有理數(shù)混合運算簡便算法與技巧

1、精品文檔 有理數(shù)的計算方法與技巧 有理數(shù)運算是代數(shù)入門的重點，又是難點，是中學(xué)數(shù)學(xué)中一切運算的基礎(chǔ)，怎樣突 破這一難點，除了要正確理解概念和掌握運算法則外，還必須熟練有理數(shù)運算的一些技 巧和方法，一定要正確運用有理數(shù)的運算法則和運算律，從而使復(fù)雜問題變得較簡單。 一、四個原則： 整體性原則： 乘除混合運算統(tǒng)一化乘，統(tǒng)一進(jìn)行約分；加減混合運算按正負(fù) 數(shù)分類，分別統(tǒng)一計算，或把帶分?jǐn)?shù)的整數(shù)、分?jǐn)?shù)部分拆開，分別統(tǒng)一計算。 簡明性原則：計算時盡量使步驟簡明，能夠一步計算出來的就同時算出來；運算 中盡量運用簡便方法，如五個運算律的運用。 口算原則：在每一步的計算中，都盡量運用口算，口算是提高運算率的重要

2、方法 之一，習(xí)慣于口算，有助于培養(yǎng)反應(yīng)能力和自信心。 分段同時性原則：對一個算式，一般可以將它分成若干小段，同時分別進(jìn)行運 二、運算技巧 歸類組合：運用交換律、結(jié)合律歸類加減，將同類數(shù)(如正數(shù)或負(fù)數(shù))歸類計算, 如整數(shù)與整數(shù)結(jié)合、如分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)結(jié)合、同分母與同分母結(jié)合等。 11 例：計算：(0.5) ( 3 ) + 2.75 (7) 42 1i 解法一：一(0.5) ( 3丄)+ 2.75 (7 -) 42 11 =(0.5 + 2.75) + (3- 7 ) 42 1 =2.25 4丄 4 2 1 解法二：一（0.5） （ 3丄）+ 2.75 4 =0.5 + 3 -+ 2.75 7 42 1

3、1 =（3 + 2 7 ） + （ 0.5 +- + 0.75 - ）= 2 42 評析：解法一是小數(shù)與小數(shù)相結(jié)合，解法二整數(shù)與整數(shù)結(jié)合，這樣解決了既含分?jǐn)?shù) 又含小數(shù)的有理數(shù)加減運算問題同學(xué)們遇到類似問題時，應(yīng)學(xué)會靈活選擇解題方法. 湊整：將相加可得整數(shù)的數(shù)湊整，將相加得零的數(shù)（如互為相反數(shù)）相消。 將相加可得整數(shù)的數(shù)放在一起進(jìn)行運算（其中包括互為相反數(shù)相加），可以降低解題 難度，提高解題效率. 12411 例：計算：11 22 4- 511138 6353 6 分析：本題六個數(shù)中有兩個是同分母的分?jǐn)?shù)，有兩個互為相反數(shù)，有兩個相加和為 整數(shù)，故可用“湊整”法。 11214 解：原式（11） （

4、 25 ） （43.8） 66335 8 1 7 例：計算：19 + 299+ 3999+ 49999 解：19 + 299+ 3999+ 49999 =20 1 + 300 1 + 4000 1 + 50000- 1 =(20 + 300+ 4000+ 50000) 4 =543204 =54316. 分解：將一個數(shù)分解成幾個數(shù)和的形式 ,或分解為它的因數(shù)相乘的形式 例: 計算: 1 1 2 5- 1 4- 1 3- 42 3 6 解: 原式 2 5 4 3 1111 4236 3 6 42 2 12 12 12 12 1 1 2 2 12 12 例：計算：2008 200920092009

5、 2009 200820082008。 解：原式 2008 2009 100010001 2009 2008 100010001 2003 1001 例：計算 2005 X 1001 X -. 2004 1002 解: 2005 X 2003 10011001 2004 1002 =(2004 + 1) X 2003 1001 (1002 1) X 1001 2004 1002 =(2003 1001) + ( 2003 + 2004 1001) 1002) =1003 2001 2004 評析：對于這些題目結(jié)構(gòu)復(fù)雜，長度較大的數(shù)，用常規(guī)的方法不易解決解這類問 題要根據(jù)題目的結(jié)構(gòu)特點，找出拆項

6、規(guī)律，靈活巧妙地把問題解決. 約簡：將互為倒數(shù)的數(shù)或有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)約簡 解：原式 。.6呂 例：計算： 2.56 0.1251.250.6 21 1 11 5 2 84 255。125 依 14歡迎下載 倒序相加：利用運算律，改變運算順序，簡化計算 例:計算2003 2 2003 3 2003 4005 2003 1 2 3 2003 2003 2003 解：設(shè)A 踹，把等式右邊倒序排列，得 40054004 20032003 2 1 20032003 將兩式相加，得 (2003 4005) 2003) (2003 4004 ) 2003) (4005 (2003 1 2003 即 2A 24

7、005，所以 A=4005 所以原式=4005 裂項相消法：凡是帶有省略號的分?jǐn)?shù)加減運算，可以用這種方法 1 1 1 例： 例： 解：應(yīng)用關(guān)系式- 1- 原式一. _ 1 3 = 11- 一 4j + 3(4_7 ,111 _ + 一 E . 44 7 來進(jìn)行“拆項”。 1 * + 一 33-2 知+1 1 _ 1 1 32 3b 1 劃+ 1 正逆用運算律：正難則反，逆用運算定律以簡化計算。 乘法分配律a(b+c)=ab+ac在運算中可簡化計算.而反過來，ab+ac=a(b+c)同樣成立, 有時逆用也可使運算簡便。 在處理有理數(shù)的數(shù)字運算中，若能根據(jù)題目所顯示的結(jié)構(gòu)、關(guān)系特征，對此加以靈 活

8、變形，便可巧妙地逆用分配律，使解題簡潔明快. 例：計算：17.48 X 37+ 174.8 X 1.9 + 8.74 X 88. 解: 17.48 X 37+ 174.8 X 1.9 + 8.74 X 88 =17.48 X 37+ (17.48 X 10) X 1.9 + 17.48 X 44 =17.48 X 37+ 17.48 X 19+ 17.48 X 44 =17.48 X (37 + 19+ 44) =1748 . 評析：很明顯，靈活變形，逆用分配律，減少了運算量，提高了解題效率. 變序 在有理數(shù)的運算中，適當(dāng)改變運算順序，有時可以減少運算量，在具體運算過程中, 技巧是恰到好處地運

9、用交換率、結(jié)合律和分配律等運算律簡化運算. 4 例：計算： 12.531-0.1 5 解：原式 12.5 - 0.1 5 31 1 31 31。 例: 計算: 5 4 - + ( 1 -丄)+ ( -)+ 6 12 7 712 解: 4 - 1 + (-丄) 27 + ( -) + 6- 12 7 7 12 =4 -+ ( -1) + (- -)+ 6 12 7 712 =4 A + 6- + ( -)+ (- 丄) 12 12 7 7 =11 + (- 3) 7 =10 4 7 評析： 在運算前，首先觀察、分析參與運算的數(shù)的特征、排列順序等，適當(dāng)交換一下各數(shù) 的位置，達(dá)到簡化運算、快速解題的

10、目的. 同步練習(xí)題1 : 1. 計算： 12 3 4 5 6 7 8 9 10 11 121997 1998 1999 2000 2001 2.已知0為數(shù)軸的原點，A B兩點對應(yīng)的數(shù)分別為1、2,設(shè)R為AB勺中點，B為AR 的中點， P100為P99的中點，求P1，P2, R,，P100所對應(yīng)的各數(shù)之和。 3.計算： 12411門 c 124513.8 63536 （分析：本題六個數(shù)中有兩個是同分母的分?jǐn)?shù)，有兩個互為相反數(shù)，有兩個相加和 為整數(shù)，故可用“湊整”法。） 4.求和 算。 2 2 2 1 (2 33 58 59 59 60 5.計算: 2005 1 (f_2 1 1 2003 200

11、42004 2005) 同步練習(xí)題2： 1.計算：2 222 3 859 2. 計算: 丄丄丄 丄丄丄丄 11131711131719 1111111 1 - 11 13 17 1911 13 17 3.計算: 199919982 2 2 19991997199919992 4.計算: 123 200320032003 4005 2003 同步練習(xí)題1參考答案: 1.解法1 : (1997 1998 1999 2000)2002 解法 原式 (123 4)(5 6 78)(910 2212) (4) X 500 2001 2: 2000 2000 原式 -l + (2-3-4+5) + (-7

12、 -S +9) + + (19982000+ 2001) =1 + 0 -* 0 + 0 2. 解:設(shè)二對應(yīng)的數(shù)為a（ 所以，a1 a281001 100),則 8| 1 22 1 . 尹11,2, 1 200 100 101 1 2100 1194 3. 解：原式=(-1+ 1) + (-2 - 5) + (4 - 3.8) 66jJ = -8 + 1 =7 4. 解：原式 1 214 1259 3. 123 2 云)齊 474)(6q & 60 1 -(12359) 2 2 2 1 1 1 1 1 =2005 (1 )( ) (- ) ( 2 2 A 3 3 4 2003 =2005 (1

13、) 2005 2004 =2005 2005 5.解：X原式 1 59 )X 59 1 1 2004)(2004 =2004 1 2005 ) 同步練習(xí)題2參考答案: 1.解：設(shè) a 2 22232859( 1) 則 a 2 22232860( 2) 則（2） 得：a 28602 即 2 2223 2859 2860 （含整體思想） 1 1 1 1 1 , b 仃 11 13 17 1 19 (1 b) a b a 19 1 1 2.解：令a 1113 則原式 (1 a) b 3解：令 19991998=a 原式= (a 1) 1 2 3 2003 2003 2003 (a 1) 2 a 2 2 2 4.解：設(shè)A 4005 200