(完整版)高考不等式知識點總結(jié)

1、第三章：不等式a b,b c a c（可加性）a b1不等式的基本性質(zhì)（同向可加性）ab, c dac bd（異向可減性）ab,cda c b d（可積性）ab,c0acbcab,c 0acbc（同向正數(shù)可乘性）ab 0,cd0ac bd（異向正數(shù)可除性）a b0,0.a b c dc d（平方法則）ab0 anbn(nN,且n1)（開方法則）ab 0na7b (nN，且 n 1)（倒數(shù)法則）ab0丄1；ab 011abab（對稱性）a bb a（傳遞性）2、幾個重要不等式_2 b2a2 b2 Nb a, b R,（當且僅當a b時取號）.變形公式一ab ?。ɑ静坏仁剑゛ b2、.aba，b

2、 R ,（當且僅當a b時取到等號）.變形公式：a b2、abab2a b 用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大）2，要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.（三個正數(shù)的算術一幾何平均不等式）a b c 3abc（a、b、c R ）（當且僅當a b c時取到等號）32 .2 2a b cab bc ca a, b R (當且僅當ab c時取到等號） a3 b33abc(a0,b0,c0)(當且僅當a 若ab 0,則-a_ bb m 1aa ma2（當僅當a=b時取等號）若ab0,則-a2 （當僅當a=b時取等號）babana ,其中(a b 0, m0， n0）規(guī)律:小于1同加則變大

3、，大于1同加則變小.bnbb c時取到等號）1絕對值三角不等式a|ba baab.3、兒個著名不等式平均不等式2后 a bb2 a, b R- 1 ab12 V 2當a 0時，x ax2 a2xa或x a;,（當且僅當a b時取幾何平均算術平均平方平均）a x a.a b 2變形公式：ab2a2 b2(a b)22 ；Ctu2幕平均不等式：aj a222an1_ (a1 a2 .nan)2.二維形式的三角不等式：2 2J x1%2 2.X2y21(X1 X2)2 (% y2)2 (X1, y1,X2,y2R).號）.（即調(diào)和平均二維形式的柯西不等式 （a2 b2）（e2d2) (ae bd)2

4、 (a, b,e, dR）.當且僅當adbe時，等號成立三維形式的柯西不等式:(ai22a22a3)2 b22 b32) (aQa2b2a3b3)2.一般形式的柯西不等式：（a122 2 2an )(b1b2bn2)（碉a? b2.anbn)2.向量形式的柯西不等式：_ur urur ir設，是兩個向量，則urIT,當且僅當是零向量，或存在實數(shù)irk，使irk時，等號成立.排序不等式（排序原理）設 a1a2an,bib2bn為兩組實數(shù).ei,C2,.,en是bi,b2,.,bn的任一排列，則a1 bna?bn 1. andarCra2C2.anena1b1a2b2. anbn.(反序和 亂序和

5、順序和)當且僅當a1a2. an或bb2bn時，反序和等于順序和琴生不等式：（特例：凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f （x）,對于定義域中任意兩點x，X2（x X2）,有 f（3） f（x1） g或2 24、不等式證明的幾種常用方法常用方法有：比較法（作差，作商法） 造法，函數(shù)單調(diào)性法， 數(shù)學歸納法 等. 常見不等式的放縮方法：f(U2)2、綜合法、f（Xi） f（X2）則稱f（x）為凸（或凹）函數(shù)2分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構 舍去或加上一些項，如 （a -）22 將分子或分母放大（縮?。?，如(a2)21111( 2k2k(k 1) k2k(k 1)2 . k1k2

6、 1 2 * 寸1k.k廠1% N，k 1)等.5、元二次不等式的解法求一元二次不等式 ax2 bx e0(或 0) (a 0,b24ae 0）解集的步驟:二判：判斷對應方程的根一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù)的圖象五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集 規(guī)律：當二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標在數(shù)軸上,式不等號的方向，寫出不等式的解集.三求：求對應方程的根從右上方依次往下穿（.四畫：畫出對應函數(shù)奇穿偶切）,結(jié)合原7、分式不等式的解法：先 移項通分標準化，f(x) g(x) f(x) g(x)f(x) g(x) 0f(x) g(x) 0g(x) 0

7、或”時同理）規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解03、.f(x) a(a 0)f(x)f(x)a(a 0)f(x) 0 f (x) a2f(x).f(x) g(x)g(x)f(x)00 或g(x)2f(x) g(x)g(x)f(x) 0g(x) 0f(x) g(x)28f(x) 0g(x) 0g(x) f (x) g(x) (g(x)0) f(x) g(x) f(x)| g(x)f(x) g(x)規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解9、指數(shù)不等式的解法:當 a 1 時,af(x) ag(x)f (x)規(guī)律：根據(jù)指

8、數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化g(x)當 0 a 1 時，af(x) ag(x)f(x) g(x)10、對數(shù)不等式的解法f(x) 0f(x) 0當a 1 時1 loga f(x) loga g(x)g(x) 0 當 0 a1 時1 loga f(x)loga g(x)g(x) 0f(x) g(x)f(x) g(x)11、含絕對值不等式的解法：定義法aa (aa0)平方法：f(x)g(x)f2(x) g2(x)a (a0)同解變形法，其同解定理有:c aa x a(a0);:x ax a或xa(a 0);規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化f (x) g (x)或f (x)g(x) (g(x)0)規(guī)律：關鍵是去掉絕對

9、值的符號12、含有兩個(或兩個以上)絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集13、含參數(shù)的不等式的解法解形如ax2 bx c 0且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論的標準有:討論a與0的大??；討論與0的大??；討論兩根的大小 14、恒成立問題2不等式ax bx c 0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：當a 0時 b 0,c 0;當a 0時 a 0不等式ax2 bx c 0的解集是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是：0.當a 0時 b 0,c0;當a 0時 a 00.f(X) a恒成立f(X)maxa; f(x) a恒成立 f (x)

10、 maxa; f （x） a 恒成立 f（x）min a; f（x） a 恒成立 f （x）min a.15、線性規(guī)劃問題二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：法一：取點定域法：由于直線Ax By C 0的同一側(cè)的所有點的坐標代入Ax By C后所得的實數(shù)的符號相同所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點（x0,y0）（如原點），由Axo By。 C的正負即可判斷出 Ax By C 0 （或 0）表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域 .即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點法二：根據(jù)Ax By C 0 （或 0），觀察B的符號與不等式開口的符號，若同號，Ax By C 0 （或 0）表

11、示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.|即：同號上方，異號下方二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共 利用線性規(guī)劃求目標函數(shù) z Ax By （A,B為常數(shù)）的最值：法一：角點法：如果目標函數(shù)z Ax By （ x、y即為公共區(qū)域中點的橫坐標和縱坐標）的最值存在，則這些最值都 在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標代入目標函數(shù)，得到一組對應z值，最大的那個數(shù)為目標函數(shù)z的最大值，最小的那個數(shù)為目標函數(shù)z的最小值法二：畫一一移一一定一一求：第一步，在平面直角坐標系中畫出可行域；第二步，作直線l0:Ax By 0 ，平移直線10

12、 （據(jù)可行域,將直線I。平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解 （x, y）；第四步，將最優(yōu)解（x, y）代入目標函數(shù) z Ax By即可求出最大值或最小值 .第二步中最優(yōu)解的確定方法：利用z的幾何意義：yAx-為直線的縱截距B B B若B 0,則使目標函數(shù)z Ax By所表示直線的縱截距最大的角點處, 縱截距最小的角點處，z取得最小值；z取得最大值，使直線的若B 0,則使目標函數(shù)z Ax By所表示直線的縱截距最大的角點處, 縱截距最小的角點處，z取得最大值.z取得最小值，使直線的常見的目標函數(shù)的類型：“截距”型：z Ax By;“斜率”型：z上或z y b；xx a“距離”型：zx2y2

13、或 zx2y2;z (x a)2(y b)2 或 z - (x a)2 (y b)2在求該“三型”的目標函數(shù)的最值時，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化35.利用均值不等式:求最值時，你是否注（一正、二定、三相等）a2 b2 2ab a, b R ; a b 2 . ab; ab注意如下結(jié)論：a2b2ab2.ab2aba, b R2ab當且僅當ab時等號成立。2 2 2a b cabbc caa,bR當且僅當abc時取等號。bb man aa b 0,m0， n0,則1 aa mbn b意到“ a, b R ”且“等號成立”時的條件，積但b）或和（a b）其中之一為定 值?

14、如：若x40, 2 3x -的最大值為(設y42 3x 22、122 4、3xx當且僅當3x4，又 x 0,A x2力時y24 3)x又如：x2y1,則2x 4y的最小值為(.2x22y2 2x2y221,最小值為2）36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎?（比較法、分析法、綜合法、數(shù)學歸納法等）并注意簡單放縮法的應用。如：證明112213212n1是偶重根1 111 1 11 11 1(1 2 2231214n11 1223n 1 n22 3n 1 n 2 1 n2)37.解分式不等式型a a 0g(x)的一般步驟是什么？（移項通分，分子分母因式分解,x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。)38.用

15、“穿軸法”解高次不等式一-“奇穿，偶切”，從最大根的右上方開始丄23如：x 1 x 1 x 2039. 解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論女口：對數(shù)或指數(shù)的底分a 1或0 a 1討論40. 對含有兩個絕對值的不等式如何去解？(找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。)1例如：解不等式|x 3| x 11(解集為x|x241. 會用不等式|a| |b| |a b| |a| |b|證明較簡單的不等問題女口：設 f(x) X2 x 13,實數(shù) a滿足 |x a| 1 求證：|f(x) f(a)|2(|a| 1)l(x a)(x a 1)|( |x a| 1)2 2證明：|f(x)f(a)| |(x x 13) (a a 13)| |x a|x a 1| |x a 1|x| |a| 1又|x| |a| |x a| 1,a |x| |a| 1 a |f(x)