(完整版)集合問題中常見易錯(cuò)點(diǎn)歸類分析答案與解析

1、WORD格式.可編輯集合問題中常見易錯(cuò)點(diǎn)歸類分析有關(guān)集合問題，涉及范圍廣，內(nèi)容多，難度大，題目靈活多變初學(xué)時(shí)，由于未能真正 理解集合的意義，性質(zhì)，表示法或考慮問題不全，而造成錯(cuò)解.本文就常見易錯(cuò)點(diǎn)歸納如下：1 代表元素意義不清致誤例 1 設(shè)集合 A= ( X, y)l x + 2 y= 5, B= ( X, y)l x 2 y=- 3,求 Al B .x + 2y = 5x =1錯(cuò)解： 由丿 丫得丿從而AIB=1 , 2.x 2y = 3y = 2分析 上述解法混淆了點(diǎn)集與數(shù)集的區(qū)別，集合A、B中元素為點(diǎn)集，所以 A B= (1 , 2)例 2 設(shè)集合 A= y I y = x2 + 1, X

2、 R , B= x I y= . x + 2，求 APB.錯(cuò)解： 顯然A= y I ylB= x I y2.所以 AP B=B.分析錯(cuò)因在于對集合中的代表元素不理解，集合A中的代表元素是y,從而A= yI y 1，但集合B中的元素為x,所以B= x I x 0，故AP B=A .變式：已知集合 A = y I y = x2 1，集合B = y | x二y2，求A B解：A 二 y | y = x21 = y | y _ 1 , B 二y|x二y2=RA B =y |y _1、22例3設(shè)集合A=xx-6 = 0,B=x|xx-6=0，判斷A與B的關(guān)系。錯(cuò)解：A 二 B 二-2,3分析：某些指定的

3、對象集在一起就成為一個(gè)集合，其中每一個(gè)對象叫元素。元素的屬性可以是方程，可以是數(shù)，也可以是點(diǎn)，還可以是集合等等。集合A中的元素屬性是方程，集合B中的元素屬性是數(shù)，故 A與B不具包含關(guān)系。例4設(shè)B= 1,2，A= x|x? B，則A與B的關(guān)系是()A. A? B B . B? A C. A B D . B A 錯(cuò)解：B分析：選 D. / B 的子集為1，2，1,2，?， A= x|x ? B = 1，2，1,2，? ，從集合與集合的角度來看待A與B，集合A的元素屬性是集合，集合B的元素屬性是數(shù)，兩者不具包含關(guān)系，故應(yīng)從元素與集合的角度來看 待 B與A，. B A.評注：集合中的代表元素，反映了集

4、合中的元素所具有的本質(zhì)屬性，解題時(shí)應(yīng)認(rèn)真領(lǐng)會(huì)，以防出錯(cuò).2忽視集合中元素的互異性致錯(cuò)例 5 已知集合 A=1，3，a，B= 1， a2 a + 1 ,且 A=B，求 a 的值.錯(cuò)解：經(jīng)過分析知，若a2 a 3,則a2 -a-2=0,即a -1或a = 2 .若a2 -a 1 二 a,則 a2 -2a 7=0,即 a =1 .從而 a =1，1，2.分析 當(dāng)a =1時(shí)，A中有兩個(gè)相同的元素 1，與元素的互異性矛盾，應(yīng)舍去，故a =1,2.例6 設(shè)A=xl x + (b + 2)x + b+1 = 0,b R,求A中所有元素之和.(x+1) (x + b + 1)=0錯(cuò)解：由 x2 +(b + 2

5、)x + b+1 = 0得(1) 當(dāng)b = 0時(shí)，x i = X2 - 1,此時(shí)A中的元素之和為一2.(2) 當(dāng)b =0時(shí)，x i + X2 =b 2.分析 上述解法錯(cuò)在(1)上，當(dāng)b = 0時(shí)，方程有二重根一1,集合A=1,故元素之和為一1,犯錯(cuò)誤的原因是忽視了集合中元素的“互異性”.因此，在列舉法表示集合時(shí)，要特別注意元素的“互異性” .評注：集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大，特別是帶有字母參數(shù)的集合，實(shí)際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。在解題時(shí)也可以先確定字母參數(shù)的范圍后，再具體解決問題。3 .忽視空集的特殊性致誤例 7 若集合 A= x|x

6、2+ x 6 = 0, B=x|mx+ 1= 0，且 B A,求實(shí)數(shù) m的值. 錯(cuò)解：A= x|x + x 6= 0 = 3,2. B=A,(1) B=m灶1 = 0的解為一3,1由 m- ( 3) + 1 = 0,得 m= 3；(2) B 二2m灶1 = 0的解為2,1由 nr 2+ 1 = 0,得 m= $;11綜上所述，m = -或m =- 32分析：空集是任何集合的子集，此題忽略了B =的情況。 2正解：A= x| x + x 6= 0 = 3,2./ BA,(1) B =，此時(shí)方程 mx 1 = 0無解，.m = 0(2) B = -3m灶1 = 0的解為一3,1由 m- ( 3)

7、+ 1 = 0,得 m= 3；(3) B=2m灶1 = 0的解為2,1由 m- 2+ 1 = 0,得 m= ;22(a1)x a -1=0，若 BA，求綜上所述,例 8 已知 A =x | x2 4x = 0 , B =x | x2 a的取值范圍。解：A =x| x24x =0二4,0(1) B = ，： =4(a 亠 1) -4(a -1) 8(a 亠 1) ： 0，即 a ： -1(2) B = /，方程 x2 - 2(a - 1)x a21 二 0有兩等根43 = 0a = 1，所以無解得丿、16 -8(a +1) +a2 1 =0a =1 或7J(3) B =0，方程 x2 2(a 1

8、)x a2 -0有兩等根 0A = 0a = 1由丿2得丿，所以a = 1a 1=0 a=1J(4) B = -4,0，方程 x22(a - 1)x a2 -1 = 0有兩不等根4,0: 0|a -1由4 +0 = 2(a +1)得 4 , B=x|2a蘭x蘭a+3，若B匸A，求a的取值范圍。解：(1) B = -, 2a a 3得 a 3(2) B = ，則 a 乞3嚴(yán)3或 +3 c1a 4得a 一4或2 : a込3綜上所述a ： -4或a - 2例10已知集合 A 二x| x ： -1 或x 4 , B =x| 1 - a _ x _ 1 a，若 A B 二:：,求a的取值范圍。解: (1

9、) B = :J，則a : 0，符合題意a 0(2) BH，則“ 一a蘭一1= 0蘭a蘭2J + a v4綜上所述，a空2變式：已知集合 A 二x|x ： -1 或x 4 , B =x|1 - a 豈 x1 a，若 AB “:，求a的取值范圍。解：當(dāng)B =:時(shí)，a乞2所以當(dāng)A B “：時(shí)，a 2評注：對于任何集合A,皆有A ： =, AU =AA4，或 xV5 , B=xl a +1x4，解得 a w8，或 a 3.分析：上述解法忽視了等號能否成立，事實(shí)上，當(dāng) a =-8時(shí)，不符合題意；當(dāng) a = 3時(shí)，符合題意，故正確結(jié)果應(yīng)為a v8，或a 3.評注：在求集合中字母取值范圍時(shí)，要特別注意該字

10、母在取值范圍的邊界能否取等號， 否則會(huì)導(dǎo)致解題結(jié)果錯(cuò)誤.5忽視隱含條件致誤例 12 設(shè)全集U= 2, 3, a2 + 2 a 3 , A= 12 a II, 2 , CU A = 5,求實(shí)數(shù)a的值.錯(cuò)解：t Cu A =5,. 5 S 且 5 A，從而，a +2 a 一 3 = 5，解得 a = 2, 或 a =4.分析 導(dǎo)致錯(cuò)誤的原因是沒有考慮到隱含條件，因?yàn)閡是全集，所以Au.當(dāng)a =2 時(shí)，I2 a 1I=3- S,符合題意；當(dāng) a =一4 時(shí)，I2 a 11=9 一 S,不符合題意；故a = 2.評注：在解有關(guān)含參數(shù)的集合時(shí)， 需要進(jìn)行驗(yàn)證結(jié)果是否滿足題設(shè)條件，包括隱含條件.6、忽視補(bǔ)

11、集的含義致錯(cuò)1例13已知全集I二R，集合M二x|x2 -x ：0，集合N二x |丄空1，則下列關(guān)x糸止確的是()A.B.C.M = 0D.C,IMIJN = R1錯(cuò)解：N =x| 11的補(bǔ)集為C|N =x|冷，故選xx剖析：本題錯(cuò)誤地認(rèn)為A二x|f(x)空0的補(bǔ)集為C|A二x| f(x) .0。事實(shí)上對 于全集I = r，由補(bǔ)集的定義有AYCiA = R，但臨緬U何兔)亦x| f(x)乞 0 TX| f (x) 0 =x| 使 f (x)有意義，x R，即為 f (x)的定義域。所以只有當(dāng)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)才有A二x|f(x)乞0的補(bǔ)集為C|A=x|f(x)0，否則先求 A,再求 C| A

12、。1X 1正解：N =x |1 =x|0 =x |x ： 0或x _ 1,所以 C| N =x | 0 _ x ： 1,xx而 M =x|0 :：: x 1，應(yīng)選 A7、考慮問題不周導(dǎo)致錯(cuò)誤例14已知集合A Mx|ax2 4x 0, R, a R只有一個(gè)元素，求 a的值和這個(gè)元 素。解：（1）a =0，由4x 4 =0得x - -1，此時(shí)A =-1符合題意a式0（2）丿得a=1，此時(shí)A =-2符合題意也=16 16a = 0-綜上所述，a=0或a =1一、對代表元素理解不清致錯(cuò)。2 _ 2 例 1.已知集合 A=y|y=x 2x,x R, B=y |y =x +6x+16,xR，求 a i B

13、。錯(cuò)解 1:令x2-2x=x2 6x16,得x - -2，所以 y =8,AB 二8。錯(cuò)解 2：令x2-2x=x2 6x16，得 x 2，所以 y =8，A B 二-2,8。剖析：用描述法表示的集合 x|x p中，x表示元素的形式，X，p表示元素所具有的 性質(zhì)，集合（x,y）|y =f（x）,x R表示函數(shù)f （x）的圖象上全體點(diǎn)組成的集合，而本題 y|y=f（x）,xR表示函數(shù)f（x）的值域，因此求A . B實(shí)際上是求兩個(gè)函數(shù)值域的交集。正解：由 A 二y |y =x2 -2x,x R =y |y =（x -1）2 -1二y|y 一 -1,B 二y |y =X2 6x 16, x R二y |

14、y =（x 3）27 =y |y _7,得A . B =y|y _7。二、遺漏空集致錯(cuò)。例 2.已知集合 A =x 丨 -2 _x _ 5， B =x | m 1 _x _ 2m -1，若 A = B，求實(shí)數(shù) m的 取值范圍。錯(cuò)解：解不等式-2，仁亦-仁5,得2乞m乞3。剖析：空集是特殊集合，它有很多特殊性質(zhì)，如 A二A,空集是任何 一個(gè)集合的子集，是任何一個(gè)非空集合的真子集。 本題錯(cuò)解是因考虛不周遺漏了空集， 故研 究A = B時(shí)，首先要考慮 B=叮 的情況。專業(yè)知識整理分享正解：若B = ：，時(shí)，則m 1 2m _1,即m ： 2。_2 蘭 m +1,若B學(xué)時(shí)，貝【Jm+12m1,即m蘭2

15、。由1蘭5得3蘭m蘭3。所以2蘭m蘭3。 由知m的取值范圍是(-二，3】。三、忽視元素的互異性致錯(cuò)。例 3.已知集合x,xy,lg(xy) =O,|x|,y,求x y 的值。錯(cuò)解：由Xy 0，根據(jù)集合的相等，只有l(wèi)g(xy 0, xy -1。所以可得1 x = 1或 |y 1 O殳=1=1-或X=-1, y = 1所以 x y =2或x - y 二2剖析：當(dāng)x =y二1時(shí)，題中的兩個(gè)集合均有兩個(gè)相等的元素1,這與集合中元素的互異性相悖。其實(shí)，當(dāng)xy i時(shí)，集合x，1,0 =0，|x|，y，這時(shí)容易求解了。正解：舍去x =y二1，故x y _ -2。四、混淆相關(guān)概念致錯(cuò)。2 _ 2 2例 4.已

16、知全集 U=R 集合 A=x|x +4ax4a+3 =0,x e R, B =x |x (a1)x+a= 0,xR, C =x |x Zx-2a = 0,xR，若a b、C中至少有一個(gè)不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。錯(cuò)解：對于集合A,當(dāng)231=（4a） 4（4a 3） _0,得a或a -2 2時(shí)，A不是空同理當(dāng)時(shí)，B不是空集；當(dāng)a -2或a 0時(shí)，c不是空集。求得不等式解集的交集是空集，知a的取值范圍為門。剖析：題中“ A B、C中至少有一個(gè)不是空集”的意義是“ A不是空集或B不是空集或C不是空集”，故應(yīng)求不等式解集的并集，得1 .=x | x 1,則下列關(guān)系正確的A.M =CiNB.C.M =

17、C|ND.N =x |丄 1錯(cuò)解：x的補(bǔ)集為GN =x I11x ，故選Co五、忽視補(bǔ)集的含義致錯(cuò)。2N例5.已知全集I =R，集合M =x |x -X詢,集合是(二x|f (x) .0 o事實(shí)上對于全A. A=BZDB. A =Bc. a - B D. A B剖析：本題錯(cuò)誤地認(rèn)為A珂x |f (x)豈0的補(bǔ)集為C i A集I=R，由補(bǔ)集的定義有ATCiA二R,但x|f(xWx|f(x) .0 =x|使f(x)有意義,R，即為f(x)的定義域。所以只有當(dāng)f(x)的定義域?yàn)镽時(shí)才有A二x|f(x)豈6的補(bǔ)集為Ci A二x |f(x)0，否則先求A,再求Cia o1X 1，所以 C|N 二x | 空 x :1，