四川省成都市蓉城名校聯(lián)盟2017級(jí)高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學(xué)試題(解析版

1、2019-2020學(xué)年高三下期第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（理科）、選擇題1.已知集合 A= - 1 , 1, 3, 4,集合 B = xx2- 4x+3 0,則 A B =()A . - 1, 4 B. - 1 , 1, 4 C. - 1, 3, 4 D .(- , 1 )( 3, +)412已知復(fù)數(shù)z= . I 一 j ,則Zl=()A . 1B .C. 2D . 33.已知實(shí)數(shù)0v aV b,則下列說法正確的是()A . B . ac2v bc2C .Ina V Inb D. () av() bm的取值范圍為a b224.已知命題p： XV 2m+1 , q： x2- 5x+6 V 0,且P是q的

2、必要不充分條件，則實(shí)數(shù)A 1C1A . m B.m訪C . m 1D . m15 .若數(shù)列 a為等差數(shù)列，且滿足 3+a5= a3+a8, SI為數(shù)列a的前n項(xiàng)和，貝U Sn =（）A . 27B. 33C. 39D . 446.已知, 是空間中兩個(gè)不同的平面,m, n是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是（若 m? a, n? 且 貝U m nB.若 m?a, n? a ,且 m / , n / 貝U all 若 m a, n 且 貝U m nD.若 m, n/ ,且 all ,則 m n已知拋物線y2 = 20x2的焦點(diǎn)與雙曲線a（a0, b 0）的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線

3、截得的線段長為-,那么該雙曲線的離心率為（5 B .一9.已知實(shí)數(shù)a0 , b 1滿足a+b= 5 ,則亍的最小值為（）md = j-J ,則實(shí)數(shù)m的值為（10.已知集合 A = 1 , 2, 3, 4, 5, 6的所有三個(gè)元素的子集記為Bi, B2, B3, Bn, n N* .記bi為集合Bi中的最大元素，貝V bl + b2+b3+ bn=()A . 45B . 105C. 150D . 210m名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的X, y）的個(gè)數(shù)a；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù) a11.關(guān)于圓周率 數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)

4、驗(yàn)來估計(jì)的值：先請全校 正實(shí)數(shù)對(duì)（X, y）；再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三形三邊的數(shù)對(duì)（估計(jì)的值，那么可以估計(jì) 的值約為（）4aTLa+2a+2m4arL12.已知.,= （2si門丄上，coLm),= -:COCX,2CO,函數(shù)f （X）=L陽在區(qū)間0,上恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（7 5了，一C .L,2二、填空題,則Z= 2x+y的最大值為13.實(shí)數(shù) x, y 滿足，-ylO2014.成都市某次高三統(tǒng)考，成績X經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，近似服從正態(tài)分布 XN （100,孑），且P （ 86V X 100=0.15,若該市有8000人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績X大于114分的人數(shù)為15.已

5、知函數(shù) f(x)=- x3+x+a, x 匚,e與 g (x)=3lnx - X- 1的圖象上存在關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍為16.在四面體 ABCD中，AB= CD =.,AC= BD =V壬:,AD = BC= 5, E, F 分別是 AD, BC 的中點(diǎn).則下述結(jié)論：四面體 ABCD的體積為20;異面直線 AC, BD所成角的正弦值為 一;25四面體ABCD外接球的表面積為 50 ;若用一個(gè)與直線 EF垂直，且與四面體的每個(gè)面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為其中正確的有.（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）三、解答題：共70分17.某企業(yè)為了解該企

6、業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間，對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄，得到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù).從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了9個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）若用時(shí)不超過40 （分鐘），則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員工.（1）求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；(2)以這9個(gè)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調(diào)查4名工人，求被調(diào)查的4名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量X分布列和數(shù)學(xué)期望.18.如圖，四棱錐 P - ABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形，PA= PC = 5,點(diǎn)M , N分別是AB, PC的中點(diǎn).MN / 平面 PAD ;(2)若 cos PCD =, DAB = 60 求直線 AN與平面 PA

7、D1)求證:19.已知數(shù)列an滿足對(duì)任意n N*都有2an+ = an+an+2 ,其前n項(xiàng)和為Sl ,且S7= 49 , a3是a與ai3的 等比中項(xiàng)，aiv a2.( 1 )求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式 an；( 2)已知數(shù)列bn滿足bn= 2 - 1 , Cn= anbn ,設(shè)9T1,-2Q數(shù)列Cn的前n項(xiàng)和為Tn ,求 . 大于1000的最小的正整數(shù) n的值.Qn-520.已知點(diǎn) P (1,),R=( X- 1, y),=(x+1,y),且 +=4,滿足條件的點(diǎn)Q(x,y)的軌跡為曲線C.( 1)求曲線C的方程；(2)是否存在過點(diǎn)(0,- 1)的直線I,直線I與曲線C相交 于A, B兩點(diǎn)，直

8、線PA , PB與y軸分別交于M , N兩點(diǎn)，使得IPMI= IPNl?若存在，求出直線I的方程； 若不存在，請說明理由.21 .已知函數(shù) f (x)=- In (x+1)- ax- 1 - a (a R) .( 1)若 f (x) 0寸任意 x- 1 恒成立，求 實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)求證：-In (x+1) +xex-1 - x+10.(二)選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程一一CX=2cos d一一22.在直角坐標(biāo)系Xoy中，曲線Ci的參數(shù)方程為-.j ( 為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn) 0為極點(diǎn)，Xy=2+2sCI

9、軸的正半軸為極軸，取相同長度單位建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為 P= 4cos (1)求曲線Ci的極坐標(biāo)方程和曲線 C2的普通方程；(2)設(shè)射線OP : =-與曲線Ci交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn)A,與曲線C2交于不同于極點(diǎn)的點(diǎn) B,求線段AB的長.選修4-5:不等式選講(10分) 23.設(shè)函數(shù)f(x)=|x+a|+|x- 1| (a R).( 1)當(dāng)a = 1時(shí)，求不等式f(X)4的解集；(2)若對(duì)任意x R都有f (x) 2求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案、選擇題：本題共 12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合 A= - 1 , 1, 3,

10、 4,集合 B = x|x2-4x+3 0,則 A B =()A . - 1, 4B . - 1,1 , 4C. - 1 , 3, 4D. (- , 1) ( 3, +)解：集合 A = - 1 , 1, 3, 4,集合 B = xx2- 4x+3 0 = xxv 1 或 x3, AB = - 1, 4.故選：A.2 .已知復(fù)數(shù)Z4i t=匸丁,則 Z|=(B .：4iZl3iWirI=l+3i 2 2解： IzI=故選：C.3.已知實(shí)數(shù)OV aV b,則下列說法正確的是B . ac2v bc2解:Ina V InbD.L) aV)11C Cab倉b對(duì)于 A.實(shí)數(shù) OV aV b,（c0不成立

11、），對(duì)于B. C= 0不成立.對(duì)于C.禾U用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.對(duì)于故選：C.,因此不成立.4.已知命題P: XV 2m+1, q : x2- 5x+6 V 0,且P是q的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（）A . mC. m 1D . m1解：T命題 P: XV 2m+1,q： x2- 5x+6 V 0,即：2v XV 3,P是q的必要不充分條件,( 2, 3) ? (2m+1 , +), 2m+13,解得 m1實(shí)數(shù)m的取值范圍為m1故選：D.5 .若數(shù)列an為等差數(shù)列，且滿足 3+a5= a3+a8, Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，貝U Sii =()A . 27B . 33C .

12、39D . 44解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d ,且滿足3+a5= a3+a8, a6= 3.Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，則 Sii= 11a6= 33.故選：B.m , n / 且 貝U m與n的位置關(guān)系不定，故錯(cuò);6 .已知, 是空間中兩個(gè)不同的平面，m ,n是空間中兩條不同的直線，則下列說法正確的是(A .若m?n?且 ,貝U m丄nB .若m?n?,且m / ,n / 貝U / C .若mn/且 ,貝U mnD .若mn/且/ ,貝U m丄n解：對(duì)于A,當(dāng)m?n? 且 ,則m與對(duì)于B,當(dāng)m1 / n時(shí),不能判定all ,故錯(cuò)；對(duì)于C,n的位置關(guān)系不定，故錯(cuò);若對(duì)于D,m , / 可得 m丄

13、,又n / ,貝U mn故正確.故選：D.7 .已知拋物線護(hù)=1 (a 0, b 0)2y2 = 20x的焦點(diǎn)與雙曲線 的一個(gè)焦點(diǎn)重合，且拋物線的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為,那么該雙曲線的離心率為(D .丁x=_ 5,解：由拋物線y2= 20x,可得2p= 20,則P = 10,故其準(zhǔn)線方程為22Xy2I 2ab拋物線y2= 20x的準(zhǔn)線過雙曲線=1 (a 0, b 0)的左焦點(diǎn),拋物線y2= 20x的準(zhǔn)線被雙曲線截得的線段長為-1=律,又 c2= 25= a2+b2,a 2. a= 4, b= 3,則雙曲線的離心率為 e=二-.a 4故選：A.8.如圖，在 ABC中,A .C2 解：依題意，

14、 u -二二-一肚-工Ar j,.,1B.2-P是BN上的一點(diǎn)，若m. =J-二J ,則實(shí)數(shù)m的值為（解：集合M含有3個(gè)元素的子集共有=20,所以k= 20 .-亠，解得9 .已知實(shí)數(shù)a 0,2b 1 滿足 a+b= 5,則一I +亡的最小值為（A .盼解：因?yàn)閍 0,b 1 滿足 a+b= 5,2I -b-l則I 1b-l()a+ (b-I) ,當(dāng)且僅當(dāng)a2(b-l) _ 呂a b-l時(shí)取等號(hào),又B, P, N三點(diǎn)共線,1IrI=T故選：B.故選：A.Bi, B2, B3 , Bn, n N* .記 bi 為10.已知集合A = 1 , 2, 3, 4, 5, 6的所有三個(gè)元素的子集記為集合

15、Bi中的最大元素，貝y b1+b2+b3+ bn=（A. 45B. 105C. 150D . 210在集合Bi (i = 1, 2, 3,k)中:最大元素為3的集合有C= 1個(gè)；最大元素為4的集合有Cl= 3；最大元素為5的集合有C= 6;最大元素為6的集合有Cf= 10;所以 B+ b2+b3+b4+b5= 3 +4 3+5 6+6 0= 105. 故選：B.11.關(guān)于圓周率 數(shù)學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法，如著名的浦豐實(shí)驗(yàn)和查理斯實(shí)驗(yàn).受其啟發(fā)，我們也可以通過設(shè)計(jì)下面的實(shí)驗(yàn)來估計(jì)的值：先請全校m名同學(xué)每人隨機(jī)寫下一個(gè)都小于1的正實(shí)數(shù)對(duì)（X,y）;再統(tǒng)計(jì)兩數(shù)能與1構(gòu)成鈍角三形三邊的數(shù)對(duì)

16、（X,y）的個(gè)數(shù)a；最后再根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)a估計(jì)的值，那么可以估計(jì) 的值約為（）A .4ara+2B .Inm解:根據(jù)題意知，m名同學(xué)取m對(duì)都小于C.a+2mC 4a+jiLmDInl的正實(shí)數(shù)對(duì)（X, y),即r0xlOyl0lLCKCyw 1其面積則有4a2mTtL解得故選：D.12.已知-i=(2sin,cos ),2cos .,函數(shù)f ( X)=L在區(qū)間0 ,上恰有3個(gè)極值點(diǎn)，則正實(shí)數(shù) 的取值范圍為（）857557A .口 0 B .（孑刁 C .叵，孑解：f (x) =V3sin 2o2 3 HsTcos x+l=2in( h7)+1，TT Tr一 -/ : ，解得O 2令 CKT-0 -y

17、l020,則Z= 2x+y的最大值為解：作出可行域如圖所示,則當(dāng)直線Z= 2x+y過點(diǎn)C時(shí)直線的截距最大，Z取最大值.葉叫*-y+l=01K=23 y=- r 2 C (丄，二)，Z取最大值：2匚+1 .3514.成都市某次高三統(tǒng)考，成績X經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，近似服從正態(tài)分布 XN (100, ),且P ( 86V X 100=0.15 ,若該市有8000人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考中成績X大于114分的人數(shù)為3400解：根據(jù)正態(tài)分布 XN ( 100, ),且P (86vX 100 = 0.15,所以 P (X114)= - 1-1. k -I . IJS故該市有8000人參考，則估計(jì)成都市該次統(tǒng)考

18、中成績X大于114分的人數(shù)為80000.425 = 3400.故答案為：3400.15已知函數(shù) f (x)=- x3+x+a, x , e與 g (x)=3lnx - X- 1的圖象上存在關(guān)于X軸對(duì)稱的點(diǎn)，則a的取值范圍為 2 , e3- 2解：根據(jù)題意，若函數(shù) f (x)=- x3+x+a (s)與g (X)= 3lnx - X- 1的圖象上存在關(guān)于 X軸對(duì)稱的點(diǎn),則方程-x3+x+a=- 3lnx+x+1在區(qū)間右,e上有解,即方程a - 1 = x3- 3lnx在區(qū)間二,e上有解,設(shè)函數(shù) g (X)= x3- 3lnx,其導(dǎo)數(shù) g(x)= 3x2g又由X ,e,可得：當(dāng) 0, g (x)為

19、增函數(shù),g (X)= x3- 3lnx 有最小值 g (1)= 1,(T)V g (e), g (X)= X3 - 3lnx 有最大值 g ( e) = e3- 3 ,必有 1a - 1e3- 3,則有 2a3-2,即a的取值范圍是2 , e3- 2;16.在四面體 ABCD中，AB= CD =(忑故答案為：2 , e3- 2;,AC= BD =- , AD = BC= 5, E, F 分別是 AD, BC 的中點(diǎn).則下述結(jié)論:四面體ABCD的體積為20 ；異面直線AC,BD所成角的正弦值為四面體ABCD外接球的表面積為 50 ;若用一個(gè)與直線 EF垂直，且與四面體的每個(gè)面都相交的平面去截該四

20、面體，由此得到一個(gè)多邊形截面，則該多邊形截面面積最大值為6 .其中正確的有 .（填寫所有正確結(jié)論的編號(hào)）解：補(bǔ)成長，寬，高分別為3, 4, 5的長方體，在長方體中：，四面體 ABCD的體積為 V= 345- 4 _：. = 20,故正確LJ5, 3的矩形的對(duì)角線夾角正弦值，可得正弦值，異面直線 AC, BD所成角的正弦值等價(jià)于邊長為，四面體ABCD外接球就是長方體的外接球，半徑R=,其表面積為50 ,故正確;，由于EF 故截面為平行四邊形 MNKL ,可得KL+KN = 5,設(shè)異面直線 BC與AD所成的角為 ,貝U Sin = Sin HFB = Sin LKN ,算得Sin,25 S四邊形M

21、NKL = NK?KL?Sin NKL KL+KN(2故答案為：.1721題為必考題，每個(gè)試題三、解答題：共 70分。解答應(yīng)寫岀文字說明、證明過程或演算步驟。第考生都必須作答。第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17某企業(yè)為了解該企業(yè)工人組裝某產(chǎn)品所用時(shí)間，對(duì)每個(gè)工人組裝一個(gè)該產(chǎn)品的用時(shí)作了記錄，得到大量統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)從這些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中隨機(jī)抽取了9個(gè)數(shù)據(jù)作為樣本，得到如圖所示的莖葉圖（單位：分鐘）.若用時(shí)不超過 40 （分鐘），則稱這個(gè)工人為優(yōu)秀員工.（1）求這個(gè)樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)；（2） 以這9個(gè)樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)秀員工的頻率作為概率，任意調(diào)查4名工人，求被調(diào)查的 4名

22、工人中優(yōu) 秀員工的數(shù)量X分布列和數(shù)學(xué)期望.眾數(shù)為47(2)被調(diào)查的4名工人中優(yōu)秀員工的數(shù)量X= 0,1, 2,3,任取一名優(yōu)秀員工的概率為故 XB (4 ,二)P (X= k)= C眷(*)k (l-y) d t,k= 0,2,3, 4,X的分布列如下:P16328?麗X01224818814181故 E (X)IX 亞+ZX 24+3 K 8+4X .二481亍18.如圖，四棱錐P - ABCD中，底面ABCD是邊長為4的菱形,PA= PC = 5,點(diǎn) M , N 分別是 AB, PC(1)求證：MN / 平面 PAD ；的中點(diǎn).AN與平面PAD【解答】(1)證明：取PD的中點(diǎn)H ,連接NH

23、 , AH .所成角的正弦值. N是PC的中點(diǎn)， NH 1 -DC, 又 AMl -DC , 2Z NH丄AM ,四邊形 AMNH是平行四邊形. MN / AH ,又 MN?平面 PAD , AH?平面 PAD, MN / 平面 PAD .同理可得：PD 丄 AD ,又 ADCD = D, PD 丄平面 ABCD .(2)解： PC= 5, DC = 4, cos PCD =, PD = 3, PC2= PD2+CD2, PD 丄 DC,連接AC, BD ,設(shè)ACBD = 0,貝U AC丄BD ,建立空間直角坐標(biāo)系 O- Xyz.3A (2 0, 0), C (- 3, 0, 0), D (0

24、,- 2, 0), P (0,- 2, 3), N (-強(qiáng)，-1 ,號(hào))， Ai= (- 3 ,1,二)，.衛(wèi)=(-2 ：；，一 2, 0),丨：=(o,o, 3).設(shè)平面PAD的法向量為ll=( x, y, z),-3, O)則! l = 0 ,則-2 :X- 2y= 0, 3z= 0,取 =( 1,23 Sin = cosv , !,|=23直線AN與平面PAD所成角的正弦值為-23Tr19.已知數(shù)列an滿足對(duì)任意n N*都有2a+1 = a+a+2,其前n項(xiàng)和為Sn,且S7= 49, a3是a1與a13的等比中項(xiàng)，a a2.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an；9T -20(2) 已知數(shù)列b

25、n滿足bn= 2- , Cn= anbn ,設(shè)數(shù)列C n的前n項(xiàng)和為Tn,求.J 大于1000的6n-5最小的正整數(shù)n的值.解:( 1) 任意 n N* 都有 2an+1= an+an+2,數(shù)列an是等差數(shù)列,Sz= 49, 7a4 = 49, a4 = 7,又 a3是a1與a13的等比中項(xiàng)，a a2,設(shè)數(shù)列an的公差為d,且d V 0,則(7-d) 2 =( 7- 3d)( 7+9d),解得 d= 2, a1= 7- 3d = 1, an= 1+2 ( n 1) = 2n 1;(2)由題意可知，二22n二4, cf(加-l)4r, TX牡TX梓十+C2n-D X卩，Hn=I X 42+3X4

26、3-、+ (2n-l) X 嚴(yán)】，-得:Tn=4+2X 42+2 43+2 X 4n- (2-1) X 4nFI T? 2n+2 102n+2 1000, n4滿足條件的最小的正整數(shù)n的值為4. F1F2,可得Q的軌跡是以F1 (- 1, 0), F2 (1, 0)為焦點(diǎn)，且2a = 4的橢圓,由 C= 1, a= 2,可得 b =V2-cW3,可得曲線C的方程為(2)假設(shè)存在過點(diǎn)(0,- 1)的直線I符合題意.當(dāng)直線I的斜率不存在，設(shè)方程為X= 0 ,可得M , N為短軸的兩個(gè)端點(diǎn)，PM= PN | 不成立；當(dāng)直線I的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為y= kx - 1, A (X1, k1 - 1),

27、B (2, k2 - 1),由 PM= PN,可得 kPM+kPN= 0,即 kPA+kPB = 0,I55kx +Tl七T可得5=0,化為 2kx1x2 -( k+) ( x+x2) +5= 0,y-kx-LL3x+4y=121R解得k=i或k=由（0,- 1）在橢圓內(nèi)，可得直線 I與橢圓相交,21 .已知函數(shù) f (x)=- In (x+1) - ax - 1 - a (a R).可得(3+4k2) x2 8kx 8= 0,（1）若f （x） 0寸任意x- 1恒成立，求實(shí)數(shù) a的取值范圍;(2)求證：-In (x+1) +xex 1 - x+10.解：（1）問題等價(jià)于.對(duì)任意x- 1恒成立,令 t = x+1 (x- 1),貝U t0, Lrit g （t）在（0, 1）上是減函數(shù)，在（1, +）上是增函數(shù),g (t)有最小值 g (1) =- 1 , a- 1;2x+10,(2)由(1)知，In ( x+1) +x0 要證In (x+1) +x* 1 x+10,即證In ( x+1) +x+xex-1 令 h ( X)= XeX-1 - 2x+1 (x- 1), h (x) = ( x+1) ex-1 - 2, h ( x) = ( x+2) ex-1 0, h (X) 在 (- 1, +)是增函數(shù),又 h (