現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法習(xí)題答案

1、現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法習(xí)題答案 李繼云現(xiàn)代數(shù)值計(jì)算方法習(xí)題答案習(xí) 題 一1、解：根據(jù)絕對(duì)誤差限不超過(guò)末位數(shù)的半個(gè)單位，相對(duì)誤差限為絕對(duì)誤差限除以有效數(shù)字本身，有效數(shù)字的位數(shù)根據(jù)有效數(shù)字的定義來(lái)求.因此 4910-2 ： = 0.005； = 0.0102； 2位有效數(shù)字. 0.0490 ： = 0.00005； = 0.00102； 3位有效數(shù)字. 490.00 ： = 0.005； = 0.0000102；5位有效數(shù)字.2、解： = 3.1428 ， = 3.1415 ，取它們的相同部分3.14，故有3位有效數(shù)字. = 3.1428 - 3.1415 = 0.0013 ； = = = 0.0004

2、1.3、解：的近似值的首位非0數(shù)字 = 1,因此有 | = 5，所以 n = 5 .4、證： 5、解：(1)因?yàn)?.4721 ，又| = | = 0.0021 0.01, 所以 4.47. (2)的近似值的首位非0數(shù)字 = 4,因此有 | = 3 .所以， 4.47.6、解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,則其面積為，由題設(shè)知的近似值為= 10 cm .記為的近似值，則 = 0.1， 所以 = 0.005 cm .7、解：因?yàn)? 所以.8、解：9、證： 由上述兩式易知，結(jié)論.10、解：代入求解,經(jīng)過(guò)計(jì)算可知第(3)個(gè)計(jì)算結(jié)果最好.11、解：基本原則為：因式分解，分母分子有理化、三角函數(shù)恒等變形 （1）通分；

3、（2）分子有理化；（3）三角函數(shù)恒等變形.12、解： 因?yàn)?所以| = 于是有 | = | = 10| =| = | = 10| = 類推有 | 0, = 2 0, = 4 0,所以系數(shù)矩陣是對(duì)稱正定的.記系數(shù)矩陣為a，則平方根法可按如下三步進(jìn)行： 第一步 分解：a = l lt. 由公式計(jì)算出矩陣的各元素： 因此， l . 第二步 求解方程組ly = b . 解得y = （，）t. 第三步 求解方程組ltx = y . 解得x =（0，2，1）t. （2）解：首先檢驗(yàn)系數(shù)矩陣的對(duì)稱正定性，這可以通過(guò)計(jì)算其各階順序主子式是否大于零來(lái)判斷. 3 0, = 2 0, = 6 0,所以系數(shù)矩陣是對(duì)稱

4、正定的.記系數(shù)矩陣為a，則平方根法可按如下三步進(jìn)行： 第一步 分解：a = l lt. 由公式計(jì)算出矩陣的各元素： 因此， l . 第二步 求解方程組ly = b . 解得y = （，）t . 第三步 求解方程組ltx = y . 解得x = （，）t .4、解： 對(duì) , ； 對(duì) , , , ；對(duì) , , , , , . 所以數(shù)組a的形式為： 求解方程組ly = b . 解得y = （4，7，）t . 求解方程組dltx = y . 解得x = （，）t .5、解：（1）設(shè)a = lu = 計(jì)算各元素得： , , , , , , , , .求解方程組ly = d. 解得y = （1，）t .

5、求解方程組ux = y. 解得x = （，）t .（2）設(shè)a = lu = 計(jì)算各元素得： ， ， ， .求解方程組ly = d . 解得y = （17，）t . 求解方程組ux = y . 解得x = （3，2，1）t .6、證：（1）（2）相同. 因?yàn)榇朔匠探M的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以雅可比迭代法和相應(yīng)的高斯賽德?tīng)柕ǘ际諗?（1）雅可比迭代公式：高斯賽德?tīng)柕剑海?）雅可比迭代公式：高斯賽德?tīng)柕剑?、(1)證：因?yàn)榇朔匠探M的系數(shù)矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以雅可比迭代法和相應(yīng)的高斯賽德?tīng)柕ǘ际諗俊?(2) 雅可比迭代法： 寫(xiě)出雅可比迭代法公式：取 = （3，1，1）

6、t，迭代到18次達(dá)到精度要求, = （3.999，2.999，1.999）t .高斯賽德?tīng)柕ǎ?寫(xiě)出高斯賽德?tīng)柕ü剑喝?= （3，1，1）t，迭代到8次達(dá)到精度要求, = （4.000，2.999，2.000）t .8、sor方法考試不考。9、證明：雅可比法的迭代矩陣為： , 解得,所以雅可比迭代法不收斂. 高斯-賽德?tīng)柗ǖ牡仃嚍椋?, 求得，則 , 所以高斯-賽德?tīng)柕ú皇諗?10、證明：雅可比法的迭代矩陣為： , 求得，則 ,所以雅可比迭代法不收斂. 高斯-賽德?tīng)柗ǖ牡仃嚍椋?, 求得，則 , 所以高斯-賽德?tīng)柕ㄊ諗?11、證明：當(dāng) - 0.5 a 0 , = (1

7、 - a)2(1 + 2a) 0 , 所以a正定. 雅可比迭代矩陣bj ，所以， | = = 所以， , 故當(dāng)-0.5 0.5 時(shí)，雅可比迭代法收斂。12、解： max 0.6+0.5,0.1+0.3 = 1.1； max 0.6+0.1,0.5+0.3 = 0.8； = 0.8426； ata = = | = = 0.71 0.0169 0 所以 (ata) = 0.685，所以 = 0.83.13、證明：(1)由定義知, 故 (2)由范數(shù)定義知, 故 習(xí) 題 三1、解：在區(qū)間0.3,0.4上，故在區(qū)間0.3,0.4上嚴(yán)格單調(diào)減少，又，所以方程在區(qū)間0.3,0.4上有唯一實(shí)根。令（0.40.

8、3）/ = 4 ,即應(yīng)至少分4次,取開(kāi)始計(jì)算,于是有: 當(dāng)k = 1 時(shí),x1 = 0.35 , ,隔根區(qū)間是, 當(dāng)k = 2 時(shí),x2 = 0.325 , ,隔根區(qū)間是,當(dāng)k = 3 時(shí),x3 = 0.3375 , ,隔根區(qū)間是,當(dāng)k = 4 時(shí),x4 = 0.34375 , ,隔根區(qū)間是.所以 (0.3375 + 0.34375)/2 0.341.2、解：在區(qū)間1,2上，故在區(qū)間1,2上嚴(yán)格單調(diào)增加，又，所以方程在區(qū)間1,2上有唯一實(shí)根.令 = 13.3 ,即應(yīng)至少分14次.3、解：作圖,判斷根的數(shù)目、找隔根的區(qū)間. (1)有唯一實(shí)根,隔根區(qū)間0,收斂迭代公式:. (2)有唯一實(shí)根,隔根區(qū)

9、間1,2,收斂迭代公式:.4、解：取的鄰域1.3,1.6來(lái)考察.(1)當(dāng)1.3,1.6時(shí),1.3,1.6 ,| = 0.522 = l 1,所以，在1.3,1.6上收斂.(2)當(dāng)1.3,1.6時(shí),1.3,1.6 ,| = 0.91 = l 1,所以， 在1.3,1.6上發(fā)散.(4)當(dāng)1.3,1.6時(shí),1.3,1.6 ,所以，在1.3,1.6上發(fā)散.取開(kāi)始計(jì)算,于是有： = 1.481448 , = 1.472705 , = 1.468817 , = 1.467047 , = 1.466243 , = 1.465876 .由于| ,故可取 = 1.466.5、解：方程的等價(jià)形式為=,迭代公式為.

10、 作函數(shù)和的圖像,可知其正根區(qū)間為0.5,1.5. 當(dāng)0.5,1.5時(shí),0.5,1.5 ,| = 0.3 = l 1,所以，在0.5,1.5上收斂.取開(kāi)始計(jì)算,于是有： = 0.93114992, = 1.0249532 , = 1.04141516 , = 1.04419321, = 1.0446673 , = 1.04474582, = 1.04475903, = 1.0447613 , = 1.04476123.由于| ,故可取 = 1.04476.6、解：當(dāng)0,0.5時(shí),0,0.5 ,| = 0.825 = l 1,所以在區(qū)間0,0.5上收斂.取開(kāi)始計(jì)算,于是有： = 0.100000

11、00, = 0.08948290 , = 0.09063913 , = 0.09051262, = 0.09052647 , = 0.09052495.由于| ,故可取 = 0.0905.7、解：由于在根附近變化不大, = - 0.607 = q. 迭代-加速公式為取開(kāi)始計(jì)算,于是有： = 0.5662917, = 0.5671223, = 0.56714277.由于| ,故可取 = 0.5671.8、解：埃特金加速公式為： 取開(kāi)始計(jì)算,于是有: = 1.32489918, = 1.32471796, = 1.32471637.由于| ,故可取 = 1.3247.9、解：對(duì)于,因此牛頓迭代法為

12、 ,0,1,2,3,對(duì)于,因此牛頓迭代法為 ,0,1,2,3,因?yàn)?所以，對(duì)于, .對(duì)于, .10、解：在區(qū)間1,2上,，,，.又因?yàn)?，所以收斂且以作初值。?用牛頓迭代法, 計(jì)算得 = 1.8889, = 1.8794, = 1.8794,由于| ,故可取 = 1.879.11、解：設(shè) ,則 ， .牛頓法迭代公式為： 0,1,2,3, 當(dāng)時(shí), ， , 當(dāng)時(shí), ， . 因此,對(duì)于,當(dāng)時(shí),牛頓序列收斂到. 當(dāng)時(shí), 所以,因此,從起 , 牛頓序列收斂到 . 對(duì)于,當(dāng)時(shí),牛頓序列收斂到. 當(dāng)時(shí), 所以,因此,從起 , 牛頓序列收斂到 . 當(dāng)時(shí),迭代式變?yōu)?. 該迭代對(duì)任何均收斂,但收斂速度是線性的.

13、 取開(kāi)始計(jì)算,于是有： = 1.66666667 , = 1.23111111 , = 1.48053039 , = 1.44323083 , = 1.44225024 , = 1.44224957 , = 1.44224957 .由于| ,故可取 = 1.442250 .12、解：令,取,開(kāi)始計(jì)算,經(jīng)過(guò)4次計(jì)算可以得到 = 0.51098 .習(xí) 題 五1、解： .2、解：.3、解： .(直接代入數(shù)據(jù)，因較復(fù)雜，省略)4、證：（1）當(dāng)（2）中的時(shí)，即可得結(jié)論. （2）函數(shù)及均為被插值函數(shù)的關(guān)于互異節(jié)點(diǎn)的不超過(guò)次的插值多項(xiàng)式，利用插值多項(xiàng)式的唯一性可知結(jié)論.5、證：以和為插值點(diǎn)，建立的不超過(guò)一次

14、的插值多項(xiàng)式：應(yīng)用插值余項(xiàng)公式有： ，因此可得結(jié)論。6、解：選，為節(jié)點(diǎn)，計(jì)算得： .7、解： .8、解：（略）9、證：設(shè)，. 將差商（均差）用函數(shù)值表示，則有： 取得結(jié)論（1），取得結(jié)論（2）.10、證：.11、解：制造向前查分表：0123012312176411547143218由題意，.當(dāng)時(shí)，.將查分表上部那些畫(huà)橫線的數(shù)及代入公式，有.當(dāng)時(shí)，.將查分表下部那些畫(huà)橫線的數(shù)及代入公式，有.12、解：制造向前查分表：0123-1012-2-1121211-1-2 由于其根在-1,2之間，故采用牛頓后插公式， 計(jì)算得 ，所以.13、證：采用差分的定義來(lái)證明.14、解：方法同第11題.15、解：以，

15、和為插值節(jié)點(diǎn)的插值多項(xiàng)式的截?cái)嗾`差，則有 ，式中 ， 則 令 得 .習(xí) 題 六1、解：由題意得 , , 所以 , . 又 , 所以 .2、解：設(shè)擬合曲線為一次多項(xiàng)式: . 計(jì)算各元素: , 故法方程組為=,解得 ,.所以.二次多項(xiàng)式擬合曲線與一次多項(xiàng)式擬合曲線類似(略).3、解：設(shè)擬合曲線為二次多項(xiàng)式: . 計(jì)算各元素: , 故法方程組為=,解得 ,.所以.4、解：經(jīng)描圖發(fā)現(xiàn)和符合二次曲線. 設(shè)擬合曲線為二次多項(xiàng)式: . 計(jì)算各元素:, , 故法方程組為=,解得 , , .所以.5、略.6、解：對(duì)公式兩邊取常用對(duì)數(shù)有 . 令,則得線性模型 .計(jì)算各元素: , 故法方程組為=,解得 ,得,. 所

16、以 .7、解：對(duì)公式兩邊取常用對(duì)數(shù)有 . 令,則得線性模型 .計(jì)算各元素: , 故法方程組為=,解得 ,得,. 所以 .8、解：令,則 .計(jì)算各元素: , 故法方程組為=,解得 ,所以.習(xí) 題 七1、解：利用梯形公式: . 利用辛普森公式: . 計(jì)算誤差: . .5、解：利用復(fù)化梯形公式:. 利用復(fù)化辛普森公式: 6、解：由 , 得 又,解出,故用復(fù)化梯形公式至少取671,即需672個(gè)節(jié)點(diǎn).7、解：計(jì)算如下:01230.77174330.72806990.71698280.71420020.71351210.71328700.71327260.71327200.71327170.7132717 故.習(xí) 題 八1、解：將代入相關(guān)公式. (1)歐拉公式計(jì)算: