有關(guān)解析幾何的高考題

1、1.（09年湖南高考題）（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點，一個焦點是，且兩條準線間的距離為。（i）求橢圓的方程；（ii）若存在過點a（1，0）的直線，使點f關(guān)于直線的對稱點在橢圓上，求的取值范圍。解：（i）設橢圓的方程為由條件知且所以 故橢圓的方程是（ii）依題意, 直線的斜率存在且不為0,記為,則直線的方程是 設點關(guān)于直線的對稱點為則 解得因為點在橢圓上，所以即設則因為所以于是,當且僅當上述方程存在正實根,即直線存在.解得所以 即的取值范圍是2.（09年福建高考題）（本小題滿分14分）已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點a和上頂點d，橢圓的右頂點為，點是橢圓上位于軸上方的動點，直線，與直線分別交

2、于兩點。 （）求橢圓的方程； （）求線段mn的長度的最小值； （）當線段mn的長度最小時，在橢圓上是否存在這樣的點，使得的面積為？若存在，確定點的個數(shù)，若不存在，說明理由解法一：（）由已知得，橢圓的左頂點為上頂點為 故橢圓的方程為（）直線as的斜率顯然存在，且，故可設直線的方程為，從而由得0設則得，從而即又由得故又當且僅當，即時等號成立時，線段的長度取最小值（）由（）可知，當取最小值時， 此時的方程為 要使橢圓上存在點，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設直線則由解得或3.（09年江蘇高考題）（本小題滿分16分）在平面直角坐標系中，已知圓和圓xyo11.（

3、1）若直線過點，且被圓截得的弦長為，求直線的方程；（2）設p為平面上的點，滿足：存在過點p的無窮多對互相垂的直線，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長與直線被圓截得的弦長相等，試求所有滿足條件的點p的坐標.【解析】(1) 或，(2)p在以c1c2的中垂線上，且與c1、c2等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系計算可得點p坐標為或。 4.（09年安徽卷）（本小題滿分12分）已知橢圓（ab0）的離心率為，以原點為圓心。橢圓短半軸長半徑的圓與直線y=x+2相切，（）求a與b；（）設該橢圓的左，右焦點分別為和，直線過且與x軸垂直，動直線與y軸垂直，交與點p.求線段p垂直平分線與的交點m的軌跡方程，并指明曲

4、線類型?！舅悸贰浚?）由橢圓建立a、b等量關(guān)系，再根據(jù)直線與橢圓相切求出a、b.（2）依據(jù)幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程可求得，這之中的消參就很重要了?！窘馕觥浚?）由于 又 b2=2,a2=3因此，.（2）由（1）知f1，f2兩點分別為（-1，0），（1,0），由題意可設p（1，t）.（t0）.那么線段pf1中點為，設m(x、y)是所求軌跡上的任意點.由于則消去參數(shù)t得,其軌跡為拋物線（除原點）5.（09年陜西高考題）（本小題滿分14分）已知橢圓g的中心在坐標原點,長軸在軸上,離心率為,兩個焦點分別為和,橢圓g上一點到和的距離之和為12.圓:的圓心為點.(1)求橢圓g的方程(2)求的面積(3)問是否

5、存在圓包圍橢圓g?請說明理由.【解析】（1）設橢圓g的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓g的方程為：.(2 )點的坐標為 （3）若，由可知點（6，0）在圓外， 若，由可知點（-6，0）在圓外； 不論k為何值圓都不能包圍橢圓g.6.（09年湖南高考題） （本小題滿分13分） 已知橢圓c的中心在原點，焦點在軸上，以兩個焦點和短軸的兩個端點為頂點的圓邊形是一個面積為8的正方形（記為q）（1） 求橢圓c的方程（2） 設點p是橢圓c的左準線與軸的交點，過點p的直線l與橢圓c相交于m.n兩點，當線段mn的中點落在正方形q內(nèi)（包括邊界）時，求直線l的斜率的取值范圍。解 （1） 依題意，設

6、橢圓c的方程為焦距為，由題設條件知， 所以 故橢圓c的方程式為（2） 橢圓c的左準線方程為所以點p的坐標，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如圖，設點m，n的左邊分別為線段mn的中點g， 由得 由解得 因為是方程的兩根，所以，于是 =，因為0，所以點g不可能在軸的右邊，有直線,方程分別為所以點在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為既 亦即 解得，此時也成立故直線斜率的取值范圍是,)7.（09年上海高考題）已知雙曲線c的中心是原點，右焦點為f，一條漸近線m:,設過點a的直線l的方向向量。（1） 求雙曲線c的方程；（2） 若過原點的直線，且a與l的距離為，求k的值；（3） 證明：當時，在雙曲線c

7、的右支上不存在點q，使之到直線l的距離為.【解】（1）設雙曲線的方程為這種設法很新奇，要注意 ，解額雙曲線的方程為（2）直線，直線由題意，得，解得（3）【證法一】設過原點且平行于的直線則直線與的距離當時，又雙曲線的漸近線為 雙曲線的右支在直線的右下方， 雙曲線右支上的任意點到直線的距離大于。故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為【證法二】假設雙曲線右支上存在點到直線的距離為，則由（1）得設，當時，；將代入（2）得， 方程不存在正根，即假設不成立，故在雙曲線的右支上不存在點，使之到直線的距離為19. 已知焦點在x軸上的雙曲線c的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點a (0，)為圓心，

8、1為半徑的圓相切，又知c的一個焦點與a關(guān)于y = x對稱 （1）求雙曲線c的方程； （2）若q是雙曲線線c上的任一點，f1，f2為雙曲線c的左、右兩個焦點，從f1引f1qf2的平分線的垂線，垂足為n，試求點n的軌跡方程； （3）設直線y = mx + 1與雙曲線c的左支交于a、b兩點，另一直線l經(jīng)過m (2，0)及ab的中點，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍 解：設雙曲線c的漸近線為y = kx，即kx y = 0漸近線與x2 + (y )2 = 1相切，雙曲線c的漸近線為y = x，設雙曲線方程為x2 y2 = a2a (0，)關(guān)于y = x的對稱點為(，0)，由題意知，雙曲線的一個焦點為(，0)，c = 2a2 = 2，a2 = 1，雙曲線c的方程為x2 y2 = 1（2）若q在雙曲線的右支上，則延長qf2到t，使|qt| = |qf1|；若q在雙曲線的左支上，則在qf2上取一點t，使|qt| = |qf1|根據(jù)雙曲線的定義，|tf2| = 2t在以f2 (，0)為圓心，2為半徑的圓上，點t的軌跡方程是(x )2 + y2 = 4 (x0) 易知，點n是線段f1t的中點設n (x，y)