函數(shù)專題(文科)[教學(xué)類別]

1、第二課時(shí) 函數(shù) 一、 經(jīng)典例題剖析考點(diǎn)一：函數(shù)的性質(zhì)與圖象例1設(shè)a0，求函數(shù)（x(0，)）的單調(diào)區(qū)間分析：欲求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，則須解不等式（遞增）及（遞減）。解：當(dāng)a0，x0時(shí)f (x)0x2(2a4)xa20，f (x)0x2(2a4)xa20（）當(dāng)a 1時(shí)，對(duì)所有x 0，有x2(2a4)xa20，即f (x)0，此時(shí)f(x)在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增（）當(dāng)a1時(shí)，對(duì)x1，有x2(2a4)xa20，即f (x)0，此時(shí)f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，）內(nèi)單調(diào)遞增又知函數(shù)f(x)在x1處連續(xù)，因此，函數(shù)f(x)在（0，）內(nèi)單調(diào)遞增（）當(dāng)0a1時(shí)，令f (x)0，即x2(2a4)xa20，解得

2、，或因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)也單調(diào)遞增令f (x)0，即x2(2a4)xa2 0，解得 因此，函數(shù)f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力 例2 已知，函數(shù)。設(shè)，記曲線在點(diǎn)處的切線為。（）求的方程；（）設(shè)與軸交點(diǎn)為。證明： ； 若，則（）分析：欲求切線l的方程，則須求出它的斜率，根據(jù)切線斜率的幾何意義便不難發(fā)現(xiàn)，問(wèn)題歸結(jié)為求曲線在點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)值。解：求的導(dǎo)數(shù)：，由此得切線的方程：。（）分析：要求的變化范圍，則須找到使產(chǎn)生變化的原因，顯然，變化的根本原因可歸結(jié)為的變化，因此，找到與的等量關(guān)系式，就成； 欲比較與的

3、大小關(guān)系，判斷它們的差的符號(hào)即可。 證：依題意，切線方程中令y0，.由.。點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求曲線切線的方法，考查不等式的基本性質(zhì)，以及分析和解決問(wèn)題的能力。例3、 函數(shù)y1的圖象是（ ）解析一：該題考查對(duì)f（x）圖象以及對(duì)坐標(biāo)平移公式的理解，將函數(shù)y的圖形變形到y(tǒng)，即向右平移一個(gè)單位，再變形到y(tǒng)即將前面圖形沿x軸翻轉(zhuǎn)，再變形到y(tǒng)1，從而得到答案B.解析二：可利用特殊值法，取x0，此時(shí)y1，取x2，此時(shí)y0.因此選B.答案：B點(diǎn)評(píng)：1、選擇題要注意利用特值排除法、估值排除法等。2、處理函數(shù)圖像的平移變換及伸縮變化等問(wèn)題的一般方法為：先判斷出函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)模型，并用換元法將問(wèn)題復(fù)合、化歸為

4、所確定的標(biāo)準(zhǔn)模型?？键c(diǎn)二：二次函數(shù)例設(shè)二次函數(shù)，方程的兩個(gè)根滿足. 當(dāng)時(shí)，證明.分析：在已知方程兩根的情況下，根據(jù)函數(shù)與方程根的關(guān)系，可以寫(xiě)出函數(shù)的表達(dá)式，從而得到函數(shù)的表達(dá)式. 證明：由題意可知.， ， 當(dāng)時(shí)，.又， ，綜上可知，所給問(wèn)題獲證. 點(diǎn)評(píng)：本題主要利用函數(shù)與方程根的關(guān)系，寫(xiě)出二次函數(shù)的零點(diǎn)式。例5 已知二次函數(shù)，設(shè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為和. （1）如果，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：；（2）如果，求的取值范圍.分析：條件實(shí)際上給出了的兩個(gè)實(shí)數(shù)根所在的區(qū)間，因此可以考慮利用上述圖像特征去等價(jià)轉(zhuǎn)化. 解：設(shè)，則的二根為和.（1）由及，可得 ，即，即 兩式相加得，所以，;（2）由， 可得 .又，

5、所以同號(hào). ，等價(jià)于或，即 或解之得 或.點(diǎn)評(píng)：在處理一元二次方程根的問(wèn)題時(shí)，考察該方程所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)圖像特征的充要條件是解決問(wèn)題的關(guān)鍵?？键c(diǎn)三：抽象函數(shù)（一） 函數(shù)性質(zhì)法（二 ）特殊化方法1、在求解函數(shù)解析式或研究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，一般用代換的方法，將x換成x等2、在求函數(shù)值時(shí)，可用特殊值代入3、研究抽象函數(shù)的具體模型，用具體模型解選擇題，填空題，或由具體模型函數(shù)對(duì)綜合題的解答提供思路和方法.例6、設(shè)f(x)是定義在（0，）上的增函數(shù)，且對(duì)任意的x，y（0，），都有f(xy)f(x)f(y)。（1）求證：當(dāng)x（1，）時(shí)，f(x)0；且f()f(x)f(y).（2）若f(2)1，解不等式f(x2)

6、f(2x)2.分析：由f(xy)f(x)(y)，不難想到f(x)應(yīng)為對(duì)數(shù)函數(shù)形式，所以f(1)0，由題意條件，f(x)為增函數(shù)，據(jù)此不難求解。解：（1）令xy1，則由f(xy)f(x)f(y)得f(11)f(1)f(1).即f(1)2f(1)，f(1)0，又由于函數(shù)f(x)在（0，）上為增函數(shù)，所以對(duì)任意x（1，），有f(x)f(1)0，故f(x)0.設(shè)x，y（0，），則有 （0，），于是f(x)f(y) f( ) f(y)，即f()f(x)f(y).（2）由于f(2)1，所以ff(2)f(2)f(22)f(4)，由f(x2)f(2x)2，f(x2)f(2x)f(4)， f(x2)f(8x)，

7、又因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在（0，）上為增函數(shù)，所以x28x，因x（0，）所以 0x . 考點(diǎn)四：函數(shù)的綜合應(yīng)用例7設(shè)函數(shù)（）求的最小值；（）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：（），當(dāng)時(shí)，取最小值，即（）令，由得，（不合題意，舍去）當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：t10遞增極大值1m遞減在內(nèi)有最大值在內(nèi)恒成立等價(jià)于在內(nèi)恒成立，即等價(jià)于，所以的取值范圍為點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性、極值以及函數(shù)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力 例8甲、乙兩地相距S千米，汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過(guò)c千米時(shí)，已知汽車每小時(shí)的運(yùn)輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度 v（千米時(shí)

8、）的平方成正比，比例系數(shù)為b；固定部分為a元. 把全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米時(shí)）的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域； 為了使全程運(yùn)輸成本最小，汽車應(yīng)以多大速度行駛？ 分析：幾個(gè)變量（運(yùn)輸成本、速度、固定部分）有相互的關(guān)聯(lián)，抽象出其中的函數(shù)關(guān)系，并求函數(shù)的最小值.解：（讀題）由主要關(guān)系：運(yùn)輸總成本每小時(shí)運(yùn)輸成本時(shí)間，（建模）有y(abv)（解題）所以全程運(yùn)輸成本y（元）表示為速度v（千米時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式是：yS(bv)，其中函數(shù)的定義域是v(0，c .整理函數(shù)有yS(bv)S(v)，由函數(shù)yx (k0)的單調(diào)性而得：當(dāng)c時(shí)，則v時(shí)，y取最小值；當(dāng)c時(shí)，則vc時(shí)，y取最小值.綜上所述，為使全程

9、成本y最小，當(dāng)c時(shí)，行駛速度應(yīng)為v；當(dāng)c時(shí)，行駛速度應(yīng)為vc.二、 強(qiáng)化訓(xùn)練（一） 選擇題1.函數(shù)y2x1（x0）的反函數(shù)是（ ）A.ylog2，x（1，2）B.y1og2，x（1，2）C.ylog2，x（1，2D.y1og2，x（1，22.已知是上的減函數(shù)，那么的取值范圍是（A） （B） （C）（D）3.在下列四個(gè)函數(shù)中，滿足性質(zhì)：“對(duì)于區(qū)間上的任意，恒成立”的只有（A）（B） （C）（D）4.已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)則（A）（B）（C）（D）5.函數(shù)的定義域是A. B. C. D. 6、下列函數(shù)中，在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是A. B. C. D. 7、函數(shù)的反函數(shù)的圖像與

10、軸交于點(diǎn)（如右圖所示），則方程在上的根是A.4 B.3 C. 2 D.18、設(shè)是R上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是 (A)是奇函數(shù) (B)是奇函數(shù) (C) 是偶函數(shù) (D) 是偶函數(shù)9、已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則A BC D10、設(shè)(A)0 (B)1 (C)2 (D)311、對(duì)a，bR，記maxa，b，函數(shù)f（x）max|x1|，|x2|(xR)的最小值是(A)0 (B) (C) (D)312、關(guān)于的方程，給出下列四個(gè)命題：存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有2個(gè)不同的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有4個(gè)不同的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有5個(gè)不同的實(shí)根；存在實(shí)數(shù)，使得方程恰有8個(gè)不同的實(shí)根；其中

11、假命題的個(gè)數(shù)是A0 B1 C2 D3（二） 填空題13.函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)滿足條件，若則_。14.設(shè)則_15.已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則_。16. 設(shè)，函數(shù)有最小值，則不等式的解集為 。（三） 解答題17. 設(shè)函數(shù).（1）在區(qū)間上畫(huà)出函數(shù)的圖像；（2）設(shè)集合. 試判斷集合和之間的關(guān)系，并給出證明；（3）當(dāng)時(shí)，求證：在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 18、已知函數(shù)f（x）x22ax2，x5，5（I）當(dāng)a1時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值；（II）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf（x）在區(qū)間5，5上是單調(diào)函數(shù).19. 已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)。（）求的值；（）若對(duì)任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；

12、20.設(shè)函數(shù)f(x)其中a為實(shí)數(shù).()若f(x)的定義域?yàn)镽，求a的取值范圍;()當(dāng)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)，求f(x)的單減區(qū)間.21. 已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其中設(shè)兩曲線，有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同（I）用表示，并求的最大值；（II）求證：（）22. 已知函數(shù)，是方程f(x)0的兩個(gè)根，是f(x)的導(dǎo)數(shù)；設(shè)，（n1，2，） （1）求的值； （2）證明：對(duì)任意的正整數(shù)n，都有a；（3）記（n1，2，），求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Sn。解答：一、選擇題1解：找到原函數(shù)的定義域和值域，x0，），y（1，2）又原函數(shù)的值域是反函數(shù)的定義域，反函數(shù)的定義域x（1，2），C、D不對(duì)而1x2，0x11

13、，1又log20，即y0A正確2解：依題意，有0a1且3a10，解得0a，又當(dāng)x7a1，當(dāng)x1時(shí)，logax11 |x1x2|故選A4解：已知是周期為2的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，設(shè)，0，選D.5解：由，故選B.6解：B在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)但不是減函數(shù);C在其定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù);D在其定義域內(nèi)不是奇函數(shù)，是減函數(shù);故選A.7解：的根是2，故選C8解：A中則，即函數(shù)為偶函數(shù)，B中，此時(shí)與的關(guān)系不能確定，即函數(shù)的奇偶性不確定，C中，即函數(shù)為奇函數(shù)，D中，即函數(shù)為偶函數(shù)，故選擇答案D。9解：函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，所以是的反函數(shù)，即， ，選D.10解：f（f（2）f（1）2，選C11解：當(dāng)

14、x1時(shí)，|x1|x1，|x2|2x，因?yàn)椋▁1）（2x）3x1；當(dāng)1x時(shí)，|x1|x1，|x2|2x，因?yàn)椋▁1）（2x）2x10，x12x；當(dāng)xx2；故據(jù)此求得最小值為。選C12解：關(guān)于x的方程可化為（1）或（1x1，所以不等式可化為x11，即x2.三、解答題17解：（1） （2）方程的解分別是和，由于在和上單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增，因此. 由于. （3）解法一 當(dāng)時(shí)，. ， . 又， 當(dāng)，即時(shí)，取， . ， 則. 當(dāng)，即時(shí)，取， . 由 、可知，當(dāng)時(shí)，. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 解法二 當(dāng)時(shí)，.由 得， 令 ，解得 或， 在區(qū)間上，當(dāng)時(shí)，的圖像與函數(shù)的圖像只交于一點(diǎn)；

15、當(dāng)時(shí)，的圖像與函數(shù)的圖像沒(méi)有交點(diǎn). 如圖可知，由于直線過(guò)點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線是由直線繞點(diǎn)逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到. 因此，在區(qū)間上，的圖像位于函數(shù)圖像的上方. 18解：（I）當(dāng)a1時(shí)，f（x）x22x2（x1）21，x5，5x1時(shí)，f（x）的最小值為1x5時(shí)，f（x）的最大值為37（II）函數(shù)f（x）（xa）22a2圖象的對(duì)稱軸為xaf（x）在區(qū)間5，5上是單調(diào)函數(shù)a5或a5故a的取值范圍是a5或a5.19解：（）因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以0，即 又由f（1） f（1）知 （）解法一：由（）知，易知在上為減函數(shù)。又因是奇函數(shù)，從而不等式： 等價(jià)于，因?yàn)闇p函數(shù)，由上式推得：即對(duì)一切有：，從而判別式解法二：由（）知又由題設(shè)條件得：，即：，整理得上式對(duì)一切均成立，從而判別式20解：（）的定義域?yàn)?，恒成立，即?dāng)時(shí)的定義