(完整版)高數(shù)上冊練習(xí)題

1、1 2 0 f(t)dt ,則 f (x)( （D）x 2. 4分，共16分） 二、填空題（本大題有4小題，每小題 2 叫1 3x)sin x 已知C0SX是f（X）的一個原函數(shù) 6.x I rcosx 則 f(x) d x x 2 2 2 lim (cos cos L 7. n n nn 1 cos3 ) n 8. 2 2 x arcs in x 1 dx 丄 x2 2 上冊練習(xí)題 、單項選擇題（本大題有4小題，每小題4分，共16分） 1 設(shè) f ( x) cos x (x sin x ),則在 x 0處有( ). (A) f(0) 2(B) f(0)1 (C) f(0)0(D) f（X）不

2、可導(dǎo). c 設(shè)(x)1 2. 1 X，(x) 3 33 x，則當(dāng) x1時( X ) (A)(x)與 （x）是同階無窮小，但不是等價無窮小； (B )(X)與(X) 是等價無窮??； （C）（X）是比（x）高階的無窮小；（D） （X）是比（x）高階的 無窮小. X 3.若F（X）0（2t x）f（t）dt，其中心）在區(qū)間上（1,1）二階可導(dǎo)且 f （x）0 ，則（）. （A）函數(shù)F（x）必在x 0處取得極大值； （B）函數(shù)F（x）必在x 0處取得極小值； （C）函數(shù)F（x）在x 0處沒有極值，但點（0，F(xiàn)（0）為曲線y F（x）的拐點； （D）函數(shù)F（x）在x 0處沒有極值，點（0，F(xiàn)（0）也不是

3、曲線y F（x）的拐點。 4 設(shè)f （X）是連續(xù)函數(shù)，且f （X） 2 2 2 二、解答題（本大題有 5小題，每小題8分，共40 分） 9.設(shè)函數(shù)y y（x）由方程 sin( xy) 1確定，求y（x）以及y（）. 求 1 x(1 x7) dx. （A） 2（ B） 2（ C） x 11. 12. 13. 設(shè) f (x) xe 、2x 2 x ， 設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù), g(x)并討論g(x)在x g(x) 0 x 1 1 f (xt)dt 0 3 f(x)dx. 求微分方程xy 2 y ，且x 0處的連續(xù)性. xlnx 滿足 y(1) lim 0 空A x ，A為常數(shù).求 1 9的解. 四、解

4、答題(本大題10分) 14. 已知上半平面內(nèi)一曲線 y y(x) (x 0)，過點(01)，且曲線上任一點 M(X0,y0)處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與 x軸、y軸、直線x X。所圍成 面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程. 五、解答題(本大題10分) 15. 過坐標原點作曲線y ln x的切線，該切線與曲線y ln x及x軸圍 成平面圖形D. (1)求D的面積A ； (2)求D繞直線x = e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 V. 六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共8分) 16. 設(shè)函數(shù)f(x)在0,1上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的q 0，1， q1 f (x) d x q f (x)d

5、x 00 f ( x) d x 0 f (x)cos x dx 0 17. 設(shè)函數(shù)f(x)在0，上連續(xù)，且0 證明：在0，內(nèi)至少存在兩個不同的點1，2，使f ( f ( 2)0. (提 x F(x) f(x)dx 示：設(shè)0 解答 一、單項選擇題(本大題有4小題,每小題4分,共16分) 1、D 2、A 3、C 4、C 二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分) 1 COSX 2 6-() C 5. e. 6. 2 x.7.2 .8.3 三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分) 9.解：方程兩邊求導(dǎo) ex y (1 y ) cos(xy)(xy y) 0 y(x) ex y yc

6、os(xy) ex y x cos(xy) 0y(0) 10.解： u 7 x 7x6dx 原式 1 (1 u)du 7 u(1 u) 1 尹|u| 2ln |u 1 , |x7 2 ln |訥|1 0,y x du 1|) c x7| C (- u 1 7 0 3 1 )du u 1 11.解: 3 f(x)dx xe xdx 0 3xd( x xe 0、1 (x 1)2dx 0 2 ：_cos d (令 x 1 sin ) 2 12.解: -2e3 4 由 f() g(x) 1 f (xt )dt 0 知 g(0) 0。 x f (u)du xt u 0 (x 0) g(x) g(0) x

7、 f (u)du 0 2 x x f(u)du lim -2 x 0 x2 xf(x) (x 0) f(x) lim x 0 2x 00 g(X) xmo xf (x) f (u)du 0 2 x A 2，g(x)在x 0處連續(xù)。 dy 13.解:dx 2 -y x 2 dx x In x y e x ( 1 xln x 3 1 y(1)-,c 9 四、解答題(本大題 2 dx e x I n xdx Cx 2 C) -xln x 3 10分) x 2 0 ydx y 2y 14解：由已知且y 將此方程關(guān)于x求導(dǎo)得 2 特征方程：r r 2 x 其通解為 y 一 C1e 代入初始條件y() C

8、2e 解出特征根: 2x a 1, 2. 故所求曲線方程為： 五、解答題(本大題10分) ，(0) 1 2 x y e 3 ，得 1 e 3 C1 C2 2x 15解：(1)根據(jù)題意，先設(shè)切點為 (xo,ln xo) 由于切線過原點，解出X。 1 (ey 0 A 則平面圖形面積 e，從而切線方程為: ey)dy1 2 y ，切線方程： 1 x e In Xo 1 (x X0) X0 (2)三角形繞直線 曲線y In x與x軸及直線 為V2 x=e一周所得圓錐體體積記為 x = e所圍成的圖形繞直線x= e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積 1 V2 (e ey )2dy 0 D繞直線x = e 六、證明題(本

9、大題有 q f(x)dx V V1 V2 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積 2小題，每小題4分，共12分) 1qq q f (x)dx f (x) d x q( f (x) d x 評2 12e 3) 1 f (x)dx) 16.證明：0 q1 (1 q) f(x)d x 0 1 0, q 2 q,1 q(1 q f(x)dx q q) f ( 1) q(1 q) f ( 2) f( 1) f( 2) 0 故有： q f (x) d x 0 f (x)dx 證畢。 17. 證：構(gòu)造輔助函數(shù)： 上可導(dǎo)。 F (x) x F(x) 0 f (x) ，且 F (0) f (t)dt ,0 。其滿足在 0, 上連續(xù)，在(0, ) 0 f (x)cosxdxcos xdF (x) F (x)cosx| sin x F(x)dx 由題設(shè)，有 0 0 1 0 0， F (x)sin xdx 0 有0 ，由積分中值定理，存在 (0, ) ，