加法原理之樹(shù)形圖及標(biāo)數(shù)法教師版

1、7-1-3.加法原理之樹(shù)形圖及標(biāo)數(shù)法教學(xué)目標(biāo)1.使學(xué)生掌握加法原理的基本內(nèi)容；2.掌握加法原理的運(yùn)用以及與乘法原理的區(qū)別；3.培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論問(wèn)題的能力，了解分類(lèi)的主要方法和遵循的主要原則加法原理的數(shù)學(xué)思想主旨在于分類(lèi)討論問(wèn)題，教授本講的目的也是為了培養(yǎng)學(xué)生分類(lèi)討論問(wèn)題的習(xí)慣，鍛煉思維的周全細(xì)致知識(shí)要點(diǎn)一、加法原理概念引入生活中常有這樣的情況，就是在做一件事時(shí)，有幾類(lèi)不同的方法，而每一類(lèi)方法中，又有幾種可能的做法那么，考慮完成這件事所有可能的做法，就要用加法原理來(lái)解決例如:王老師從北京到天津，他可以乘火車(chē)也可以乘長(zhǎng)途汽車(chē)，現(xiàn)在知道每天有五次火車(chē)從北京到天津，有4趟長(zhǎng)途汽車(chē)從北京到天津那么他在一

2、天中去天津能有多少種不同的走法？分析這個(gè)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)，王老師去天津要么乘火車(chē)，要么乘長(zhǎng)途汽車(chē)，有這兩大類(lèi)走法，如果乘火車(chē)，有5種走法，如果乘長(zhǎng)途汽車(chē)，有4種走法上面的每一種走法都可以從北京到天津，故共有5+4=9種不同的走法在上面的問(wèn)題中，完成一件事有兩大類(lèi)不同的方法在具體做的時(shí)候，只要采用一類(lèi)中的一種方法就可以完成并且兩大類(lèi)方法是互無(wú)影響的，那么完成這件事的全部做法數(shù)就是用第一類(lèi)的方法數(shù)加上第二類(lèi)的方法數(shù)二、加法原理的定義一般地，如果完成一件事有k類(lèi)方法，第一類(lèi)方法中有種不同做法，第二類(lèi)方法中有種不同做法，第k類(lèi)方法中有種不同做法，則完成這件事共有種不同方法，這就是加法原理加法原理運(yùn)用的范圍：完

3、成一件事的方法分成幾類(lèi)，每一類(lèi)中的任何一種方法都能完成任務(wù)，這樣的問(wèn)題可以使用加法原理解決我們可以簡(jiǎn)記為：“加法分類(lèi)，類(lèi)類(lèi)獨(dú)立”分類(lèi)時(shí)，首先要根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)確定一個(gè)適合于它的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)，然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類(lèi)；其次，分類(lèi)時(shí)要注意滿(mǎn)足兩條基本原則： 完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類(lèi)； 分別屬于不同兩類(lèi)的兩種方法是不同的方法只有滿(mǎn)足這兩條基本原則，才可以保證分類(lèi)計(jì)數(shù)原理計(jì)算正確運(yùn)用加法原理解題時(shí)，關(guān)鍵是確定分類(lèi)的標(biāo)準(zhǔn)，然后再針對(duì)各類(lèi)逐一計(jì)數(shù)通俗地說(shuō)，就是“整體等于局部之和”三、加法原理解題三部曲1、完成一件事分N類(lèi)；2、每類(lèi)找種數(shù)（每類(lèi)的一種情況必須是能完成該件事）；3、類(lèi)類(lèi)相加枚舉法：枚舉

4、法又叫窮舉法，就是把所有符合條件的對(duì)象一一列舉出來(lái)進(jìn)行計(jì)數(shù)分類(lèi)討論的時(shí)候經(jīng)常會(huì)需要把每一類(lèi)的情況全部列舉出來(lái)，這時(shí)的方法就是枚舉法枚舉的時(shí)候要注意順序，這樣才能做到不重不漏例題精講模塊一、樹(shù)形圖法“樹(shù)形圖法”實(shí)際上是枚舉的一種，但是它借助于圖形，可以使枚舉過(guò)程不僅形象直觀，而且有條理又不重復(fù)遺漏，使人一目了然【例 1】 A、B、C三個(gè)小朋友互相傳球，先從A開(kāi)始發(fā)球(作為第一次傳球)，這樣經(jīng)過(guò)了5次傳球后，球恰巧又回到A手中，那么不同的傳球方式共多少種？ 【考點(diǎn)】加法原理之樹(shù)形圖法 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】2005年，小數(shù)報(bào)【解析】 如圖，第一次傳給，到第五次傳回有5種不同方式 同

5、理，第一次傳給，也有5種不同方式 所以，根據(jù)加法原理，不同的傳球方式共有種【答案】【鞏固】 一只青蛙在A，B，C三點(diǎn)之間跳動(dòng)，若青蛙從A點(diǎn)跳起，跳4次仍回到A點(diǎn)，則這只青蛙一共有多少種不同的跳法？ 【考點(diǎn)】加法原理之樹(shù)形圖法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 6種，如圖，第1步跳到，4步回到有3種方法；同樣第1步到的也有3種方法根據(jù)加法原理，共有種方法【答案】【例 2】 甲、乙二人打乒乓球，誰(shuí)先連勝兩局誰(shuí)贏，若沒(méi)有人連勝頭兩局，則誰(shuí)先勝三局誰(shuí)贏，打到?jīng)Q出輸贏為止問(wèn)：一共有多少種可能的情況？ 【考點(diǎn)】加法原理之樹(shù)形圖法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如下圖，我們先考慮甲勝第一局的情況

6、：圖中打的為勝者，一共有7種可能的情況同理，乙勝第一局也有 7種可能的情況一共有 77=14（種）可能的情況【答案】【例 3】 如圖，從起點(diǎn)走到終點(diǎn)，要求取出每個(gè)站點(diǎn)上的旗子，并且每個(gè)站點(diǎn)只允許通過(guò)一次，有種不同的走法。 【考點(diǎn)】加法原理之樹(shù)形圖法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級(jí)，一試，第3題【解析】 給這些點(diǎn)依次標(biāo)上字母（如左圖），然后采用枚舉法（如右圖）： 共4種不同的走法。【答案】種模塊二、標(biāo)數(shù)法 適用于最短路線問(wèn)題，需要一步一步標(biāo)出所有相關(guān)點(diǎn)的線路數(shù)量，最終得到到達(dá)終點(diǎn)的方法總數(shù)標(biāo)數(shù)法是加法原理與遞推思想的結(jié)合 （一）簡(jiǎn)單圖形的標(biāo)數(shù)法【例 4】 如圖所示，沿線段從A

7、到B有多少條最短路線？ 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 圖中在A的右上方，因此從A出發(fā)，只能向上或者向右才能使路線最短，那么反過(guò)來(lái)想，如果到達(dá)了某一個(gè)點(diǎn)，也只有兩種可能：要么是從這個(gè)點(diǎn)左邊的點(diǎn)來(lái)的，要么是從這個(gè)點(diǎn)下邊的點(diǎn)來(lái)的那么，如果最后到達(dá)了B，只有兩種可能：或者經(jīng)過(guò)C來(lái)到B點(diǎn)，或者經(jīng)D來(lái)到B點(diǎn)，因此，到達(dá)B的走法數(shù)目就應(yīng)該是到達(dá)C點(diǎn)的走法數(shù)和到達(dá)D點(diǎn)的走法數(shù)之和，而對(duì)于到達(dá)C的走法，又等于到達(dá)和到達(dá)的走法之和，到達(dá)的走法也等于到達(dá)和到達(dá)的走法之和，這樣我們就歸納出：到達(dá)任何一點(diǎn)的走法都等于到它左側(cè)點(diǎn)走法數(shù)與到它下側(cè)點(diǎn)走法數(shù)之和，根據(jù)加法原理，我們可以從點(diǎn)開(kāi)始

8、，向右向上逐步求出到達(dá)各點(diǎn)的走法數(shù)如圖所示，使用標(biāo)號(hào)方法得到從到共有10種不同的走法【答案】【鞏固】 如圖，從點(diǎn)到點(diǎn)的最近路線有多少條？ 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】2星 【題型】解答 【解析】 使用標(biāo)號(hào)法得出到點(diǎn)的最近路線有20條【答案】【例 5】 如圖，某城市的街道由5條東西向馬路和7條南北向馬路組成，現(xiàn)在要從西南角的處沿最短的路線走到東北角出，由于修路，十字路口不能通過(guò)，那么共有種不同走法 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 本題是最短路線問(wèn)題要找出共有多少種不同走法，關(guān)鍵是保證不重也不漏，一般采用標(biāo)數(shù)法如上圖所示，共有120種另解：本題也可采用排除法由

9、于不能經(jīng)過(guò)，可以先計(jì)算出從到的最短路線有多少條，再去掉其中那些經(jīng)過(guò)的路線數(shù)，即得到所求的結(jié)果對(duì)于從到的每一條最短路線，需要向右6次，向上4次，共有10次向右或向上；而對(duì)于每一條最短路線，如果確定了其中的某6次是向右的，那么剩下的4次只能是向上的，從而該路線也就確定了這就說(shuō)明從到的最短路線的條數(shù)等于從10次向右或向上里面選擇6次向右的種數(shù)，為一般地，對(duì)于的方格網(wǎng)，相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)之間的最短路線有種本題中，從到的最短路線共有種；從到的最短路線共有種，從到的最短路線共有種，根據(jù)乘法原理，從到且必須經(jīng)過(guò)的最短路線有種，所以，從到且不經(jīng)過(guò)的最短路線有種【答案】【例 6】 如圖所示，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，如果要求經(jīng)

10、過(guò)C點(diǎn)或D點(diǎn)的最近路線有多少條？ 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 1、方格圖里兩點(diǎn)的最短路徑，從位置低的點(diǎn)向位置高的點(diǎn)出發(fā)的話，每到一點(diǎn)（如C、D點(diǎn)）只能向前或者向上2、題問(wèn)的是經(jīng)過(guò)C點(diǎn)，或者D點(diǎn)；那么A到B點(diǎn)就可以分成兩條路徑了 A-C-B；A-D-B，那么也就可以分成兩類(lèi)但是需要考慮一個(gè)問(wèn)題A到B點(diǎn)的最短路徑會(huì)同時(shí)經(jīng)過(guò)C和D點(diǎn)嗎？最短路徑只能往上往前，經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)C、D不會(huì)同時(shí)出現(xiàn)在最短路徑上了3、A-C-B，那么C就是必經(jīng)之點(diǎn)了，就需要用到乘法原理了A-C，最短路徑用標(biāo)數(shù)法標(biāo)出，同樣C-B點(diǎn)用標(biāo)數(shù)法標(biāo)注，然后相乘A-D-B，同樣道理最后結(jié)果是735+420

11、=1155條【答案】【例 7】 如圖為一幅街道圖，從出發(fā)經(jīng)過(guò)十字路口，但不經(jīng)過(guò)走到的不同的最短路線有 條. 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 到各點(diǎn)的走法數(shù)如圖所示. 所以最短路徑有條.【答案】【例 8】 小王在一年中去少年宮學(xué)習(xí)56次，如圖所示，小王家在點(diǎn)，他去少年宮都是走最近的路，且每次去時(shí)所走的路線正好互不相同，那么少年宮在_點(diǎn)處 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 本題屬最短路線問(wèn)題運(yùn)用標(biāo)數(shù)法分別計(jì)算出從小王家點(diǎn)到、點(diǎn)的不同路線有多少條，其中，路線條數(shù)與小王學(xué)習(xí)次數(shù)56相等的點(diǎn)即為少年宮因?yàn)?，從小王家點(diǎn)到點(diǎn)共有不同線路84條；到

12、點(diǎn)共有不同線路56條；到點(diǎn)共有不同線路71條；到點(diǎn)共有不同線路15條；到點(diǎn)共有不同線路36條所以，少年宮在點(diǎn)處【答案】【例 9】 一只兔子沿著方格的邊從到,規(guī)定上只能往上或往右走，但是必須經(jīng)過(guò)一座獨(dú)木橋,這只兔子有（ ）種不同的走法【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級(jí)，初賽，第15題【解析】 標(biāo)數(shù)法【答案】種【例 10】 在下圖的街道示意圖中，有幾處街區(qū)有積水不能通行，那么從A到B的最短路線有多少種？ 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 因?yàn)樵诘挠蚁路?，由?biāo)號(hào)法可知，從到的最短路徑上，到達(dá)任何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它左側(cè)點(diǎn)的走法

13、數(shù)與到它上側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之和有積水的街道不可能有路線經(jīng)過(guò)，可以認(rèn)為積水點(diǎn)的走法數(shù)是0接下來(lái)，可以從左上角開(kāi)始，按照加法原理，依次向下向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)如右上圖，從到的最短路線有22條【答案】條（二）不規(guī)則圖形的標(biāo)數(shù)法【例 11】 在下圖的街道示意圖中，C處因施工不能通行，從A到B的最短路線有多少條？ 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 因?yàn)樵诘挠疑戏剑蓸?biāo)號(hào)法可知，從到的最短路徑上，到達(dá)任何一點(diǎn)的走法數(shù)都等于到它左側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)與到它下側(cè)點(diǎn)的走法數(shù)之和而是一個(gè)特殊的點(diǎn)，因?yàn)椴荒芡ㄐ?，所以不可能有路線經(jīng)過(guò)，可以認(rèn)為到達(dá)點(diǎn)的走法數(shù)是0接下來(lái)，可以從左下角開(kāi)始，按照加法原

14、理，依次向上向右填上到各點(diǎn)的走法數(shù)如圖，從到的最短路線有6條【答案】條【鞏固】 小群家到學(xué)校的道路如圖4所示。從小君家到學(xué)校有_種不同的走法。（只能沿圖中向右向下的方向走）【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級(jí)，一試，第15題【解析】所以有10種.【答案】【例 12】 如下表，請(qǐng)讀出“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”這9個(gè)字，要求你選擇的9個(gè)字里能連續(xù)(即相鄰的字在表中也是左右相鄰或上下相鄰)，這里共有多少種完整的“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”的讀法 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 方法一：標(biāo)數(shù)法第一個(gè)字只能選位于左上角的“我”，以后每一個(gè)字都

15、只能選擇前面那個(gè)字的下方 或右方的字，所以本題也可以使用標(biāo)號(hào)法來(lái)解：(如右上圖，在格子里標(biāo)數(shù))共70種不同的讀法方法二：組合法仔細(xì)觀察我們可以發(fā)現(xiàn)，按“我們學(xué)習(xí)好玩的數(shù)學(xué)”走的路線就是向右走四步，向下走四步的路線，而向下和向右一個(gè)排列順序則代表了一種路線所以總共有種不同的讀法【答案】【例 13】 在下圖中，用水平或者垂直的線段連接相鄰的字母，當(dāng)沿著這些線段行走是，正好拼出“APPLE”的路線共有多少條？ 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 要想拼出英語(yǔ)“APPLE”的單詞，必須按照“APPLE”的次序拼寫(xiě)在圖中的每一種拼寫(xiě)方式都對(duì)應(yīng)著一條最短路徑如下圖所示，運(yùn)用標(biāo)號(hào)

16、法原理標(biāo)號(hào)得出共有31種不同的路徑【答案】【鞏固】 如圖，用水平線或豎直線連結(jié)相鄰漢字，沿著這些線讀下去，正好可以讀成“祖國(guó)明天更美好”，那么可讀成“祖國(guó)明天更美好”的路線有 條. 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 如圖2所示，利用加法原理，將讀到各個(gè)字的路線數(shù)寫(xiě)在每個(gè)字下方，共有不同的路線(條).【答案】【鞏固】 如圖，用水平線或豎直線連結(jié)相鄰漢字，沿著這些線讀下去，正好可以讀成“我愛(ài)學(xué)而思”，那么可讀成“我愛(ài)學(xué)而思”的路線有 條【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第3題【解析】 只有一個(gè)思，可以從后向前考慮，用標(biāo)數(shù)法

17、。共有種?！敬鸢浮糠N【鞏固】右圖中的“我愛(ài)希望杯”有_種不同的讀法. 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級(jí)，1試【解析】 “我愛(ài)希望杯”的讀法也就是從“我”走到“杯”的方法.如上右圖所示，共16種方法.【答案】【例 14】 如圖，沿著“北京歡迎你”的順序走（要求只能沿著水平或豎直方向走），一共有多少種不同的走法？ 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 沿著“北京歡迎你”的順序沿水平或豎直方向走，北以后的每一個(gè)字都只能選擇上面的或左右兩邊的字，按加法原理，用標(biāo)號(hào)法可得右上圖所以一共有種走法【答案】【例 15】 如圖所示，科學(xué)家“

18、愛(ài)因斯坦”的英文名拼寫(xiě)為“Einstein”，按圖中箭頭所示方向有 種不同的方法拼出英文單詞“Einstein”. 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】3星 【題型】解答 【解析】 由的拼法如圖所示.根據(jù)加法原理可得共有(種)不同拼法.【答案】【例 16】 圖中有10個(gè)編好號(hào)碼的房間，你可以從小號(hào)碼房間走到相鄰的大號(hào)碼房間，但不能從大號(hào)碼走到小號(hào)碼，從1號(hào)房間走到10號(hào)房間共有多少種不同的走法？ 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】4星 【題型】解答 【解析】 我們可以把這個(gè)圖展開(kāi)，用箭頭標(biāo)出來(lái)就更直觀了，然后采用我們學(xué)的標(biāo)數(shù)法【答案】【例 17】 國(guó)際象棋中“馬”的走法如圖所示，位于位置的“馬”

19、只能走到標(biāo)有的方格中， 類(lèi)似于中國(guó)象棋中的“馬走日”如果“馬”在的國(guó)際象棋棋盤(pán)中位于第一行第二列（圖中標(biāo)有的位置），要走到第八行第五列（圖中標(biāo)有的位置），最短路線有_條 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】4星 【題型】解答 【關(guān)鍵詞】迎春杯【解析】 最后一步的可能如圖，倒數(shù)第二步的可能如圖，倒數(shù)第三步的可能如圖最后（種）【答案】【例 18】 如圖所示，一個(gè)花壇的道路由3個(gè)圓和5條線段組成，小兔要從A處做到B處，如果它在圓上只能順時(shí)針?lè)较蜃?，在線段上只能從小圓走向大圓，且每條道路最多走一次，那么小兔可以選擇的不同路線有 條. 【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)法 【難度】5星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級(jí)，復(fù)賽，第2題【解析】 采用標(biāo)數(shù)法，如圖所示，不同路線共有6條【答案】條【例 19】 蜜蜂王國(guó)為了迎接2010年春節(jié)的到來(lái)，特地筑了一個(gè)蜂巢如下每個(gè)正六邊形蜂窩中，有由蜂蜜凝結(jié)而成的數(shù)字0、1或2春節(jié)到來(lái)之時(shí)，群蜂將在巢上跳起舞步，舞步的每個(gè)節(jié)拍恰好走過(guò)的四個(gè)數(shù)字：2010（從某個(gè)2出發(fā)最后走完四步后又回到2，如圖中箭頭所示為一個(gè)舞步），且蜜蜂每一步都只能從一個(gè)正六邊形移動(dòng)到與之有公共邊的正六邊形上蜜蜂要經(jīng)過(guò)四個(gè)正六邊形且所得數(shù)字依次為2010，共有 種方法【考點(diǎn)】加法原理之標(biāo)數(shù)