有關(guān)解析幾何的高考題

1、1.（09年湖南高考題）（本小題滿分13分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)是，且兩條準(zhǔn)線間的距離為。（i）求橢圓的方程；（ii）若存在過點(diǎn)a（1，0）的直線，使點(diǎn)f關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓上，求的取值范圍。解：（i）設(shè)橢圓的方程為由條件知且所以 故橢圓的方程是（ii）依題意, 直線的斜率存在且不為0,記為,則直線的方程是 設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為則 解得因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，所以即設(shè)則因?yàn)樗杂谑?當(dāng)且僅當(dāng)上述方程存在正實(shí)根,即直線存在.解得所以 即的取值范圍是2.（09年福建高考題）（本小題滿分14分）已知直線經(jīng)過橢圓的左頂點(diǎn)a和上頂點(diǎn)d，橢圓的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，直線，與直線分別交

2、于兩點(diǎn)。 （）求橢圓的方程； （）求線段mn的長(zhǎng)度的最小值； （）當(dāng)線段mn的長(zhǎng)度最小時(shí)，在橢圓上是否存在這樣的點(diǎn)，使得的面積為？若存在，確定點(diǎn)的個(gè)數(shù)，若不存在，說明理由解法一：（）由已知得，橢圓的左頂點(diǎn)為上頂點(diǎn)為 故橢圓的方程為（）直線as的斜率顯然存在，且，故可設(shè)直線的方程為，從而由得0設(shè)則得，從而即又由得故又當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立時(shí)，線段的長(zhǎng)度取最小值（）由（）可知，當(dāng)取最小值時(shí)， 此時(shí)的方程為 要使橢圓上存在點(diǎn)，使得的面積等于，只須到直線的距離等于，所以在平行于且與距離等于的直線上。設(shè)直線則由解得或3.（09年江蘇高考題）（本小題滿分16分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知圓和圓xyo11.（

3、1）若直線過點(diǎn)，且被圓截得的弦長(zhǎng)為，求直線的方程；（2）設(shè)p為平面上的點(diǎn)，滿足：存在過點(diǎn)p的無窮多對(duì)互相垂的直線，它們分別與圓和圓相交，且直線被圓截得的弦長(zhǎng)與直線被圓截得的弦長(zhǎng)相等，試求所有滿足條件的點(diǎn)p的坐標(biāo).【解析】(1) 或，(2)p在以c1c2的中垂線上，且與c1、c2等腰直角三角形，利用幾何關(guān)系計(jì)算可得點(diǎn)p坐標(biāo)為或。 4.（09年安徽卷）（本小題滿分12分）已知橢圓（ab0）的離心率為，以原點(diǎn)為圓心。橢圓短半軸長(zhǎng)半徑的圓與直線y=x+2相切，（）求a與b；（）設(shè)該橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為和，直線過且與x軸垂直，動(dòng)直線與y軸垂直，交與點(diǎn)p.求線段p垂直平分線與的交點(diǎn)m的軌跡方程，并指明曲

4、線類型。【思路】（1）由橢圓建立a、b等量關(guān)系，再根據(jù)直線與橢圓相切求出a、b.（2）依據(jù)幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程可求得，這之中的消參就很重要了?！窘馕觥浚?）由于 又 b2=2,a2=3因此，.（2）由（1）知f1，f2兩點(diǎn)分別為（-1，0），（1,0），由題意可設(shè)p（1，t）.（t0）.那么線段pf1中點(diǎn)為，設(shè)m(x、y)是所求軌跡上的任意點(diǎn).由于則消去參數(shù)t得,其軌跡為拋物線（除原點(diǎn)）5.（09年陜西高考題）（本小題滿分14分）已知橢圓g的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),長(zhǎng)軸在軸上,離心率為,兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,橢圓g上一點(diǎn)到和的距離之和為12.圓:的圓心為點(diǎn).(1)求橢圓g的方程(2)求的面積(3)問是否

5、存在圓包圍橢圓g?請(qǐng)說明理由.【解析】（1）設(shè)橢圓g的方程為： （）半焦距為c; 則 , 解得 , 所求橢圓g的方程為：.(2 )點(diǎn)的坐標(biāo)為 （3）若，由可知點(diǎn)（6，0）在圓外， 若，由可知點(diǎn)（-6，0）在圓外； 不論k為何值圓都不能包圍橢圓g.6.（09年湖南高考題） （本小題滿分13分） 已知橢圓c的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，以兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的兩個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)的圓邊形是一個(gè)面積為8的正方形（記為q）（1） 求橢圓c的方程（2） 設(shè)點(diǎn)p是橢圓c的左準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)，過點(diǎn)p的直線l與橢圓c相交于m.n兩點(diǎn)，當(dāng)線段mn的中點(diǎn)落在正方形q內(nèi)（包括邊界）時(shí)，求直線l的斜率的取值范圍。解 （1） 依題意，設(shè)

6、橢圓c的方程為焦距為，由題設(shè)條件知， 所以 故橢圓c的方程式為（2） 橢圓c的左準(zhǔn)線方程為所以點(diǎn)p的坐標(biāo)，顯然直線的斜率存在，所以直線的方程為。 如圖，設(shè)點(diǎn)m，n的左邊分別為線段mn的中點(diǎn)g， 由得 由解得 因?yàn)槭欠匠痰膬筛?，所以，于?=，因?yàn)?，所以點(diǎn)g不可能在軸的右邊，有直線,方程分別為所以點(diǎn)在正方形內(nèi)（包括邊界）的充要條件為既 亦即 解得，此時(shí)也成立故直線斜率的取值范圍是,)7.（09年上海高考題）已知雙曲線c的中心是原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為f，一條漸近線m:,設(shè)過點(diǎn)a的直線l的方向向量。（1） 求雙曲線c的方程；（2） 若過原點(diǎn)的直線，且a與l的距離為，求k的值；（3） 證明：當(dāng)時(shí)，在雙曲線c

7、的右支上不存在點(diǎn)q，使之到直線l的距離為.【解】（1）設(shè)雙曲線的方程為這種設(shè)法很新奇，要注意 ，解額雙曲線的方程為（2）直線，直線由題意，得，解得（3）【證法一】設(shè)過原點(diǎn)且平行于的直線則直線與的距離當(dāng)時(shí)，又雙曲線的漸近線為 雙曲線的右支在直線的右下方， 雙曲線右支上的任意點(diǎn)到直線的距離大于。故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為【證法二】假設(shè)雙曲線右支上存在點(diǎn)到直線的距離為，則由（1）得設(shè)，當(dāng)時(shí)，；將代入（2）得， 方程不存在正根，即假設(shè)不成立，故在雙曲線的右支上不存在點(diǎn)，使之到直線的距離為19. 已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線c的兩條漸近線過坐標(biāo)原點(diǎn)，且兩條漸近線與以點(diǎn)a (0，)為圓心，

8、1為半徑的圓相切，又知c的一個(gè)焦點(diǎn)與a關(guān)于y = x對(duì)稱 （1）求雙曲線c的方程； （2）若q是雙曲線線c上的任一點(diǎn)，f1，f2為雙曲線c的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，從f1引f1qf2的平分線的垂線，垂足為n，試求點(diǎn)n的軌跡方程； （3）設(shè)直線y = mx + 1與雙曲線c的左支交于a、b兩點(diǎn)，另一直線l經(jīng)過m (2，0)及ab的中點(diǎn)，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍 解：設(shè)雙曲線c的漸近線為y = kx，即kx y = 0漸近線與x2 + (y )2 = 1相切，雙曲線c的漸近線為y = x，設(shè)雙曲線方程為x2 y2 = a2a (0，)關(guān)于y = x的對(duì)稱點(diǎn)為(，0)，由題意知，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(，0)，c = 2a2 = 2，a2 = 1，雙曲線c的方程為x2 y2 = 1（2）若q在雙曲線的右支上，則延長(zhǎng)qf2到t，使|qt| = |qf1|；若q在雙曲線的左支上，則在qf2上取一點(diǎn)t，使|qt| = |qf1|根據(jù)雙曲線的定義，|tf2| = 2t在以f2 (，0)為圓心，2為半徑的圓上，點(diǎn)t的軌跡方程是(x )2 + y2 = 4 (x0) 易知，點(diǎn)n是線段f1t的中點(diǎn)設(shè)n (x，y)