常微分方程自學(xué)考試大綱

1、常微分方程 （B） 自學(xué)考試大綱8488錄課程代碼：目一、課程性質(zhì)與設(shè)置目的二、課程內(nèi)容與考核內(nèi)容第一章 緒論1.1 常微分方程模型1.2 基本概念1.2.1 常微分方程基本概念第二章 一階微分方程的初等解法2.1 變量分離方程與變量變換2.1.1 變量分離方程2.1.2 可化為變量分離方程的類型2.2 線性方程與常數(shù)變易法2.3 恰當方程與積分因子2.3.1 恰當方程2.3.2 積分因子2.4 一階隱方程與參數(shù)表示241可以解出y （或x）的方程242不顯含y （或x）的方程第三章 一階微分方程的解的存在定理11 / 113.1 解的存在唯一性定理與逐步逼近法3.1.1 存在唯一性定理3.1

2、.2 近似計算與誤差估計3.2 解的延拓第四章 高階微分方程4.1. 線性微分方程的一般理論4.1.1 引言4.1.2 齊次線性微分方程的解的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)4.1.3 非齊次線性微分方程與常數(shù)變易法4.2 常系數(shù)線性方程的解法4.2.1 復(fù)值函數(shù)與復(fù)值解4.2.2 常系數(shù)齊次線性微分方程和歐拉方程4.2.3 非齊次線性微分方程，比較系數(shù)法4.3 高階方程的降階解法4.3.1 可降階的一些方程的類型第五章 線性微分方程組5.1 存在唯一性定理5.2. 線性微分方程組的一般理論5.2.1 齊次線性微分方程組5.2.2 非齊次線性微分方程組5.3 常系數(shù)線性微分方程組5.3.1矩陣指數(shù)exp A的定義5

3、.3.2 基解矩陣的計算公式三、有關(guān)說明和實施要求附錄：題型舉例一、課程性質(zhì)與設(shè)置目的： 常微分方程是數(shù)學(xué)的一個重要分支，是數(shù)學(xué)和實際相聯(lián)系的重要渠道之一， 它是和微積分同時產(chǎn)生和發(fā)展的。 現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和數(shù)學(xué)各分支的發(fā)展， 為常微分 方程提供了眾多的數(shù)學(xué)摸型、 研究方法和廣闊的應(yīng)用領(lǐng)域， 使得常微分方程的理 論日益豐富多彩，富有生命力。常微分方程是高等師范院校數(shù)學(xué)專業(yè)的基礎(chǔ)課之一， 在自學(xué)考試科目中也是 必考課程，它是繼數(shù)學(xué)分析， 高等代數(shù)和解析幾何之后開設(shè)的一門課程。 本課程 重點講授常微分方程理論中的一些最基本、 最重要的經(jīng)典性問題和一些簡單的應(yīng) 用，例如一、二階方程的解法，解的基本理論，

4、線性方程組的理論和方法。通過本課程的學(xué)習(xí)， 使學(xué)生正確掌握常微分方程的各種基本概念和處理微分 方程問題的思維方法，了解和初步掌握用常微分方程解決實際問題的全過程。通過學(xué)習(xí)， 使學(xué)生熟練掌握求解常微分方程的方法， 包括各種一階方程的各 種初等解法和高階線性常系數(shù)和方程組的解法， 降階解法等方法。 同時為學(xué)習(xí)本 學(xué)科的后繼課程和近代內(nèi)容打下基礎(chǔ)。二、課程內(nèi)容與考核內(nèi)容第一章、緒論（一）學(xué)習(xí)目的與要求正確掌握微分方程， 解和通解， 線性與非線性， 定解問題和初值問題等基本概念 了解積分曲線，方向場等概念 . 學(xué)會通過較簡單的實際問題建立常微分方程的方 法 （例如平面解析幾何中點的軌跡問題 ）.（二）

5、課程內(nèi)容1.1 常微分方程模型了解幾種常微分方程（ RLC 電路、數(shù)學(xué)擺、人口模型等）的建模1.2 基本概念微分方程 常微分方程 偏微分方程和微分方程組； 線性與非線性方程； 解和隱式解；通解和特解；積分曲線和方向場 。（三）考核知識點通解和特解 積分曲線和方向場四）考核要求（ 1）識記：微分方程 常微分方程 偏微分方程與方程組 線性與非線性方程 解 和隱式解 通解與特解 積分曲線與方向場等概念。（2）領(lǐng)會：通解，積分曲線與方向場等概念的含義。（3）應(yīng)用：根據(jù)常微分方程的物理背景及建立方法，能從一些簡單物理現(xiàn)象 中抽象出微分方程數(shù)學(xué)模型。第二章 一階微分方程的初等解法（一）學(xué)習(xí)目的與要求 熟練

6、掌握各種基本類型的方程及其解法；特別是線性方程及全微分方程。（二）課程內(nèi)容2.1 變量分離方程與變量變換變量分離方程 ; 可化為變量分離方程的類型 ;2.2 線性方程與常數(shù)變易法2.3 恰當方程與積分因子恰當方程 ; 積分因子2.4 一階隱方程與參數(shù)表示可以解出y （或X）的方程；不顯含y （或x）的方程（三）考核知識點變量分離方程與變量變換 ； 線性方程與常數(shù)變易法 ；恰當方程與積分因子 ； 一階隱方程與參數(shù)表示。（四）考核要求（ 1 ）識記：各種方程的定義，恰當方程判定的充要條件，特殊積分因子存 在的條件。（2）領(lǐng)會：變量分離方程的求解方法，一階線性非齊次方程的常數(shù)變易法， 恰當方程的解法

7、，特殊積分因子的求法以及可解出 x 和 y 的一階隱方程的解法。（3）應(yīng)用：能根據(jù)實際問題，列出對應(yīng)的微分方程并求解。第三章 一階微分方程的解的存在定理（一）學(xué)習(xí)目的與要求掌握證明存在唯一性定理的逐步逼近法。（二）課程內(nèi)容 解的存在唯一性定理與逐步逼近法；解的延拓。（三）考核知識點掌握證明存在唯一性定理的逐步逼近法， 會用其數(shù)學(xué)方法解決相關(guān)問題； 通 過這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)理解定性研究方程的基本思想。（四）考核要求（1）識記：解的存在唯一性定理的條件，結(jié)論。解的延拓定理及方法。（2）領(lǐng)會：解的存在唯一性定理的意義；逐步逼近法的思想、近似解的求 法。（3）應(yīng)用：運用解的存在唯一性定理解決相關(guān)問題。第

8、四章 高階微分方程（一）學(xué)習(xí)目的與要求準確掌握函數(shù)組線性無關(guān)及付朗斯基行列式的概念， 齊和非齊線性方程解的 疊加性原理， 熟練掌握基本解組的概念和常數(shù)變易公式等； 熟記線性齊方程組解空間的結(jié)構(gòu)和通解表示；熟練掌握常系數(shù)線性齊方程組基本解組的表示（特征根法 ）;熟練掌握用比較系數(shù)法求兩類非齊方程的特解的方法 .（二）課程內(nèi)容線性微分方程的一般理論 ; 常系數(shù)線性微分方程的解法 ; 高階微分方程的 降階.（三）考核知識點理解線性方程解的性質(zhì)及通解的結(jié)構(gòu)， 掌握常系數(shù)線性方程的解法以及特殊 高階方程的降階，并會用有關(guān)定理的證明方法和數(shù)學(xué)思想解決問題。（四）考核要求（1）識記 ; 線性方程解的性質(zhì)及通

9、解的結(jié)構(gòu)。（2）領(lǐng)會：常系數(shù)齊線性方程求解的歐拉待定指數(shù)函數(shù)法，歐拉方程的解法以 及非齊線性方程的比較系數(shù)法和常數(shù)變易法，高階方程的降階。（3）應(yīng)用：會運用這部分內(nèi)容中相關(guān)定理的證明方法和思想解決問題。 第五章 線性微分方程組（一）學(xué)習(xí)目的與要求 理解并掌握線性微分方程組的解的性質(zhì)， 通解結(jié)構(gòu)，劉維爾公式，熟悉向量 與矩陣的表達方法 . 熟練掌握常系數(shù)線性微分方程組的解法。（二）課程內(nèi)容存在唯一性定理 ; 線性微分方程組的一般理論 ; 常系數(shù)線性微分方程組 .（三）考核知識點理解任何一個高階線性方程的問題都可以化成一個線性方程組去解決，掌 握常系數(shù)方程組基解矩陣的求法， 并從中體會本課程與高等

10、代數(shù)間的聯(lián)系， 學(xué)習(xí) 其解決問題的數(shù)學(xué)思想和方法。（四）考核要求（1）識記：方程組的向量形式的記法、方程組的解的存在唯一性定理，方程組一般理論，伏朗斯基行列式，基解矩陣以及矩陣指數(shù)的定義。（2）領(lǐng)會：線性方程組與高階線性方程的關(guān)系，常系數(shù)線性方程組基解矩陣和 標準基解矩陣的求法，非齊線性方程組的常數(shù)變易法。（3）應(yīng)用：能根據(jù)實際問題，列出對應(yīng)的微分方程并求解。三、有關(guān)說明和實施要求（一）、自學(xué)方法指導(dǎo)：本課程概念較少， 但計算與理論都占有很重要的地位。 這就要求自學(xué)者要通 過大量的例題、 習(xí)題學(xué)會各種計算的方法和技巧以及基本理論的有關(guān)內(nèi)容， 主要 是通過正確的判斷方程的類型并會用相應(yīng)的方法求解

11、方程， 掌握存在唯一性定理 以及線性方程 （組）的解的結(jié)構(gòu)定理和解的性質(zhì)等定理的內(nèi)容以及證明的思想方 法。（二）、對助學(xué)的要求： 第一、社會助學(xué)者應(yīng)根據(jù)大綱規(guī)定的考試內(nèi)容和考核目標，認真鉆研指定教材， 明確本課程與其它課程的聯(lián)系與不同，對自學(xué)應(yīng)考者進行切實有效的輔導(dǎo)， 引導(dǎo)他們防止自學(xué)中的各種偏向，把握社會助學(xué)的正確方向；第二、要正確處理基本知識和應(yīng)用能力的關(guān)系， 努力引導(dǎo)自學(xué)應(yīng)考者將識記、 理、 掌握、會應(yīng)用聯(lián)系起來，把基本知識轉(zhuǎn)化為解決問題的能力， 在輔導(dǎo)的基 礎(chǔ)上，幫助自學(xué)應(yīng)考者建立用系統(tǒng)的觀點進行分析問題和解決問題的能力； 第三、要正確處理重點和一般的關(guān)系。 課程內(nèi)容有重點和一般之分，

12、 但考試內(nèi)容 是全面的， 而且重點與一般是相互影響的，不是截然分開的。 社會助學(xué)者應(yīng) 指導(dǎo)自學(xué)應(yīng)考者全面系統(tǒng)地學(xué)習(xí)教材內(nèi)容，掌握全部考試內(nèi)容和考核知識 點，在此基礎(chǔ)上再突出重點?？傊阎攸c學(xué)習(xí)同兼顧一般結(jié)合起來，切 勿孤立地抓重點，把自學(xué)應(yīng)考者引向猜題、押題。（三）、有關(guān)教材和參考書指定教材：常微分方程 （第三版）, 高教出版社, 王高雄, 周之銘等編著. 主要參考書： 1. 常微分方程教程 , 高教出版社 , 丁同仁, 李承志等編著 .2 常微分方程講義 , 人民教育出版社 , 王柔懷，伍卓群編 .（四）、考試方式：閉卷 考試采用閉卷、筆試形式，全卷滿分為 100 分，考試時間為 150

13、 分鐘。 試卷包括選擇題、填空題、解答題、應(yīng)用題和證明題。選擇題是四選一的單 向選擇，填空題只要求填寫結(jié)果，解答題、應(yīng)用題和證明題均應(yīng)寫出文字說明、 演算步驟或推證過程。選擇題、填空題、為 44 分，解答題、應(yīng)用題、證明題分值合計為 56 分。附錄：題型舉例常微分方程課程自學(xué)考試試卷 （樣題 ）、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分。在每小題給并將所選項前的字母填寫在答題紙的3B. (y) 2y 3y 0D.(y3) 2(y )3 3y 0出的四個備選項中，選出一個正確的答案, 相應(yīng)位置上，填寫在其它位置上無效)1、下列方程是三階方程的是A. y 2y 3y 0 ，C.(y3) 2y 3y 0二、填空題(本大題共8小題，每小題3分，共24分)1、方程dy g()方程，經(jīng)過變換 以化變量可分離方程dx x三、計算題(本大題共6小題，每小題7分共42分)1、 求方程xdy 2、xy y ( x 0)的通解dx四、應(yīng)用題(7分)鐳的衰變有如下規(guī)律：鐳的衰變速度與現(xiàn)存量成正比。有經(jīng)驗