有限元f復習資料1講解

1、一、簡述兩種平面問題及其基本方程。 （10 分） 彈性體在滿足一定條件時，其變形和應力的分布規(guī)律可以用在某一平面內(nèi)的 變形和應力的分布規(guī)律來代替，這類問題稱為平面問題。平面問題分為平面應力 問題和平面應變問題。1）.平面應力問題 設有張很薄的等厚薄板，只在板邊上受到平行于板面并且不沿厚度變化的面 力，體力也平行于板面且不沿厚度變化。設板的厚度為 t ,在板面上：由于平板很薄，外力不沿厚度變化，因此在整塊板上有： z 0 ，zx 0 ， zy 0剩下平行于 XY 面的三個應力分量 x 、 y、 xy 未知2）.平面應變問題 設有很長的柱體，支承情況不沿長度變化，在柱面上受到平行于橫截面而 且不沿

2、長度變化的面力，體力也如此分布。以柱體的任一截面為 XY 平面，任一縱線為 Z 軸，假定該柱體無限長，則 任一截面都可以看作對稱面，由對稱性： zx 0， zy 0 ， w 0未知量為平行于 Z平面的三個應力分量 x、 y、 xy ，物體在 Z方向處于自 平衡狀態(tài)。平面問題的基本方程為：平衡方程xyxxyxX0xyyxyY0幾何方程yxuxxvyy uv xyyx物理方程 （彈性力學平面問題的物理方程由廣義虎克定律得到）a、 平面應力問題的物理方程第 1 頁 共 21 頁xy2(1 ) xy E xyz0平面應力問題有b 平面應變問題的物理方程121y平面應變問題有12xy 2(1 )xy E

3、z0xyxyE2在平面應力問題的物理方程中，將E 替換為 1 、 替換為 1 ，可以得到平面應E(1 2 )2變問題的物理方程；在平面應變問題的物理方程中，將E 替換為 (1 ) 、 替換為1 ，可以得到平面應力問題的物理方程。二、簡述有限元中非線性的問題 。(10 分) 通常把結構非線性問題分為三大類：幾何非線性和材料非線性和狀態(tài)非線性。這主要包括 三個方面： 一、 是在大位移問題中，盡管位移很大，結構的應變?nèi)匀徊淮?，屬于大位移小應?問題，材料的應力 -應變關系仍是線性的，只是應變 - 位移關系是非線性的。物體經(jīng)歷大的剛體 位移和轉(zhuǎn)動，固連于物體坐標系中的應變分量仍假設為小量。二、 是非線

4、性效應由應變應力關系的非線性所引起，位移分量仍假設為小量，應力-應變關系是非線性的，即材料非線性問題；最一般的情況是位移、轉(zhuǎn)動和應變都不再是小量，不但位移-應變是非線性的，而且應力 -應變關系也是非線性的，即雙重非線性問題。對于結構的幾何非線性和材料非線性分析，可以 歸結為外力與內(nèi)力的平衡方程，它是關于節(jié)點位移的非線性方程；非線性的穩(wěn)態(tài)與瞬態(tài)溫度場 計算歸結為熱流平衡方程，它是關于節(jié)點溫度的非線性方程；因此非線性分析的有限元計算最 終歸結為非線性方程求解。非線性分析簡而言之就是：將系統(tǒng)的平衡方程式根據(jù)系統(tǒng)的非線性 特性不斷地進行修正，然后求平衡方程的增量解如果是幾何非線性，則在新的一步增量求解

5、之第 2 頁 共 21 頁前，坐標系進行修正，然后去求解方程，并計算幾何非線性對剛度陣和載荷陣的修正。若為材料非線性，則是將等效剛度陣和載荷陣不斷地進行修正，然后進行求解。、闡述動力學有限元方程 。（10 分）M u Cu K u R(t)其中， M 結構的總質(zhì)量矩陣；C 為阻尼矩陣； K 結構的總剛度矩陣； u 結構的位移向量；10 分）R（t ） 強迫力列陣。四、簡述彈性薄板理論的基本假設和基本方程有限單元法第 114-118 頁 五、就 1D 桿單元 （30 分）節(jié)點位移 1 2 （局部坐標下）節(jié)點位移 q u1 v1 u2 v2 （整體坐標下）q 來表示。（1） 寫出 和q 之間的關系

6、（ 2） 將該單元的位移場、應力場、應變場用整體坐標系下的節(jié)點位移（ 3） 推導出基于整體坐標下的剛度矩陣。答：（ 1）如圖所示：0 cosr第 3 頁 共 21 頁Tqcosr sinr 0 0T其中（2）0 0 cosr sinr在局部坐標下，設位移場模式（有兩個節(jié)點）為：u x a0 a1x （ a0 ， a1 待定）u xa0 a1 0 1由邊界位移知 x 0 0 1 1u x x l a0 a1 l 221 a1 解之，知： a01， 1 lu x 1 2 1 x 1 x 1 x 21l l 1 l 2 N xx 其中N x1 lx ,lxdu xdx1l1l12其中1lxEElE

7、EBl在整體坐標系下有第 4 頁 共 21 頁u x N x N x Tqx cosrlx0sinr00v1sin ru2 v20 cosru1lx sinrx cosrlu1x sinrlx B BTqu11 cosr sin rl 0 00cosr0sin rv1u2Esinlu1Ecosr lEsinr lEcosr l12 qT Kq p13）系統(tǒng)的勢能為：cosr1lu1 v1 u2 v2lEsinrlcosrsinr cosr sinru1 v120Ecosr lllllu2 vEsinrl2x Adx p1 1 p2 2Ep2 2Adx p1 p2 12其中，K 為剛度矩陣第 5

8、 頁 共 21 頁cosr l Esinr l Ecosrl Esinrlcosrcolsrsinrcosr sinrllAdxEAlcos2 cos sin cos2 cos sincos sin2sincos sin2sincos2 cos sin cos2 cos sincos sin2sincos sin2sin六、如圖所示為一對稱均質(zhì)薄板，兩邊分別為邊長1m 的等邊三角形，厚度 t=1cm, 在對稱中心處受垂直壓力 q=105 N,材料彈性模量為 E,泊松比1/ 3 ，不計自重，試用有限元法求其應力分量 （40 分 ） 。q由于此結構長、寬遠大于厚度，而載荷作用于板平面內(nèi)，且沿板厚均

9、勻分布，故可按平面應力問題處理，考慮到結構和載荷的對稱性，可取結構的 1/2 來研究第 6 頁 共 21 頁劃分網(wǎng)格該 1/2 結構被離散為一個三角形 單元，節(jié)點編號，單元劃分及 取坐標如圖 2 所示，其各節(jié)點 的坐標值見表 1。 求單元的剛度矩陣 計算單元的節(jié)點坐標差 及單元面積單元（ i 、 j 、m 1，2，3）節(jié)點坐標123x00y032121表 1b1 y2 y3 12b2y3 y1 1b3 y11 y2 2c1 x2 x3 2c2 x3 x1 0c3 x1 x2A34先計算用到的常數(shù)1123Et4(1 2 )A0.09E83E2(19E2)A 4 3K110.09E11 8 361

10、K12 0.09E830.09E830200K 220.09E16130.09E26238331666所以剛度矩陣為130.09E26K33833566第 7 頁 共 21 頁K11K12K13K21K22K23K31K32K33K660.09E83引入約束條件，修改剛度方程并求解根據(jù)約束條件： u1 =v1=u3=0 和等效節(jié)點力列陣： F 0剛度方程： K F ，劃去 K 中與 0 位移相對應的 1， 和列，則剛度方程變?yōu)?，5 的行0.09E831316u20v2q2v30，并代入求解上面方程組可得出節(jié)點位移為2 v2 v30.06E所以 q/E 0 0 1060q3 3q30.02E0

11、.03E300 3100 3計算單元應力矩陣，求出單元應力 先求出單元的應力矩陣 S ，然后再求得單元的應力分量：第 8 頁 共 21 頁S 9E432163663216七、推導桿單元的形狀函數(shù)、幾何矩陣、解：如圖所示的桿單元e已知其彈性模量 Ee ，面積設有兩個端點，其端點位移1216363632160100q6Eq300 32E0q100 33E05.7710MPa應力矩陣、及剛度矩陣eeA ，桿長為 lq 1 2 ，節(jié)點力 pep1 p2 T由于兩個節(jié)點，故設其位移場 u (x) a0 a1 x, a0, a1待定由于位移邊界條件知ue(x)x 0 a0 a1 0 1x0ue(x)x l

12、ea0 a1l 1解之知 a0 1,a12 1 /l e所以：ue(x) 1212 1 x le x x1 xe 1 xe 21 le 1 le 2lNe(x) qeNe(x) 所以，其形態(tài)函數(shù)矩陣1 lxe lxe第 9 頁 共 21 頁1 1 e e l e 1le 2 B (x)qe due(x)x又因x dxBe1所以幾何矩陣 l1lEelEelqe Se(x)qe所以其應力矩陣Se(x)El單元的勢能 為：12121qK2e xe xed e0eqeTBeT EeeT e ep1 1 p2 2e e e eT e B q Adx p qeT e q p q其剛度矩陣 K e 為：eK

13、 e BeTEeBeAedx01eeleee1101EeAelel1ele11EAe l e 1 l e2 l 1EeAe 1l e 1八、 如圖所示為一厚度 t=1cm 的均質(zhì)正方形薄板，上下受三角形分布的拉力q 106N /m（或均布載荷 ），材料彈性模量為 E，泊松比1/ 3 ，不記自重，試 用有限元法求其應力分量；第 10 頁 共 21 頁來研究。劃分網(wǎng)格該 1/4 結構被離散為兩個三角形 單元，節(jié)點編號，單元劃分及 取坐標如圖 2 所示，其各節(jié)點 的坐標值見表 1。 求單元的剛度矩陣 計算單元的節(jié)點坐標差 及單元面積 單元（ i 、j 、m 1，2，3） b1 y2 y3 1 b2

14、y3 y1 1節(jié)點坐標1234x0110y0011表 1b3 y1 y2 0c1x2x30c2x3x11 c3x1x2 1A 1 b2c3 b3c2 1 1 1 0 1 12 2 3 3 2 2 2 先計算用到的常數(shù)1 1 Et 0.09E E 9E2 3 4(1 2 )A 16 2(1 2)A 8 單元 1 的剛度矩陣為：第 11 頁 共 21 頁K110.09E161 1 11 1 0 0 1 0 0 13 3 31 1 10.09E16K120.09E160.09E16313 K22 0;40.09E 316 232343230.09E16113 K331;0.09E 116 30所以單

15、元 1 的剛度矩陣為 :K111K121 K13 1K 166K211 K221 K23 10.09EK311 K32 1 K33 1 160111333對稱3234130131同理單元 21110103311110333342113333對41133稱10310.09E16的剛度矩陣為：集整按剛度集成法可得整體剛度矩陣為：第 12 頁 共 21 頁0 1 1 0 0 0 1 1K 11 1 2K 8 8K 21 1K 31 1 2K 41 2K 22K 32經(jīng)計算K11K330.03E 316 0K211 K43 2 K12 1T1 K 33 1 2K 43 2 K 44 2K31 K13

16、K13010.03E 3 116 1 10.03E 0 116 1 0K32 1 K14 2 K23 1T 0.03E 116 1K33 1 K11 20.03E 116 003K13 2T 0.1063E 01K412 K231K14 2T 0.1063E 11 13u4=0 和等效節(jié)點力列陣：整體剛度矩陣為：404對314稱112402114201304110031413001124引入約束，修改剛度方程并求解根據(jù)約束條件： u1 =v1=0； v2=0；K 88 0.1063EF 0 0 0 0 0 q/6 0 q / 3 T ，并代入剛度方程： K F ，劃第 13 頁 共 21 頁去

17、K中與 0位移相對應的 1，2，4，7的行和列，則剛度方程變?yōu)椋?u200.03E14u3016104v3q/60 1 1 4v4q/3求解上面方程組可得出節(jié)點位移為：u2 u3 v3 v4 T400q / 27E 500q/ 27E 1100q / 27 E 1600q / 27E T所以q/E 0 0 400/ 27 0 500 / 27 1100/ 27 0 1600/27T計算各單元應力矩陣，求出各單元應力先求出各單元的應力矩陣030310101.39400q / 27E10130340.2800111101.39500q / 27 E1100q/27EMPa S1、 S2 ，然后再求

18、得各單元的應力分量：1 S 1 1 3E8303101500q / 27E1100 q / 27 E1.393E010130359.7281600 q / 27 E01111006.9402 S 2 2MPa2Tv11 v2九、就 2D 純彎梁單元，節(jié)點位移局部），節(jié)點位移q u1 v1 1 u2 v2 2 （整體），寫出 和 q 之間的轉(zhuǎn)換關系第 14 頁 共 21 頁解：由圖可知v1 v1cos u1sin1111v2 v1 cos u2 sin22sin000cos000010000sin000 cos0u1 0 0 0 1v11u2v2Tqv1u1 cos v1 sin11v2u2 s

19、in v2 cos22 Tq其中， Tsin000cos000010000sin000cos00001十、簡述有限元分析的基本步驟和相對應的基本表達式解：（1）物體幾何離散化e ， e 為具有特征的單元。（2）單元研究， （所有力學信息均用節(jié)點位移來表達）單元節(jié)點描述 qe u1 v1 un vn 單元的位移場模式（唯一確定性原則，完備性 原則）u x a0 a1x 所有物理量表達(所有力學量都用節(jié)點位移來表達)ue N e(x,y,z)qee Be(x, y,z)qee DeBe(x,y,z)qee 1 eT e e eT eq K q p q2第 15 頁 共 21 頁其中， KBeTDe

20、Bed單元的平衡關系K eq pe(3) 裝配集成整體平衡關系Kq p其中， K Ke，qqe， ppe(4) 處理 BC 并解節(jié)點位移K3 K4 qkpu其中， qu為未知節(jié)點位移， qk 為已知節(jié)點位移， pu為未知節(jié)點力， pk為已知節(jié)點力 由上式寫成兩個方程：K1qu K2qk pk K3qu K4qk pu 直接求出未知節(jié)點位移1 qu K1 pk K2qk(5) 求支反力 在求出 qu 后，即可求出支反力 pupu K3qu K4qk1K3xK 1(pk K2qk) K4qk(6) 其它力學計算 計算單元整體的應變及應力，即：BqDBq 十一、就線性彈性平面問題，寫出一下表達式1)

21、三大類型基本方程(分量或指標形式)并指明自變量。2)兩類邊界條件(分量或指標形式)3)對離散單元，寫出用單元節(jié)點位移eeq 表示位移場 u 的表達式4)對于離散單元，寫出用單元節(jié)點位移qe 表示單元應變場e 的表達式5)對于離散單元，寫出用單元節(jié)點位移qe 表示單元應力場e 的表達式6)對于離散單元，寫出用單元節(jié)點位移qe 表示單元應變能U e 的表達式7)對于離散單元，寫出用單元節(jié)點位移qe 表示單元外力功V e 的表達式8)對于離散單元，寫出用單元節(jié)點位移qe 表示單元勢能e 的表達式9) 對于離散單元，寫出用總體節(jié)點位移q 表示單元總勢能 的表達式第 16 頁 共 21 頁（10） 對于

22、離散單元，寫出用總體節(jié)點位移q 表示的剛度矩陣解：（ 1）平衡方程x xy X 0xyxy y Yxy幾何方程物理方程vuxy其中 u， v，xyxyx，y ， xyxyxy 為自變量2）位移邊界條件uuonSuvvonSp力的邊界條件 xl xym pxxyl ym pyl,m 外法線的方向余弦（3）ue Ne（x,y） qe（4） e Be（x,y） qe（5） e DeBe（x,y）qe Se（x,y）qe（6）U e 1qeTKeqe其中 KeBeTDeBede eT e（7） vp q（8） e 1qeTKeqe peTqe21（9）eqT Kq pT q2第 17 頁 共 21 頁10 ) K q p其中 KKe,qqe, ppe有限單元法1、等截面直桿在自重作用下的有限元解答 ,要求分為三個單元 .長度 L, 截面積 A, 彈性模量為 E，單位長度的重量為 q，桿的內(nèi)力為 N。試求： 桿的位移分布，桿的應變和應力。解： 劃分為三個單元如圖所示， L1= L2 = L3= L ；1、2、3、4四個結點。 31 用單元結點位移表示單元內(nèi)部位移，第i 個單元的位移u(x) ui其中 ui 為第 du i dxui 1 uii 1