空間向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié)(2)

1、空間向量與立體幾何知識點(diǎn)歸納總結(jié).知識要點(diǎn)。1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向線段表示.同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算。定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）OB = OA AB 二 a b ； BA = OA- OB 二運(yùn)算律：加法交換律：a b a加法結(jié)合律：（a b） a （b c）數(shù)乘分配律：（a b a b運(yùn)算法則：三角形法則、平行四邊形法則、3. 共線向量。（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直a - b ； OP = a( R)平行六面體法則

2、線平行或重合，那么這些向量也叫做共b（b工0）, a/b存在實(shí)數(shù) 入使a = 7b線向量或平行向量，a平行于b，記作a / b（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量i（3）三點(diǎn)共線：A、B、C三點(diǎn)共線=AB二 AC二0C 二 xOA yOB(其中 x y = 1)4.共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的條件是存在實(shí)數(shù)（4）與a共線的單位向量為-（2）共面向量定理x, y 使 p 二 xa yb。（3）四點(diǎn)共面：若A、B、C、P四點(diǎn)共面v=AP = xAB yAC 二O

3、P 二 xOA yOB zOC（其中 x y z = 1）i i45. 空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對空間任一向量 p，存在一I 444個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y, z，使p二xa yb zc o若三向量a,b,c不共面，我們把a(bǔ),b,c叫做空間的一個(gè) 基底，a,b,c叫做基向量， 空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。推論：設(shè)O,b,c是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn) p，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù) x, y, z，使 OP 二 xOA yOB zOC。6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O - xyz中，對空間任一點(diǎn)a，存

4、在唯一的有序?qū)崝?shù)組（x, y,z），使*V*OA = Xi yi zk，有序?qū)崝?shù)組（x,y,z）叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，記 作A（x, y,z）， x叫橫坐標(biāo)，y叫縱坐標(biāo)，z叫豎坐標(biāo)。注：點(diǎn)A （x,y,z）關(guān)于x軸的的對稱點(diǎn)為（x,-y,-z）,關(guān)于xoy平面的對稱點(diǎn)為（x,y,-z）. 即點(diǎn)關(guān)于什么軸/平面對稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反。在y軸上的點(diǎn)設(shè)為（0,y,0）,在平面yOz中的點(diǎn)設(shè)為（0,y,z）（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長為1，這個(gè)基底叫單位正交基底，用i,j,k表示。空間中任一向量xn yjzk =(x,y,z)(3) 空間向量的

5、直角坐標(biāo)運(yùn)算律：.若$ &代衛(wèi)3)，b = Qbb)，則 j b =佝a? b2,a tQ， b= (a ti,a b2,a t3)， a = ( a, a?, a3)(R)，$ bj aQ a?b2 asd，印二 a?二 b2,a bs(R)，a _ b 二 a1b1 a2b2 a3b3 = 0。. 若 A（N,y1,z1），B（X2,y2Z），則 AB 二（x 捲，y? - zj。一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起 點(diǎn)的坐標(biāo)。 定比分點(diǎn)公式：若A（x, y , z）, B（X22,z2），TPiPB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為x1x2 w y2 乙 z2（亍,一、，

6、 ）。推導(dǎo)：設(shè) P （x,y,z）則（x - 為丿 - ,z - n） = MX? - x$2 - y,z2 - z）, 111顯然，當(dāng)P為AB中點(diǎn)時(shí)，P（x1魚,必，互互）2 2 2ZlZ2Z3)2丿 ABC 中，A(Xi，yi，z1) ,B(X2,y2,z2),C(X3，y3，Z3),三角形重心 P 坐標(biāo)為Xi +X2 +X3 yi + y2 + y3(3，2內(nèi)心P：內(nèi)切圓的圓心,角平分線的交點(diǎn)AP 二AB AC)(單位向量)AC(AB外心P:外接圓的圓心,中垂線的交點(diǎn)。垂心P：高的交點(diǎn)：PA PB = PA PCP:中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)(中位線比) 中心：正三角形的所有心的合一。彳(4)

7、模長公式：若 a=(ai,a2,a3), bbibb),iIi二厲2 a?2 a32 :, b= :b ；ba b重心則 a=(5)夾角公式：cosy bPC (移項(xiàng)，內(nèi)積為0，貝卩垂直)1 -AP (AB AC)32 2 2b2 bs暑坷 _ qE a2b2 OAa ba2a?2十爲(wèi)2 丁齊丁仏2 ABC中AB *AC 0A為銳角ABAC ：0V=A為鈍角，鈍角 (6)兩點(diǎn)間的距離公式：若 人(論，,乙),B(X2,y2,Z2),貝H AB 卜=J(X2-X1)2 5-丫1)2 仏-乙)2 ,或 dA,B 7(X2 - Xi)2 (y2 -yj2 (Z2 -乙)2厶ABC的五心：7. 空間向

8、量的數(shù)量積。a,b，在空間任取一點(diǎn) O，作與b的夾角，記作a,b ；且規(guī)定斗 兀I (i)空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量OA = lOB 二 b,則 nao B叫 做向量 a0a,b ,顯然有 yb=：b,a ；若:a,b，則稱a與b互相垂直，記作:a_b。2(3) 作a b，即(2)向量的模：設(shè)OA=a ,則有向線段OA的長度叫做向量a的長度或模，記作：崗。 I勺數(shù)量積：已知向叫a,b，則 a b cos V a, b 叫做a,b的數(shù)量積，記 =a b cos： a,b 。(4) 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：二、2 -4 T a e = a cos a,e 。 a b= ab=0。 a=a

9、a。(5)(a) b = (a b) = a ( b)。 a b = b a (交換律)。 a （b c a b a c （分配律）。 不滿足乘法結(jié)合率：（a be = a（b c）二.空間向量與立體幾何1線線平行U兩線的方向向量平行1- 1線面平行U線的方向向量與面的法向量垂直1- 2面面平行:二 兩面的法向量平行2線線垂直（共面與異面）=兩線的方向向量垂直2- 1線面垂直二線與面的法向量平行2- 2面面垂直二兩面的法向量垂直3線線夾角二（共面與異面）0。,90二兩線的方向向量ni, n2的夾角或夾角的補(bǔ)角，cose = cos c n1,n2 3- 1線面夾角二0,90:求線面夾角的步驟：

10、先求線的方向向量 AP與面的法向量n的夾角，若為銳角角即可，若為鈍角，貝S取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角.sin = cos v AP,n a3- 2面面夾角（二面角）二0,180:若兩面的法向量一進(jìn)一出，則二面角等于兩法向量m,n2的夾角；法向量同進(jìn)同出，則二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.P-cos cos n，n2PQ n|nJ4.點(diǎn)面距離h :求點(diǎn)P x,y到平面的距離：在平面，上去一點(diǎn)Q x,y ,得向量PQ ;； 計(jì)算平面:的法向量n;:轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4- 1線面距離（線面平行）:轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4- 2面面距離（面面平行）【典型例題】1. 基本運(yùn)算與基本知識（）例1已知平行六面體

11、_ABCD二A BCD，化簡下列向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡結(jié)果的向量。 AB BC ; AB AD AA ;11 - AB AD CC ； 一 （AB AD AA ）。233例2.對空間任一點(diǎn)Q和不共線的三點(diǎn)A，B，C，問滿足向量式：OP = xOA yOB zOC （其中xyz=1）的四點(diǎn)P, A, B,C是否共面?例 3 已知空間三0（0, 2, 3），B （-2, 1, 6）, C （1,- 1, 5） 求以向量AB,AC為一組鄰邊的平行四邊形的面積 S；若向量a分別與向量AB,AC垂直，且|a| 3，求向量a的坐標(biāo)。2.基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3.坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐

12、標(biāo)）女口圖，在空間四邊形 OABC中, 0A=8 , AB=6 , AC = 4 , BC = 5 , OAC = 45 ,4. 幾何法例4.OAB =60，求OA與BC的夾角的余弦值。A OA, AC 2135；易錯寫成 OA, AC *45，切記!說明：由圖形知向量的夾角易出錯，女口例5.長方體ABCD -AEGD中，AB=BC=4 , E為A與BD的交點(diǎn)，F(xiàn)為BG與B的 交點(diǎn)，又AF BE，求長方體的高BB1?！灸M試題】1.已知空間四邊形ABCD，連結(jié)AC,BD，設(shè)M,G分別是BC,CD的中點(diǎn)，化簡下列各表達(dá) 式，并標(biāo)出化簡結(jié)果向量：（1）AB BC Cd ；11 -（2） AB （B

13、D BC） ；（ 3） AG-（AB AC）。222. 衛(wèi)知平行四邊形_ABCD,平面AC外一點(diǎn)0引向量 OE =kOA OF = kOB,OG = kOC,OH =kOD。（1）求證：四點(diǎn)E,F,G,H共面；（2）平面AC /平面EG。 13.如圖正方體ABCD-ABCQ中，述1心1臼求BE1與DF1所成角的余弦。5.已知平行六面體abcd-abcD中，AB = 4, AD = 3, AA = 5, BAD 二 90，.BAA I / DAA 丨 60c，求 AC 的長。參考答案1.解：如圖,aB BC cd=ac C=AD ；111T(1)(2) AB 丄(BD BC) =AB - BC

14、1BD。2 2 2二 AB BM MG =AG ；1(3) AG (AB AC)二AG - AM -MG22.解：(1)證明 T四邊形ABCD是平行四邊形，二AC二AB AD , / EG =OG -OE ,T T T T T T T二kOC-kOA k(OC-OA)=kAC k(AB AD)= k(OB -Oa OD -OaHOF -Oe =EF EH E,F,G,H 共面； (2)解：t Ef =O7-OE EF /AB, EG/ AC。所以，平面AC/平面EG。3.OH -OEoF-OE = k(O -QAk AB，又 T乩 kAC,解：不妨設(shè)正方體棱長為則 B(1,1,0),巳(1,3,1),41,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz ,1D(0,0,0) ,FQ ,1),4A-11二 BE(0,-；,1) , DF(0,；,1),44=DF!=41 115BEi DF1 =0 0()11 =4 416日1516 15cos BE1, DF1 -t/ J171717T44 TT T4.分析：；ABygAC3,2)” cos 瞼=銘|=2/ BAC = 60,s=|AB|AC|設(shè)-T4.a AC = x -3y 2z = 0,| a解得x5.解：