新初四解直角三角形講解

1、第一章 解 直 角 三 角 形第一節(jié) 銳角三角函數(shù) 第二節(jié) 30， 45， 60角的三角函數(shù)值 第三節(jié) 用計算器求銳角的三角函數(shù)值一）知識點：1. 銳角三角函數(shù)的概念 ：1）正弦：一般地，在 Rt ABC對邊與斜邊的比叫 A 的正弦，記作中（如下圖） C=90，我們把銳角 sinA 。 sinA= A 的對邊斜邊BC a 。AB cA的2）余弦：一般地，在 Rt ABCA 的鄰邊 AC b作 cosA。 cosA=斜邊3）正切：一般地，在 作 tanA。 tanA= A的對邊中（如上圖） C=90我們把銳角A 的鄰邊與斜邊的比叫 A 的余弦，記AB cRt ABC 中（如上圖） C=90BC

2、a 。 鄰邊 AC b 注：如果一個銳角的角度確定之后，那么這個角的正弦值、余弦值、正切值是固定不變的，比值的大小與銳 角的邊長無關。我們把銳角A 的對邊與鄰邊的比叫 A 的正切，記2. 特殊銳角三角函數(shù)的值如圖，在 Rt ABC 中， C 90， A 30設 BCk，則 AB 2k由勾股定理得 AC 3k BCk1 sin30AB2k2AC3k3cos30AB2k2tan30BCk3AC3k3用同樣的方法可求45、60角的三角函數(shù)值。度數(shù)三角函數(shù)304560sincostan3. 銳角三角函數(shù)的性質(zhì)1）銳角 A 的正弦、余弦，正切值的取值范圍0 sin A 1 0 cosA 1 tanA 0

3、2）增減性：正弦值隨銳角 A 的度數(shù)的增大而增大 余弦值隨銳角 A 的度數(shù)的增大而減小 正切值隨銳角 A 的度數(shù)的增大而增大3）同一銳角三角函數(shù)之間的關系 平方和關系： sin 2 cos214）兩個互余銳角三角函數(shù)的關系： 在 RtABC 中， A+ B=90 則有（ 1） sinA=cosB （ 2） tanA tanB=15）補充： 一個銳角的正弦值等于它余角的余弦值 一個銳角的余弦值等于它余角的正弦值4. 用計算器求銳角三角函數(shù)值（略）典型例題】例 1. 已知 ABC 中， AC 7， BC24， AB 25， 求 sinA ， cosA， tanA ， sinB ， cosB， ta

4、nB解：例2. 已知RtABC中， C90， sin A，求 cosA， tanA13分析： 可用引進參數(shù)法，也可利用同角的正弦、余弦關系求解。例 3. 計算：1) sin301(sin 4522cos45 ) sin2 202cos2 202) sin2 60 sin2 451 tan45 1 tan 60 cos30例 4. 已知銳角 滿足 2cos23sin 1 0 ，求 的值。分析： 把條件式看作關于 sin 的一元二次方程，利用解方程求出 sin ，再確定 的值。 解：練習求適合條件的銳角：（ 1）2sin1，則（ 2） 2cos3，則（ 3） 2 3sin（10 ） 3，則（ 4）

5、 3tan3，則例 5. 如圖，在 Rt ABC 中， C90， BC5，AC6。（ 1 ）求 sinA ， sinB 的值。（ 2）過點 C 作 CD AB 于 D，求 cosACD 的值。例6 ：已知， a,b,c分別是 ABC中 A, B, C的對邊，關于 x的方程 22a（1 x ） 2bx c（1 x ） 0 有兩個相等實根，且 2c a 2b。（1）判斷 ABC的形狀，（ 2）求 sinA sin B的值。 解：【模擬試題】一、填空題：121. 求值： sin 60cos 45 。222. 在 Rt ABC 中， C90， a1，b2，則 cosA。3. tan10 tan20 t

6、an30 tan70 tan80 。4. ABC 中， C90，若 sin A 2 ，則 tanB 。3512. (cos45)2 |tan 60 sin30|。6. 3 tan(80 ) 1，則 。7. 在 Rt ABC 中， C90， 3a3b，則 A 。8. 已知等腰三角形 ABC 的腰長為 4 3 ，底角為 30，則底邊上的高為 ，周長為 、選擇題：C 的度數(shù)是（9. 在 ABC 中，若 |sin A 2 | ( 3 cosB)2 0 ，A、 B 都是銳角，則22A. 75B. 90C. 105D. 12010. 當銳角 A 45時， sinA 的值（）A. 小于 2 B. 大于 2

7、C. 小于 3 D. 大于 3222211. 已知 090，sincos30，則 （）A. 30B. 60C. 45 D.無法確定12. 下列結論中不正確的是（）A. sin4837 cos4120B. RtABC中， C 90，則sin2 Acos2 A 1C. Rt ABC 中， C90，則 tanB sinB cosBD. Rt ABC 中， C 90， AC b，則 ABsin B13. 如圖， CD 是平面鏡，光線從 A 點出發(fā)經(jīng) CD 上點 E 反射后照射到 B 點， 若入射角為 （入射角等于反射角） ，ACCD，BD CD，垂足為 C、D，且 AC 3，BD6，CD 11，則 t

8、an （ ）A.11B. 3C.9D. 1131111914.如果 A 為銳角，且cosA1 ，則（）4A.0 A 30B.30A45C45 A 60 D.60A9015. 如圖， Rt ABC 中， 則 sin ACD （） ACB 90，CD AB 于 D，若 AC 4，BC3，4343A.B.C.D.3455三、解答題：16. 計算：(1) (1 sin 45 )2 |2 sin 60 sin 30 |2) 21 sin60cos45sin 30 cos302 tan3021 tan2 3017. 如圖 RtABC 中，C90，b8，A 的平分線 AD 16 3。求B 及 a、 3c 的

9、值。18. 如圖在等腰 ABC 中， ABAC ，若 AB 2BC ，試求 B 的正弦值和正切值。19. Rt ABC 中， C 90，方程 x2 3sin Ax 3sin A 1 0 有兩個相等的實數(shù)根，斜邊為 c，方程 cx2 2x c 0也有兩個相等的實根，求這個直角三角形的三邊的長。20. 如圖在 ABC 中，AD 是 BC 邊上的高， tanB cosDAC 。（ 1）求證： AC BD 。122）若 sinC 1123 ，BC12 ，求 AD 的長。解直角三角形1. 解直角三角形的理論依據(jù)。（ 1）在 Rt ABC 中， C=90 兩銳角互余 A+ B=90 ca2 b2 三邊關系

10、勾股定理： a2 b2 c2 ，變式a b c ac2 b2 邊、角關系銳角三角函數(shù)：sinA對邊斜邊cosA鄰邊 ，tanA 對邊 斜邊 鄰邊 。已知直角三角形的兩個基本元素（至少有一個是邊），利用以上關系就可以求出其余的未知元素，其中恰當 地選用邊角關系是關鍵。應注意以下原則：（1）有“斜”選“弦”，無“斜”選“切”。（2）盡量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法運算求未知元素。（3）盡量使用原始數(shù)據(jù)：以減少誤差的積累，也可避免由于中間數(shù)據(jù)有錯而產(chǎn)生新的誤差。2. 特殊的直角三角形：1B 60 ,BC AB含 30角的直角三角形：在 Rt ABC 中， C=90 ， A=30 ，則2 ，

11、三邊之比為1: 3 :2。含 45角的直角三角形：，A=45 ，則 B=45，AC=BC, 三邊之比為 1:1: 2 。3. 直角三角形中有斜邊高線：在 Rt ABC 中， C=90 ， CD AB ，則 1=B，2=A。 Rt ACD Rt CBD Rt ABC 。由相似得對應邊成比例，可得到：2CD 2 AD DB;2AC 2 AD AB;2BC 2 BD AB.由面積公式，得 AC BC CD AB典型例題】例 1. 在 RtABC 中， C 90，解直角三角形： （ 1 ） a 8， b 6（ 2） c 16， A32A. 15B. 1C.1D.1515434（ 2）如圖，在Rt AB

12、C 中， C=90 ，AC=6 ，sinB 2 ，那么 AB 的長是3A. 4B. 9C.35D. 2 5（ 3）在 ABC中， B=45 ， A=105， AC=6 ，則 AB 的長是（ ）A. 3 6B. 3 2C.22D. 6 2例 2. （1）在 Rt ABC 中， C=90， a=1， c=4，則 sinA 的值是（ ）C A例 3. 如圖，在 ABC 中， cosA 23,tanB 23 ,AC 2 3 ，求 AB 的長。注意： 特殊角，銳角三角函數(shù)值要放在 Rt 中應用； 求一條線段的長，也可以根據(jù)需要分段求和。例 4. 梯形 ABCD 中， AB/CD ， AB 11,CD 1

13、3 2 3, C 60 , D 45 。求這個梯形的周長和面積。注： 等腰三角形， 平行四邊形， 菱形等的求解問題也可通過作高線等方法使其轉(zhuǎn)化到直角三角形中去求解。 )例 5. 如圖， 在 Rt ABC 中， 點，折痕為 BE，求 CE 的長。B=90 ，A=30，AC=3，將 BC 向 BA 方向折過去，使點 C 落在 BA 上的 C32【模擬試題】（一）基礎訓練 選擇題1. Rt ABC 中， C 90，cosA3，5，a 2 ，則 b c (A. 4B. 8 C. 1 D. 62. Rt ABC 中， C=90， cosB 4 ，則 AC ： BC ：AB= （）5A. 3:4:5B.

14、4:3:5 C. 3:5:4D. 5:3:43. 如圖，某河堤橫斷面為梯形， 上底為 4m，堤高為 6m，坡AD 的坡度為 1：3， 斜坡 CB 的坡度為 1： 1，則河堤橫斷面的面積為（）i=1:32A. 48m2B. 96m2C. 84m2D. 192m4. 在ABC 中，C=90，若 tanA3，那么cosB 的值等于（）4A.3B. 4C.3D. 443555. 如圖， ABC 中，ACB=90 ，CD AB 于 D，若 BD ：AD=1 ：4，則atn BCD )A. 1B. 1436. 如圖，在等腰Rt ABC 中， C=90則 AD 的長為（）C. 1 D. 2 2，AC=6 ，

15、D 是 AC 上一點，A且 tan DBA 15A. 2 B. 2C. 1 D. 2 2二)填空題。1. 在 Rt ABC2. 在 Rt ABC中，中， C 90， C 90，3a3b，則 Ac 10， A 45，則 a， sinA 3. 如果等腰三角形的頂角為 120，腰長為 6cm，這個三角形的面積為 。4. 如圖 RtABC 中，C 90，D 為 BC 上一點，DAC30，BD2，AB 2 3 ， 則 AC 。（三）能力拓展1. 如圖， ABC 中， B60， C45， AB 2 3 ，求 AC 的長。ABC2. 如圖中，在 Rt ABC 中， ACB=90 ， CD AB 于 D， A

16、C 2 2,AB 2 3， 設 BCD= ，求 cos 。A30CDB B 3. 如圖， ABC 中， C=90， D 是 BC 邊上一點，且 AD=DB=5 ， CD=3 ，求 CAB 的正切。4. 如圖，四邊形 ABCD 中，AB6,BC 5 3,CD 6, ABC 135 , BCD 120 ，求AD 的長和 S四邊形ABCD 。解直角三角形及其應用知識要點知識點 1 船有觸礁的危險嗎知識點 2 測量物體的高度10常見的圖形與關系式如下表所示：圖形關系式BD CE,AC BCtan ， AE AC CEBD BC DC AC 11( ) AG tan tanAC CG AC BEBC D

17、C BDAD (tan tan )圖形關系式BC BD DC AD ( 1 1 )tan tanAB DE AE tan , CD CE DE AE(tan tan )BC BE EF CFBE AD CF 11AD h( ta1nta1n )典型例題】例 1. 如圖所示，在海邊有兩個觀測點 B 和 C ，它們相距 12 千米，在 B 處測得船 A 在北偏東 45方向，在 C處測得船 A 在北偏西 30方向，求此時船 A 到岸邊 BC 的距離。（精確到 0.1 千米， 3 1.73）分析：求船A到岸邊 BC的距離，可過 A作AD BC于D，實際上就是求 AC 的長， 可按類型 1 的關系式求解

18、。例 2. 某水庫大壩的橫斷面是梯形，壩頂寬 AD=2.5 米，壩高 4 米，背水坡的坡度是 1： 1，迎水坡的坡度是 1：分析： 坡度即坡角的正切值，所以 tanB,tanC 可知，分別過 A，D 向壩底引垂 線把梯形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形和一個矩形求解。例 3. 如圖所示，湖泊的中央有一個建筑物 AB ，某人在地面 C 處測得其頂部 A 的仰角為 60，從 C 走到點 D ，DC=100 米。求建筑物 AB 的高。（精確到 0.01， 3 1.732 ） 抓住所求的 AB 為兩直角三角形的公共邊這一主要特征，利用類型 AB x ，列方程求解。1 的關系11例 4. 如圖，某幢大樓頂部有一塊廣

19、告牌 CD ，甲、乙兩人分別在相距 8米的 A，B兩處測得 D點和 C 點的仰角 分別為 45 和 60 ，且 A，B，E 三點在一條直線上 . 若 BE 15米，求這塊廣告牌的高度 . （取 3 1.73 ，計 算結果保留整數(shù)）例 5. 如圖所示， 某同學站在自家的樓頂 A 處估測一底部不能直接到達的寶塔的高度 （樓底與塔底在同一水平線 上），他在 A 處測得寶塔底部的俯角為 30，測得寶塔頂部的仰角為 45，測得點 A 到地面的距離為 18 米，請 你根據(jù)測得的數(shù)據(jù)求出寶塔的高?！灸M試題】一、解直角三角形的應用（一）耐心填一填，一錘定音！1. 菱形的較長對角線與邊長之比為3:1 ，那么菱

20、形的兩鄰角分別是.2. 一輪船以每小時 20 海里的速度沿正東方向航行，上午 8 時，該船在 A 地測得某燈塔位于它 的北偏東 30的 B 處（如圖） . 上午 9時行至 C 處，測得該燈塔恰好在它的正北方向，此時它與 燈塔的距離是 海里（結果保留根號） .3. 如圖所示，機器人從 A點出發(fā)，沿著西南方向，行了 4 2個單位到達 B 點后，觀察到原點 它的南偏東 60的方向上，則 A 點的坐標為 （結果保留根號） .O在（二）精心選一選，慧眼識金！4. 如圖，沿 AC 方向開山修路，為了加快施工進度，要在小山的另一邊同時施 工，從 AC 上的一點 B，取 ABD145，BD500 米，D55.

21、 要使 A，C， E 成一直線，那么開挖點 E 離點 D 的距離是（ ）A. 500sin55 米 B. 500cos55米 C. 500tan55米D. 500 米cos555. 兩座燈塔 A 和 B 與海洋觀測站的距離相等， 燈塔 A 在觀測站的北偏東 40，燈塔 B 在觀測站的南偏東 60， 那么燈塔 A 在燈塔 B的（ ）A. 北偏東 10B. 南偏東 10C. 北偏西 10D. 南偏西 20126. 如圖，為了測量河兩岸 A，B 兩點間的距離，在與 AB 垂直的方向上取點 C， ACB，則 AB 的長為（aD.tan B處，看到有一燈塔在它的南偏東 60距離為 72 海里的 A 處，

22、上午 10 時到達 C 處，看到燈塔在它的正南方向，則這艘船航行的速度為（A. asinB. acosC. atan7. 一船向東航行， 上午 8 時到達A. 18 海里 /時B. 183 海里 /時C. 36 海里 /時）D. 363 海里 /時（三）用心做一做，馬到成功！8. 如圖，一艘漁船在 A 處觀測到東北方向有一小島 C，已知小島 C 周圍 4. 8 海里范圍內(nèi)是 水產(chǎn)養(yǎng)殖場 . 漁船沿北偏東 30方向航行 10海里到達 B 處，在B 處測得小島 C在北偏東 60 方向，這時漁船改變航線向正東（即BD ）方向航行，這艘漁船是否有進入養(yǎng)殖場的危險？、測量物體的高度一）耐心填一填，一錘定

23、音！1. 小明放一個線長為 120 米的風箏，風箏線與水平地面構成 30角，則他的風箏有2. 若平行四邊形的兩鄰邊夾角為60 ，高為 2 3 米，周長為 20 米，則兩鄰邊長分別為.3. 如圖，在高出海平面 200m 的燈塔 AD 的頂端，測得位于正西與正東方向的兩艘船的俯 角分別是 45和 30，那么這兩艘船的距離是.米高.（二）精心選一選，慧眼識金！4. 如圖，一人乘雪橇沿 30的斜坡滑下，滑下的距離 s （米）與時間 t2的關系為 s 10t +2t 2 ，若滑到坡底的時間為 4 秒，則此人下降的高度為（ A. 72m B. 36 3 m C. 36mD. 18 3 m5. 如圖，梯形A

24、BCD中， AB / CD ，且C 90 ，AD b，DC a， 則 x 為（）AB x ，A. a bcos B. a bcos C. a bsin D. a bsin6. 如圖，兩建筑物的水平距離為 a 米，從 A 測得 D 點的俯角為 ，測得 C 點的俯角為 ，則 較低建筑物 CD 的高為（）A. a 米 B. atan 米 C. atan 米 D. a（tan tan ） 米三）用心做一做，馬到成功！7. 為了測量某段河面的寬度，秋實同學設計了如圖 5 所示的測量方案：先在河的北岸選定一點 A ，再在河的南岸 選定相距 a米的兩點 B，C ，分別測得 ABC，ACB，請你根據(jù)秋實同學測

25、得的數(shù)據(jù)， 計算出河寬 AD.（結果用含 a 和含 ， 的三角函數(shù)表示）13復習解直角三角形一）熟練掌握直角三角形的邊角關系如圖， Rt ABC 中，C=90， A，B，C 的對邊分別為 a，b，c（ 1）三邊之間的關系：a2 b2 c2 （勾股定理）（ 2）銳角之間的關系： A+ B=90 （ 3）邊角之間的關系：sinA a , cosAb,tanAa，ccb所以，只要知道其中的2 個元素（至少有一個是邊），就可以求出其余三個未知元素。解直角三角形的基本類型題解法如下表所示：類型已知條件解法兩邊兩直角邊 a， bc a2 b2 ,tanA a,B 90 A b一直角邊 a，斜邊 c2 2

26、ab c2 a2 ,sinA,B 90 Ac一邊、一銳 角一直角邊 a，銳角 A斜邊 c，銳角 AB 90 A,a c sinA,b c cosA（二）弄清解直角三角形的涵義 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的過程，叫做解直角三角形。1. 隱含條件是直角，這是前提條件，也是已知條件。2. 已知條件：必有兩個，且必有一邊才能解直角三角形。因為邊角的組合有邊邊、邊角、角角，但角角不能確 定三角形的大小，更無法求其邊長，所以不能解三角形。3. 所求的未知元素：共三個，上述的兩種情況：（1）中所求元素為兩邊和另一銳角（2）中所求元素為第三邊和兩個銳角（三）善于找到解題的基本思路1.

27、由于本章數(shù)形結合緊密，故求解時要根據(jù)已知條件畫出圖形，以幫助分析題意。2. 對于已知一邊和一角的，其難點在求邊，其基本思路為：（1）用所求的邊與已知邊相比（2）選定已知角所該用的函數(shù)值，構成等式（3）將等式變形，查表計算 已知兩邊的，其難點在求角，思路是： （1）用兩條已知邊相比 （2）選定一個所求的銳角（3）確定該角所用的函數(shù)值，構成等式（ 4）由比值求角度3. 有時題目中沒直接的直角三角形可用，這時需利用圖形的一些性質(zhì)（如等腰三角形的三線合一）或通過作輔 助線來構造直角三角形求解，作輔助線的方法有：（ 1）作垂線構成直角三角形（ 2）作三角形的高（ 3）連結或平移某些線段構成直角三角形 （

28、四）掌握解直角三角形的技巧與策略有斜用弦，無斜用切；寧乘勿除，取原避中；數(shù)簡用勾，數(shù)繁用函。五）實際應用掌握方位角，仰角、俯角、坡角、坡度等概念，理解觸礁等問題的意義。14典型例題】一）銳角三角函數(shù)的定義例 1、在ABC 中， C=90，BC=5，AB=13 ，則 sinA 的值是（ ）5 A.1312512B. C. D.13125例 2、在 RtABC中，如果各邊長度都擴大為原來的2倍，則銳角 A 的正切值（ ）A. 擴大 2 倍 B. 縮小 2 倍 C. 擴大 4 倍 D. 沒有變化二）銳角三角函數(shù)之間的關系例 3、在 RtABC中， C=90，則下列關系中不一定成立的是（）A. sin

29、A cosBB. cosA sinBC. sinA sinBD. tanA tanB 1三）特殊角的三角函數(shù)值例 4、 (tan30 1)2 ( )3A. 13B. 3 1C. 3 1 D. 3 3四）銳角三角函數(shù)的增減性1例 5、 如果 A 為銳角，且 cosA ，那么（ ）4A. 0 A 30B. 30 A 45C. 45 A 60D. 60 A 90五）解直角三角形例6、如圖，在 ABC 中， C=90， B=30，AD 是BAC 的平分線 .已知 AB= 4 3 ，那么 AD=（六）解直角三角形的應用例 7、 如圖，一輪船原在 A 處，它的北偏東 45方向上有一燈塔 P，輪船沿著北 偏

30、西 30方向航行 4 小時到達 B 處. 這時燈塔 P 正好在輪船的正東方向上，已知輪 船的航速為 25海里/小時，求輪船在 B 處與燈塔 P的距離（結果可保留根號） . 分析： 本題與實際生活聯(lián)系起來，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活的應用性 . 題中無直角三 角形，作輔助線，構造直角三角形是解決本題的關鍵 .15（七）解直角三角形的綜合題例 8、 已知：如圖，在 ABC 中， D 是 AB 邊上的一點， A ACD ，BD AD ，（ 1 ）若 A B 30 ， BD 3 ，求 CB 的長；（2）過D作 CDB的平分線 DF交CB于F ，若線段 AC沿著 AB方向平移，當點 段 AC 的中點 E 能否移到線段 DF 上，并說明理由 .A移到點 D 時，判斷線【模擬試題】一、填空題31. 已知角 為銳角，且 sin ，則 cos .52. 在 ABC 中，若 AC= 2 ， BC= 7 ， AB=3，則 cosA.13. 已知 A 是銳角，且 sinA= ，則 cos（ 90 A） .34. 已知 36 ，若 是 的余角，則 = 度， sin =（結果保留四個有效數(shù)字） .5. 如圖，河對岸有古塔 AB，小敏在 C 處測得塔頂 A 的仰角為