導數(shù)復習專題

1、導數(shù)復習專題一、知識要點與考點(1 )導數(shù)的概念及幾何意義(切線斜率)；(2) 導數(shù)的求法：一是熟練常見函數(shù)的導數(shù)；二是熟練求導法則：和、差、積、商、復合函數(shù)求導。(3) 導數(shù)的應用：一是函數(shù)單調(diào)性；二是函數(shù)的極值與最值(值域)；三是比較大小與證明不等式；四是函數(shù)的零點個數(shù)(或參數(shù)范圍)或方程的解問題。(4) 八個基本求導公式(C) =； (xn) =； (n Q) (sin x) =, (cosx) =； (ex) =(ax) =； (In x)(loga x) =(5 )導數(shù)的四則運算(u v) =Cf(x)=(uv) = , () =(v 0)(6 )復合函數(shù)的導數(shù)(x)處可導，則復合函

2、數(shù)f (x)在點x處可導，且yxyu ux.設u (x)在點x處可導，y f (u)在點u二、考點分析與方法介紹考點一導數(shù)的概念及幾何意義目標：理解導數(shù)的概念和導數(shù)的幾何意義，會求簡單的函數(shù)的導數(shù)和曲線在一點處的切線方程.求曲線在一點處的切線方程思路：一會求導；二敢設切點；三要列盡方程；四解好方程組；五得 解。例1.已知曲線y= f(x)在x= 2處的切線的傾斜角為 ，貝U f ( 2) =, f( 2) =4例2.設函數(shù)f(x)的導數(shù)為f (x)，且f(x)= x2+ 2xf (1)，貝U f=例3.(1)曲線C: y= ax3 + bx2 + cx+ d在(0, 1)點處的切線為h ： y

3、= x+ 1，在(3, 4)點處的切線為12： y= 2x+ 10,求曲線C的方程.(2)求曲線S： y= 2x x3的過點A(1 , 1)的切線方程.考點二單調(diào)性中的應用知識要點：函數(shù)的單調(diào)性：設函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)可導，貝yf(X)0f (x) V 0反之，若f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞增，則在該區(qū)間上有 若f(x)在某區(qū)間上單調(diào)遞減，則在該區(qū)間上有f(x)在該區(qū)間上單調(diào)遞增；f( x)在該區(qū)間上單調(diào)遞減.f (x) 0恒成立(但不恒等于 0); f (x) w 0恒成立(但不恒等于 0).題型與方法：(1 )單調(diào)區(qū)間：一般分為含參數(shù)和不含參數(shù)問題，含參數(shù)的求導后又分導函數(shù)能分解與不能分解兩類，能分

4、解討論兩根大?。徊荒芊纸?，討論判別式。不含參數(shù)的直接求解。一般思路:求函數(shù)定義域；二、求導數(shù)；三、列方程、并解之；四、定區(qū)間號；五、得解。(2)證明函數(shù)單調(diào)性。例4.(2010江蘇改編)設函數(shù) f(x)lnx 丄(x 1)，其中b為實數(shù)。求函數(shù)f (x)的單調(diào)區(qū)間。x 1例5已知f(x)3,(1)若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(3,1),求a的取值范圍(2)若f (x)在區(qū)間1,)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍例6.已知函數(shù)f xx3 3ax2 bx，其中a, b為實數(shù)若fx在區(qū)間 1,2上為減函數(shù)，且b 9a ,求a的取值范圍.小結(jié)：1.重要結(jié)論：設函數(shù) f(x)在(a,b)內(nèi)可導若函數(shù)f(x)在(

5、a,b)內(nèi)單調(diào)遞增(減)，則有f(x) O(f(x)0).且 f(x)不恒為 02. 求解參數(shù)范圍的方法：方法1：運用分離參數(shù)法，如參數(shù)可分離，則分離參數(shù)T構(gòu)造函數(shù)g(x)(可將有意義的端點改為閉)7求g (x)的最值T得參數(shù)的范圍。方法2:如參數(shù)不方便分離，而f(x)是二次函數(shù)，用根的分布： 若f(x)0的兩根容易求，則求根，考慮根的位置 若f(x) 0不確定有根或兩根不容易求，一定要考慮和f(a) f(b)有時還要考慮對稱軸考點三極值、最值與值域函數(shù)的極值：()概念：函數(shù)f(x)在點X0附近有定義，且若對 xo附近的所有點都有 f(x)v f(xo) (或f(x) f(X0),則稱f(X0

6、)為函數(shù)的一個極大(小)值，稱X0為極大(小)值點.(2)求函數(shù)極值的一般步驟：求導數(shù)f (x):求方程f (x) = 0的根；檢驗f (x)在方程f (x) = 0的根的左右的符號，如 果是左正右負(左負右正)，則f(x)在這個根處取得極大(小)值.函數(shù)的最值：求函數(shù)f(x)在區(qū)間a, b上的極值；將極值與區(qū)間端點函數(shù)值f(a), f(b)比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值.例 7.已知函數(shù) f(x)=x 3+ax2+bx+c,曲線 y=f(x )在點 x=1 處的切線為 l:3x-y+1=0 ，若 x=-時，y=f(x ) 3有極值(1) 求函數(shù)f(x的解析式；(2) 求

7、y=f(x )在-3 , 1上的最大值和最小值.變式訓練1:若函數(shù)f(x)=x 3-3bx+3b在(0, 1)內(nèi)有極小值，則a的取值范圍為 變式訓練2 :若f(x)=x 3+3ax2+3(a+2)x+1沒有極值，則a的取值范圍為 變式訓練3:函數(shù)f(x)=x 3-ax 2-bx+a 2,在x=1時有極值10,則a、b的值為考點四不等式證明與大小比較思路點撥：主要解決方法是先構(gòu)造函數(shù)，然后利用導數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，進而達到解決問題的目的。例 8.已知 x (0, 2)，求證：sin x x tan x。變式訓練4:設函數(shù)f(x)=x+ax2+blnx,曲線y= f (x)過P( 1,0 )，且

8、在P點處的切線斜率為2.(I)求 a, b 的值；(II )證明：f (x) 0.且g(3) = 0 則不等式f(x)g(x) v 0的解集是 11. 若函數(shù)f(x) = x3 3x + a有3個不同的零點，則實數(shù)a的取值范圍是12. (2011江蘇)在平面直角坐標系 xOy中，已知點P是函數(shù)f(x)= ex(x0)的圖象上的動點，該圖象在P處的切線I交y軸于點M，過點P作I的垂線交y軸于點N，設線段MN的中點的縱坐標為t，貝U t 的最大值是 .二、解答題13. 已知函數(shù)f(x) = x3 + ax2 +bx+ c,曲線y=f(x)在點x= 1處的切線I不過第四象限且斜率為3,又坐標原點到切

9、線I的距離為 計扌，若x= 3時，y=f(x)有極值，(1)求a, b, c的值；求y= f(x)在 3, 1上的最大值和最小值.214. (2010南通模擬)已知函數(shù)f(x)= x3 + ax2 + bx+ c在x=空與x= 1時都取得極值,(1)求a, b的值與函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；若對x 1 , 2,不等式f(x)v c2恒成立，求c的取值范圍.O15 某地有三個村莊， 分別位于等腰直角三角形 ABC的三個頂點處，已知AB = AC= 6km，現(xiàn)計劃在BC 邊的高AO上一點P處建造一個變電站.記P到三個村莊 的距離之和為y.(1)設/ PBO = a,把y表示成a的函數(shù)關系式;(2)變電站建于何處時，它到三個小區(qū)的距離之和最小?16.定義在R上的函數(shù)f(x)= ax3 + bx2+ c