一點(diǎn)，BD、CD的延長(zhǎng)線分別交AC、AB于點(diǎn)E、F求證：17.已知：如圖，梯形ABCD中，AB/DC，對(duì)角線AC、BD交于O，過O作EF/AB分別交AD、BC于E、F。求證：18.如圖，在ABC中，已知CD為邊AB上的高，正方形EFGH的四個(gè)頂點(diǎn)分別在ABC上。求證：19.已知，在ABC中作內(nèi)接菱形CDEF，設(shè)菱形的邊長(zhǎng)為a求證： 20.（1）如圖1，點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線BD上，一直線過點(diǎn)P分別交BA，

7、BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，S，交于點(diǎn)求證：（2）如圖2，圖3，當(dāng)點(diǎn)在平行四邊形ABCD的對(duì)角線或的延長(zhǎng)線上時(shí)，是否仍然成立？若成立，試給出證明；若不成立，試說明理由（要求僅以圖2為例進(jìn)行證明或說明）；21.如圖，在平行四邊形ABCD中，過點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且AFEB.(1) 求證：ADFDEC(2) 若AB4,AD3,AE3,求AF的長(zhǎng).22.如圖，已知等腰三角形ABC中，AD，BF分別為BC，AC邊上的高，過D作AB的垂線交AB于E，交BF于G，交AC延長(zhǎng)線于H。求證： DE2=EGEH 23.已知如圖，P為平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC上一點(diǎn)，過P的直線與A

8、D、BC、CD的延長(zhǎng)線、AB的延長(zhǎng)線分別相交于點(diǎn)E、F、G、H.求證：24.已知，如圖，銳角ABC中，ADBC于D，H為垂心（三角形三條高線的交點(diǎn)）；在AD上有一點(diǎn)P，且BPC為直角求證：PD2ADDH 。25.已知如圖，CD是RtABC斜邊AB上的高，E為BC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交CA于F。求證：26如圖，在RtABC中，CD是斜邊AB上的高，點(diǎn)M在CD上，DHBM且與AC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E.求證：（1）AEDCBM；（2）27.如圖，ABC是直角三角形，ACB=90，CDAB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.（1）求證：.（2）若G是BC的中點(diǎn)，連接GD，GD與EF垂

9、直嗎？并說明理由.28.如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N求證：29.如圖，BD、CE分別是ABC的兩邊上的高，過D作DGBC于G，分別交CE及BA的延長(zhǎng)線于F、H。求證：（1）DG2BGCG；（2）BGCGGFGH 30.ABC和DEF是兩個(gè)等腰直角三角形，A=D=90，DEF的頂點(diǎn)E位于邊BC的中點(diǎn)上（1）如圖1，設(shè)DE與AB交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，求證：BEMCNE；（2）如圖2，將DEF繞點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)，使得DE與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，EF與AC交于點(diǎn)N，于是，除（1）中的一對(duì)相似三角形外，能否再找出一對(duì)相似三角形并證明

10、你的結(jié)論31.如圖，四邊形ABCD和四邊形ACED都是平行四邊形，點(diǎn)R為DE的中點(diǎn)，BR分別交AC、CD于點(diǎn)P、Q（1）請(qǐng)寫出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1除外）；（2）求BP：PQ：QR32.如圖，在ABC中，ADBC于D，DEAB于E，DFAC于F。求證：33.如圖，RtAB C 是由RtABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，連結(jié)CC 交斜邊于點(diǎn)E，CC 的延長(zhǎng)線交BB 于點(diǎn)F（1）證明：ACEFBE；（2）設(shè)ABC=，CAC =，試探索、滿足什么關(guān)系時(shí)，ACE與FBE是全等三角形，并說明理由34.在直角梯形OABC中，CBOA，COA90，CB3，OA6，BA3分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、

11、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD5，OE2EB，直線DE交x軸于點(diǎn)F求直線DE的解析式；（3）點(diǎn)M是（2）中直線DE上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，在x軸上方的平面內(nèi)是否存在另一個(gè)點(diǎn)N使以O(shè)、D、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由ABDEFCOMNxy圖15-2ADOBC21MN圖15-1ADBMN12圖15-3ADOBC21MNO35.在圖15-1至圖15-3中，直線MN與線段AB相交于點(diǎn)O，1=2=45（1）如圖15-1，若AO=OB，請(qǐng)寫出AO與BD 的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；（2）將圖15-1中的M

12、N繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到圖15-2，其中AO=OB求證：AC=BD，ACBD；（3）將圖15-2中的OB拉長(zhǎng)為AO的k倍得到圖15-3，求的值36.如圖，在正方形ABCD中，E是BC上的一點(diǎn),連結(jié)AE，作BFAE，垂足為H,交CD于F,作CGAE,交BF于G. (1)求證CG=BH; (2)FC2=BFGF; (3) =.BACDHEFG37.劉衛(wèi)同學(xué)在一次課外活動(dòng)中，用硬紙片做了兩個(gè)直角三角形，見圖、圖中，B=90，A=30，BC=6cm；圖中，D=90，E=45，DE=4 cm圖是劉衛(wèi)同學(xué)所做的一個(gè)實(shí)驗(yàn)：他將DEF的直角邊DE與ABC的斜邊AC重合在一起，并將DEF沿AC方向移動(dòng)在移動(dòng)過程中

13、，D、E兩點(diǎn)始終在AC邊上(移動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)D與點(diǎn)A重合) (1)在DEF沿AC方向移動(dòng)的過程中，劉衛(wèi)同學(xué)發(fā)現(xiàn)：F、C兩點(diǎn)間的距離逐漸 (填“不變”、“變大”或“變小”) (2)劉衛(wèi)同學(xué)經(jīng)過進(jìn)一步地研究，編制了如下問題： 問題：當(dāng)DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，F(xiàn)、C的連線與AB平行? 問題：當(dāng)DEF移動(dòng)至什么位置，即AD的長(zhǎng)為多少時(shí)，以線段AD、FC、BC的長(zhǎng)度為三邊長(zhǎng)的三角形是直角三角形? 問題：在DEF的移動(dòng)過程中，是否存在某個(gè)位置，使得FCD=15?如果存在， 求出AD的長(zhǎng)度；如果不存在，請(qǐng)說明理由 請(qǐng)你分別完成上述三個(gè)問題的解答過程38.已知ABC中，AB2，AC4，BC6（1

14、）如圖1點(diǎn)M為AB的中點(diǎn)，在線段AC上取點(diǎn)N，使AMN與ABC相似，求線段MN的長(zhǎng)；（2）如圖2,是由100個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的1010正方形網(wǎng)格，設(shè)頂點(diǎn)在這些小正方形頂點(diǎn)的三角形為格點(diǎn)三角形，請(qǐng)你在所給的網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)A1B1C1，使得A1B1C1與ABC全等（畫出一個(gè)即可，不需證明）試直接寫出在所給的網(wǎng)格中與ABC相似且面積最大的格點(diǎn)三角形的個(gè)數(shù)，并畫出其中的一個(gè)（不需證明） 39.已知直角坐標(biāo)系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0)，(0,3).現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,Q分別從A,C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段AD向終點(diǎn)D 運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q沿折線CBA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.(

15、1)填空：菱形ABCD的邊長(zhǎng)是 、面積是 、高BE的長(zhǎng)是 ；(2)探究下列問題：若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度為每秒2個(gè)單位.當(dāng)點(diǎn)Q在線段BA上時(shí)，求APQ的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，以及S的最大值。若點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位，點(diǎn)Q的速度變?yōu)槊棵雓個(gè)單位，在運(yùn)動(dòng)過程中,任何時(shí)刻都有相應(yīng)的k值，使得APQ沿它的一邊翻折，翻折前后兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形.請(qǐng)?zhí)骄慨?dāng)t=4秒時(shí)的情形，并求出k的值.40.ABC中，AB=AC，D為BC的中點(diǎn)，以D為頂點(diǎn)作MDN=B（1）如圖（1）當(dāng)射線DN經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，DM交AC邊于點(diǎn)E，不添加輔助線，寫出圖中所有與ADE相似的三角形（2）如圖（2），將MDN繞點(diǎn)D沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，DM，DN分別交線段AC，AB于E，F(xiàn)點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A不重合），不添加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結(jié)論（3）在圖（2）中，若AB=AC=10，BC=