函數(shù)的極值和最值(講解)[學(xué)練結(jié)合]

1、函數(shù)的極值和最值【考綱要求】1.掌握函數(shù)極值的定義。2.了解函數(shù)的極值點(diǎn)的必要條件和充分條件. 3.會(huì)用導(dǎo)數(shù)求不超過三次的多項(xiàng)式函數(shù)的極大值和極小值4.會(huì)求給定閉區(qū)間上函數(shù)的最值?！局R(shí)網(wǎng)絡(luò)】函數(shù)極值的定義函數(shù)極值點(diǎn)條件函數(shù)的極值求函數(shù)極值函數(shù)的極值和最值函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值【考點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、函數(shù)的極值函數(shù)的極值的定義一般地，設(shè)函數(shù)在點(diǎn)及其附近有定義，（1）若對(duì)于附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極大值，記作；（2）若對(duì)附近的所有點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值，記作.極大值與極小值統(tǒng)稱極值.在定義中，取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)，極值點(diǎn)是自變量的值，極值指的是函數(shù)值.要點(diǎn)詮釋：求函數(shù)極值

2、的的基本步驟：確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；檢查在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，則f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，則f(x)在這個(gè)根處取得極小值.(最好通過列表法)要點(diǎn)二、函數(shù)的最值1.函數(shù)的最大值與最小值定理若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則在上必有最大值和最小值；在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值.如.要點(diǎn)詮釋：函數(shù)的最值點(diǎn)必在函數(shù)的極值點(diǎn)或者區(qū)間的端點(diǎn)處取得。函數(shù)的極值可以有多個(gè)，但最值只有一個(gè)。2.通過導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的的基本步驟：若函數(shù)在閉區(qū)間有定義，在開區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則求函數(shù)在上的最大值和最小值的步驟如下：（1）求函數(shù)在內(nèi)的導(dǎo)數(shù)；（2）求方程在內(nèi)的根；（3）求

3、在內(nèi)使的所有點(diǎn)的函數(shù)值和在閉區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，；（4）比較上面所求的值，其中最大者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，最小者為函數(shù)在閉區(qū)間上的最小值.【典型例題】類型一：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值等問題例1.已知函數(shù)若函數(shù)處取得極值，試求的值，并求在點(diǎn)處的切線方程；【解析】因?yàn)樘幦〉脴O值所以所以。又所以在點(diǎn)處的切線方程即.舉一反三：【變式1】設(shè)為實(shí)數(shù)，函數(shù)(1)求的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)且時(shí)， 【解析】（1）由知令，得于是當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：0+單調(diào)遞減單調(diào)遞增故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，處取得極小值，極小值為(2)證明：設(shè)，于是，由(1)知當(dāng)時(shí)，最小值為于是對(duì)任意，都有，所以在R

4、內(nèi)單調(diào)遞增于是當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，都有而，從而對(duì)任意即，故【變式2】函數(shù)的定義域?yàn)閰^(qū)間（a，b），導(dǎo)函數(shù)在（a，b）內(nèi)的圖如圖所示，則函數(shù)在（a，b）內(nèi)的極小值有（）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)【答案】由極小值的定義，只有點(diǎn)B是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故選A。類型二：利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的最值問題【高清課堂：函數(shù)的極值和最值394579 典型例題三】例2.已知函數(shù)其中。 （1）若函數(shù)存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；并確定此時(shí)是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，請(qǐng)說明理由?！窘馕觥浚?）因?yàn)楹瘮?shù)存在零點(diǎn)，則有實(shí)根，即（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)橛?，則由，則由，則列表如下：+0

5、-0+增極大值減極小值增所以在，上單調(diào)增，在上單調(diào)減。又知當(dāng)時(shí)，；時(shí)，；而，所以存在最小值.舉一反三：【變式】已知函數(shù)(),.(1)若曲線與曲線在它們的交點(diǎn)(1,)處具有公共切線,求的值;(2)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間上的最大值.【解析】(1)由為公共切點(diǎn)可得:,則, ,則, 又,即,代入式可得:. (2),設(shè) 則,令,解得:,; , 原函數(shù)在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增 若,即時(shí),最大值為; 若,即時(shí),最大值為 若時(shí),即時(shí),最大值為. 綜上所述:當(dāng)時(shí),最大值為;當(dāng)時(shí),最大值為. 例3.設(shè)（）若在上存在單調(diào)遞增區(qū)間，求的取值范圍；（）當(dāng)時(shí)，在1，4上的最小值為，求在該區(qū)間上的

6、最大值 【解析】（）由 當(dāng)時(shí)，的最大值為； 令，得， 所以，當(dāng)時(shí)，在上存在單調(diào)遞增區(qū)間（）令，得兩根， 所以在，上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 當(dāng)時(shí)，有， 所以在1，4上的最大值為 又，即， 所以在1，4上的最小值為， 得，從而在1，4上的最大值為舉一反三：【變式1】設(shè)函數(shù)求的最小值;【解析】函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，1） 令當(dāng)時(shí)，, 在區(qū)間是減函數(shù)；當(dāng)時(shí)，, 在區(qū)間是增函數(shù).在時(shí)取得最小值且最小值為.【變式2】已知函數(shù)f（x）x3ax2bxc在x與x1時(shí)都取得極值（1）求a、b的值與函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間（2）若對(duì)x1，2，不等式f（x）c2恒成立，求c的取值范圍。【解析】（1）f（x）x3ax

7、2bxc，f（x）3x22axb由f（），f（1）32ab0得a，b2f（x）3x2x2（3x2）（x1），函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間如下表：x（，）（，1）1（1，）f（x）00f（x）極大值極小值所以函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間是（，）與（1，），遞減區(qū)間是（，1）（2）f（x）x3x22xc，x1，2，當(dāng)x時(shí)，f（x）c為極大值，而f（2）2c，則f（2）2c為最大值。要使f（x）f（2）2c，解得c2。類型三：導(dǎo)數(shù)在研究實(shí)際問題中最值問題的應(yīng)用例4.某企業(yè)擬建造如圖所示的容器(不計(jì)厚度，長(zhǎng)度單位：米)，其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設(shè)計(jì)要求容器的體積為立方米，且假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)已知圓柱形部分每平方米建造費(fèi)用為3千元，半球形部分每平方米建造費(fèi)用為千元設(shè)該容器的建造費(fèi)用為千元 (1)寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；(2)求該容器的建造費(fèi)用最小時(shí)的【解析】(1)設(shè)容器的容積為V， 由題意知，又， 故 由于，因此 所以建造費(fèi)用，因此，(2)由(1)