周世勛量子力學(xué)答案

1、量子力學(xué)習(xí)題及解答第一章 量子理論基礎(chǔ)11 由黑體輻射公式導(dǎo)出維恩位移定律：能量密度極大值所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng) m 與溫度 T 成反比，即m T=b（常量）；并近似計(jì)算 b 的數(shù)值，準(zhǔn)確到二位有效數(shù)字。解根據(jù)普朗克的黑體輻射公式v dv8 hv31dv ，（1）c3hve kT1以及v c ，（2）v dvv d ，（3）有dv dc dv( )dv ( ) c8 hc1,5hce kT1這里的 的物理意義是黑體內(nèi)波長(zhǎng)介于與+d之間的輻射能量密度。本題關(guān)注的是取何值時(shí)， 取得極大值，因此，就得要求對(duì)的一階導(dǎo)數(shù)為零，由此可求得相應(yīng)的的值，記作 m 。但要注意的是，還需要驗(yàn)證對(duì)的二階導(dǎo)數(shù)在 m 處的取值是

2、否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m 就是要求的，具體如下：8 hc1hc1506hchckTe kT11 e kT15hc10hckT1 e kThc5(1 e kT)hc如果令 x= hc，則上述方程為kT5(1e x )xkT這是一個(gè)超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解是平庸的；另外的一個(gè)解可以通過(guò)逐步近似法或者數(shù)值計(jì)算法獲得：x=4.97，經(jīng)過(guò)驗(yàn)證，此解正是所要求的，這樣則有mT hc xk把 x 以及三個(gè)物理常量代入到上式便知mT 2.9 10 3 m K這便是維恩位移定律。據(jù)此，我們知識(shí)物體溫度升高的話，輻射的能量分布的峰值向較短波長(zhǎng)方面移動(dòng)，這樣便會(huì)根據(jù)熱

3、物體（如遙遠(yuǎn)星體）的發(fā)光顏色來(lái)判定溫度的高低。12 在 0K 附近，鈉的價(jià)電子能量約為 3eV，求其德布羅意波長(zhǎng)。解 根據(jù)德布羅意波粒二象性的關(guān)系，可知E=hv，Ph如果所考慮的粒子是非相對(duì)論性的電子（E動(dòng)e c2 ），那么Ep 22 e如果我們考察的是相對(duì)性的光子，那么E=pc注意到本題所考慮的鈉的價(jià)電子的動(dòng)能僅為 3eV，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于電子的質(zhì)量與光速平方的乘積，即0.51 106 eV ，因此利用非相對(duì)論性的電子的能量動(dòng)量關(guān)系式，這樣，便有h p2h 2 e Ehc 2 ec2 E1.24 10 6 m 20.51 10630.71 10 9 m 0.71nm在這里，利用了hc1.2410 6

4、 eVm以及e c 20.51 106 eV最后，對(duì)hc2 e c2 E作一點(diǎn)討論，從上式可以看出，當(dāng)粒子的質(zhì)量越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)；同樣的，當(dāng)粒子的動(dòng)能越大時(shí)，這個(gè)粒子的波長(zhǎng)就越短，因而這個(gè)粒子的波動(dòng)性較弱，而粒子性較強(qiáng)，由于宏觀世界的物體質(zhì)量普遍很大，因而波動(dòng)性極弱，顯現(xiàn)出來(lái)的都是粒子性，這種波粒二象性，從某種子意義來(lái)說(shuō)，只有在微觀世界才能顯現(xiàn)。13 氦原子的動(dòng)能是E3 kT （k 為玻耳茲曼常數(shù)），求 T=1K 時(shí)，氦原子的德2布羅意波長(zhǎng)。解 根據(jù)1k K10 3 eV ，知本題的氦原子的動(dòng)能為E 3 kT 3 k K 1.5 10 3 e

5、V ,22顯然遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于核c 2 這樣，便有hc2 核c2 E31.24 10 6 m 23.7 1091.5 10 30.37 10 9 m 0.37nm這里，利用了核c 2 4 931 106 eV 3.7 109 eV最后，再對(duì)德布羅意波長(zhǎng)與溫度的關(guān)系作一點(diǎn)討論，由某種粒子構(gòu)成的溫度為 T 的體系，其中粒子的平均動(dòng)能的數(shù)量級(jí)為 kT，這樣，其相慶的德布羅意波長(zhǎng)就為hchc2 c 2 E2 kc 2T據(jù)此可知，當(dāng)體系的溫度越低，相應(yīng)的德布羅意波長(zhǎng)就越長(zhǎng)，這時(shí)這種粒子的波動(dòng)性就越明顯，特別是當(dāng)波長(zhǎng)長(zhǎng)到比粒子間的平均距離還長(zhǎng)時(shí)，粒子間的相干性就尤為明顯，因此這時(shí)就能用經(jīng)典的描述粒子統(tǒng)計(jì)分布的玻耳

6、茲曼分布，而必須用量子的描述粒子的統(tǒng)計(jì)分布玻色分布或費(fèi)米公布。14 利用玻爾索末菲的量子化條件，求：（1）一維諧振子的能量；（2）在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)的電子軌道的可能半徑。已知外磁場(chǎng) H=10T，玻爾磁子M B910 24 J T 1 ，試計(jì)算運(yùn)能的量子化間隔E，并與 T=4K 及 T=100K 的熱運(yùn)動(dòng)能量相比較。解 玻爾索末菲的量子化條件為pdq nh其中 q 是微觀粒子的一個(gè)廣義坐標(biāo)，p 是與之相對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量，回路積分是沿運(yùn)動(dòng)軌道積一圈，n 是正整數(shù)。（1）設(shè)一維諧振子的勁度常數(shù)為 k，諧振子質(zhì)量為，于是有Ep 21 kx 222這樣，便有p 2 (E1 kx2 )2這里的正負(fù)號(hào)分別

7、表示諧振子沿著正方向運(yùn)動(dòng)和沿著負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，一正一負(fù)正好表示一個(gè)來(lái)回，運(yùn)動(dòng)了一圈。此外，根據(jù)E 1 kx 2 2可解出x2Ek4這表示諧振子的正負(fù)方向的最大位移。這樣，根據(jù)玻爾索末菲的量子化條件，有x2 (E1kx2 )dxx ( ) 2 (E1kx2 )dx nhx2x2dx nhx2 (E1kx2 )dxx2 (E1kx2 )x2x2dxnhx2 (E1kx2 )x22為了積分上述方程的左邊，作以下變量代換；x2Esink這樣，便有2En222 E cos dksinh222En22 E coskcos d2h2n2Ecos2 dh2k22這時(shí)，令上式左邊的積分為 A，此外再構(gòu)造一個(gè)積分B

8、22Esin 2 dk2這樣，便有AB22AB22這里=2，這樣，就有A2Ed 2E,kk（1）2Ecos2 dkEcos 2 d(2 )2k2Ecos d ,2k2BE d sin 0（2） k5根據(jù)式（1）和（2），便有AE這樣，便有 nE hEnhk2nh ,其中hh2最后，對(duì)此解作一點(diǎn)討論。首先，注意到諧振子的能量被量子化了；其次，這量子化的能量是等間隔分布的。（2）當(dāng)電子在均勻磁場(chǎng)中作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，有2 q B R pqBR這時(shí)，玻爾索末菲的量子化條件就為20 qBRd(R ) nhqBR2 2 nhqBR2 nh又因?yàn)閯?dòng)能耐Ep 2 ，所以，有2E(qBR)2q2 B2 R222qB

9、n nB q22nBNB ,其中，M Bq 是玻爾磁子，這樣，發(fā)現(xiàn)量子化的能量也是等間隔的，而且 26EBM B具體到本題，有E10910 24 J910 23 J根據(jù)動(dòng)能與溫度的關(guān)系式3EkT以及1k K10 3 eV1.610 22 J可知，當(dāng)溫度 T=4K 時(shí)，E1.54 1.6 10 22 J9.6 10 22 J當(dāng)溫度 T=100K 時(shí)，E 1.5 100 1.6 10 22 J 2.4 10 20 J顯然，兩種情況下的熱運(yùn)動(dòng)所對(duì)應(yīng)的能量要大于前面的量子化的能量的間隔。15 兩個(gè)光子在一定條件下可以轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)，如果兩光子的能量相等，問(wèn)要實(shí)現(xiàn)實(shí)種轉(zhuǎn)化，光子的波長(zhǎng)最大是多少？解 關(guān)

10、于兩個(gè)光子轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的動(dòng)力學(xué)過(guò)程，如兩個(gè)光子以怎樣的概率轉(zhuǎn)化為正負(fù)電子對(duì)的問(wèn)題，嚴(yán)格來(lái)說(shuō)，需要用到相對(duì)性量子場(chǎng)論的知識(shí)去計(jì)算，修正當(dāng)涉及到這個(gè)過(guò)程的運(yùn)動(dòng)學(xué)方面，如能量守恒，動(dòng)量守恒等，我們不需要用那么高深的知識(shí)去計(jì)算，具休到本題，兩個(gè)光子能量相等，因此當(dāng)對(duì)心碰撞時(shí)，轉(zhuǎn)化為正風(fēng)電子對(duì)反需的能量最小，因而所對(duì)應(yīng)的波長(zhǎng)也就最長(zhǎng)，而且，有Ehve c2此外，還有Epchc于是，有hcec2hc ec21.24 10 6m 0.51 1062.4 10 12 m 2.4 10 3 nm盡管這是光子轉(zhuǎn)化為電子的最大波長(zhǎng)，但從數(shù)值上看，也是相當(dāng)小的，我們知道，電子是自然界中最輕的有質(zhì)量的粒子，如果是光

11、子轉(zhuǎn)化為像正反質(zhì)子對(duì)之7類的更大質(zhì)量的粒子，那么所對(duì)應(yīng)的光子的最大波長(zhǎng)將會(huì)更小，這從某種意義上告訴我們，當(dāng)涉及到粒子的衰變，產(chǎn)生，轉(zhuǎn)化等問(wèn)題，一般所需的能量是很大的。能量越大，粒子間的轉(zhuǎn)化等現(xiàn)象就越豐富，這樣，也許就能發(fā)現(xiàn)新粒子，這便是世界上在造越來(lái)越高能的加速器的原因：期待發(fā)現(xiàn)新現(xiàn)象，新粒子，新物理。第二章波 函數(shù)和薛定諤方程2.1 證明在定態(tài)中，幾率流與時(shí)間無(wú)關(guān)。證：對(duì)于定態(tài)，可令(r，t)(r)f (t)i Et(r)ei(*)J2miiEtiEt*iEtiEt (r)e（ (r)e ）(r)e（ (r)e ）2mi* (r)(r)(r) (r)2m可見(jiàn) J與t 無(wú)關(guān)。2.2由下列定態(tài)波

12、函數(shù)計(jì)算幾率流密度：(1) 11e ikr( 2 ) 21e ikrrr從所得結(jié)果說(shuō)明 1 表示向外傳播的球面波， 2 表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。解： J1和J 2只有r分量11在球坐標(biāo)中r0eerrr sin8i*(1) J1()2m1111i1eikr(1e ikr )1e ikr(1eikr )r2mrrrrrr0i111111(ik)(ik)r02mr 2rr 2rrrkkr0rmr2mr3J1與r同向。表示向外傳播的球面波。i*2* )(2)J2( 2 22mi1e ikr(1eikr )1eikr(1e ikr )r2mrr rrr r0i111111(ik)(ik)r0

13、rr2rr2r2mrkkr0rmr2mr3可見(jiàn)， J反向。表示向內(nèi)(即向原點(diǎn)) 傳播的球面波。2與r補(bǔ)充：設(shè)(x)eikx ，粒子的位置幾率分布如何？這個(gè)波函數(shù)能否歸一化？* dxdx波函數(shù)不能按(x) 2 dx1方式歸一化。 21表示粒子在空間各處出現(xiàn)的幾率相同。2.3一粒子在一維勢(shì)場(chǎng)，x0U (x)0， 0xa，xa中運(yùn)動(dòng)，求粒子的能級(jí)和對(duì)應(yīng)的波函數(shù)。解：U (x)與t 無(wú)關(guān)，是定態(tài)問(wèn)題。其定態(tài) S方程92 d 22m dx2 (x) U (x) (x) E (x)在各區(qū)域的具體形式為： x 02d 21 (x) U (x) 1 (x) E 1 (x)2m dx2： 0 x a2d 22

14、(x) E 2 (x)2m dx2： x a2d 23 (x) U (x) 3 (x) E 3 (x)2m dx2由于(1)、(3)方程中，由于U (x)，要等式成立，必須1 (x) 0 2 (x) 0即粒子不能運(yùn)動(dòng)到勢(shì)阱以外的地方去。方程(2)可變?yōu)閐 2 2(x)2mE2(x) 0dx22令k 22mE，得2d 2 2 (x)2k 2(x) 0dx2其解為 2 (x) Asin kx B cos kx根據(jù)波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件確定系數(shù) A，B，由連續(xù)性條件，得2 (0)1 (0)2 (a)3 (a) B 0Asin ka0A 0sin ka 0ka n(n 1, 2, 3, )2 (x)Asin

15、 nxa10由歸一化條件(x)2 dx 12a2n0得Asinxdx 1aamna由bsinx sinxdxmn2aaA 2 a2n2 (x) sinxk 22mE2En2 2n2(n 1,2,3, ) 可見(jiàn) E 是量子化的。2ma2對(duì)應(yīng)于En 的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為ni2Entn (x,t)sinxe, 0 x aaa0,x a, x a#證明（）式中的歸一化常數(shù)是12.4.2.6-14AanA sin(x a),xaa證：n0,xa（2.6-14）由歸一化，得11an1n2 dx a A 2 sin 2(x a)dxaA 2 a 1 1 cos n (x a)dxa 2aA2xaA2a c

16、os n(x a)dxa2a2aaA 2 aA 2asinn(x a)na2aA 2 a歸一化常數(shù)1A#a2.5求一維諧振子處在激發(fā)態(tài)時(shí)幾率最大的位置。12 x2解： (x)2 xe 221 (x)1(x)2 4 2x2 e 2 x222 3 x2 e 2 x2d1 (x)2 3 2x 2 2 x3 e 2 x2dx令 d 1 (x)0 ，得 dxx 0x1x由1 (x) 的表達(dá)式可知，x0 ，x時(shí)， 1 (x) 0 。顯然不是最大幾率的位置。而d 2 1 (x)2 3(2 6 2 x2 ) 2 2 x(2x 2 2 x3 )e 2 x2dx24 3 (1 5 2 x22 4 x4 )e 2

17、x2d 2 1 (x)24 310dx21ex21可見(jiàn) x是所求幾率最大的位置。 #122.6在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：U ( x) U (x) ，證明粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。證：在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子的定態(tài) S-方程為2 d 22 dx2 (x) U (x) (x) E (x)將式中的 x以( x) 代換，得2 d 22 dx2 ( x) U ( x) ( x) E ( x)利用U ( x)U (x) ，得2 d 22 dx2 ( x) U (x) ( x) E ( x)比較、式可知，( x)和(x) 都是描寫在同一勢(shì)場(chǎng)作用下的粒子狀態(tài)的波函數(shù)。由于它們描寫的是同一個(gè)狀

18、態(tài)，因此( x)和(x) 之間只能相差一個(gè)常數(shù)c 。方程、可相互進(jìn)行空間反演 (x x) 而得其對(duì)方，由經(jīng) x x 反演，可得，( x) c (x)由再經(jīng)xx 反演，可得，反演步驟與上完全相同，即是完全等價(jià)的。(x) c ( x)乘 ，得(x) ( x) c2 (x) ( x)可見(jiàn)，c 21c1當(dāng) c 1 時(shí)， ( x) (x) ，(x) 具有偶宇稱，當(dāng) c 1 時(shí)， ( x)(x) ，(x) 具有奇宇稱，當(dāng)勢(shì)場(chǎng)滿足 U ( x) U (x) 時(shí)，粒子的定態(tài)波函數(shù)具有確定的宇稱。#132.7一粒子在一維勢(shì)阱中U00,xaU (x)0,xa運(yùn)動(dòng)，求束縛態(tài)( 0 E U0 )的能級(jí)所滿足的方程。解

19、法一：粒子所滿足的 S-方程為2 d 22 dx2 (x) U (x) (x) E (x)按勢(shì)能U (x) 的形式分區(qū)域的具體形式為 ：2d 21(x) U(x) E1(x)2 dx201：2d 22 (x) E 2 (x)2 dx2 ：2d23(x) U(x) E3(x)2 dx 203整理后，得： 12 (U 0E)102：.2 E2022： 32 (U 0 E)3 02令 k 22 (U 0 E)k 22 E1222則： 1 k12 1 0：.22 k2 2 0： 3 k12 1 0xaaxaax14各方程的解為1Ae k1x Bek1x2 Csin k 2 x D cos k2 x3E

20、e k1x Fe k1x由波函數(shù)的有限性，有1 ( )有限A 03 ( )有限E 0因此1Bek1x3Fe k1x由波函數(shù)的連續(xù)性，有1 ( a)2 ( a), Be k1aCsin k 2 a D cos k 2 a(10)1 ( a)2 ( a), k1Be k1a k 2 C cos k 2 a k 2 Dsin k 2 a(11)2(a)3 (a), C sin k 2a D cos k 2a Fe k1a(12)(a), k 2 C cos k 2 a k 2 D sin k 2 a k1Fek1a(13)2(a)3整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程組，得 e

21、 k1a B sin k 2 aC cos k 2 aD 0 0k1e k1a Bk 2 cos k2 aCk2 sin k 2 a D000k 2 cos k 2 aCk 2 sin k 2 aDk1e k1a F0解此方程即可得出 B、C、D、F，進(jìn)而得出波函數(shù)的具體形式，要方程組有非零解，必須e k1asin k 2acos k 2 a0k1e k1ak 2 cos k 2 ak 2sin k 2 a000sin k 2acos k 2 ae k1a0k 2 cos k 2ak 2sin k 2 ak1Be k1a15k 2 cos k 2 ak 2sin k2 a00e k1asin

22、k 2 acos k 2 ae k1ak2 cos k 2 ak 2sin k2 ak1e k1asin k 2 acos k 2 a0k1e k1asin k 2 acos k 2 ae k1ak2 cos k 2 a k 2 sin k 2ak1e k1ae k1a k1k2 e k1a cos2 k 2 a k 22e k1a sin k 2 a cos k 2 ak1k 2 e k1a sin 2 k 2a k 22 e k1a sin k 2 a cos k 2 ak1e k1a k1e k1a sin k 2 a cos k 2a k 2 e k1a cos2 k 2 a k1e k1a sin k 2 a cos k 2 a k 2e k1a sin 2 k 2 ae 2k1a 2k1k 2 cos 2k 2 a k 22 sin 2k2 a k12 sin 2k 2 a e 2k1a (k 22 k12 ) sin 2k 2a 2k1k 2 cos 2k2 a e 2k1a0 (k22 k12 ) sin 2k2 a 2k1k2 cos 2k2 a 0即 (k2