首屆全國中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競賽競賽大綱和樣題－初中數(shù)學(xué)

1、 （初中數(shù)學(xué)部分）第一部分 解題技能競賽大綱第二部分 解題技能競賽試題樣題第三部分 數(shù)學(xué)建模論文示范論文首屆全國中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競賽數(shù)學(xué)學(xué)科筆試部分競賽大綱（2008年試驗稿） 為了提高廣大青少年走進(jìn)科學(xué)、熱愛科學(xué)的興趣，培養(yǎng)和發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新型人才，團(tuán)中央中國青少年發(fā)展服務(wù)中心、全國“青少年走進(jìn)科學(xué)世界”科普活動指導(dǎo)委員會辦公室共同舉辦首屆“全國中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競賽”（以下簡稱“競賽”）。競賽由北京師范大學(xué)高中數(shù)理化雜志社承辦。為保證競賽活動公平、公正、有序地進(jìn)行，現(xiàn)將數(shù)學(xué)學(xué)科筆試部分競賽大綱頒布如下：1命題指導(dǎo)思想和要求根據(jù)教育部全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的

2、要求，著重考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識、基本能力、科學(xué)素養(yǎng)和運用所學(xué)知識分析問題、解決問題力及創(chuàng)新能力。命題吸收各地高考和中考的成功經(jīng)驗，以能力測試為主導(dǎo)，體現(xiàn)新課程標(biāo)準(zhǔn)對能力的要求，注意數(shù)學(xué)知識中蘊涵的豐富的思維素材，強(qiáng)調(diào)知識點間的內(nèi)在聯(lián)系；注重考查數(shù)學(xué)的通法通則，注重考查數(shù)學(xué)思想和方法。激發(fā)學(xué)生學(xué)科學(xué)的興趣，培養(yǎng)實事求是的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新能力，促進(jìn)新課程標(biāo)準(zhǔn)提出的“知識與技能”、“過程與方法”、“情感與價值觀”三維目標(biāo)的落實?？傮w難度把握上，要追求“源于教材，高于教材，略高于高考”的原則。并提出以下三個層面上的命題要求：1）從宏觀上看：注意對知識點和能力點的全面考查，注意對數(shù)學(xué)基本能力（空間想象、抽象

3、概括、推理論證、運算求解、數(shù)據(jù)處理等基本能力）的考查，注意對數(shù)學(xué)思想和方法方面的考查，注意考查通則通法。2）從中觀上看：注意各個主要知識塊的重點考查，注意對主要數(shù)學(xué)思維方法的考查。3）從微觀上看：注意每個題目的基礎(chǔ)性（知識點）、技能性（能力點）、能力性（五大基本能力為主）和思想性（四種思想為主），注意考查大的知識塊中的重點內(nèi)容（如：代數(shù)中的函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性），注意從各個知識點之間的交匯命題，注意每個題目的通則通法使用的同時也適度引進(jìn)必要的特技，注意題目編擬中一些題目的結(jié)構(gòu)特征對思路形成的影響。2命題范圍依據(jù)教育部全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，初賽

4、和決賽所考查的知識點范圍，不超出相關(guān)年級在相應(yīng)的時間段內(nèi)的普遍教學(xué)進(jìn)度。另外要明確初二年級以上開始，每個年級的命題范圍包含下年級的所有的內(nèi)容。比如：高一的命題范圍包括初中所有內(nèi)容和高中階段所學(xué)的內(nèi)容。3考試形式 初一、初二、初三、高一、高二組：閉卷，筆答?？荚嚂r間為120分鐘，試卷滿分為120分。4試卷結(jié)構(gòu)全卷選擇題6題，非選擇題9題（填空6題、解答題3題）5難度系數(shù) 1）初賽試卷的難度系數(shù)控制在0.6左右；2）決賽試卷的難度系數(shù)控制在0.5左右。初中一年級樣題一、 選擇題（每小題5分，共30分）1、若，那么的值有( )個 【c】（a）4 （b）3 （c）2 （d）12、若表示一個整數(shù)，則整數(shù)

5、x可取值共有( ).【d】（a）3個 （b） 4個 （c） 5個 （d） 6個3、如果代數(shù)式4y22y+5的值為7，則代數(shù)式2y2y+1的值等于（ ）【a】（a）2 （b）3 （c）-2 （d）44、已知與之和的補(bǔ)角等于與之差的余角，則（）【c】（a）750（b）600（c）450（d）300abcd5、如右圖所示，在abc中，acb是鈍角，讓點c在射線bd上向右移動，則（ ）【d】（a）abc將先變成直角三角形，然后再變成銳角三角形，而不會再是鈍角三角形 （b）abc將變成銳角三角形，而不會再是鈍角三角形 （c）abc將先變成直角三角形，然后再變成銳角三角形，接著又由銳角三角形變?yōu)殁g角三角形

6、 （d）abc先由鈍角三角形變?yōu)橹苯侨切?，再變?yōu)殇J角三角形，接著又變?yōu)橹苯侨切危缓笤俅巫優(yōu)殁g角三角形6、觀察這一列數(shù)：，, , ,，依此規(guī)律下一個數(shù)是（ ）【d】（a） （b） （c） （d）二、 填空題（每小題5分，共30分）7、已知，則_ 【128】8、甲、乙兩打字員，甲每頁打500字，乙每頁打600字，已知甲每完成8頁，乙恰能完成7頁。若甲打完2頁后，乙開始打字，則當(dāng)甲、乙打的字?jǐn)?shù)相同時，乙打了頁【35】9、如果多項式3mxay與2nx4a3y是關(guān)于x、y的單項式，且他們的和是單項式，則a20041=_ 【0】10、一個蓋著瓶蓋的瓶子里面裝著一些水（如下圖所示），請你根據(jù)圖中標(biāo)明的

7、數(shù)據(jù)，計算瓶子的容積是_cm?！?0】 11、張、王、李三人預(yù)測甲、乙、丙、丁四個隊參加足球比賽的結(jié)果：王說：丁隊得冠軍，乙隊得亞軍； 李說：甲隊得亞軍，丙隊得第四；張說：丙隊得第三，丁隊得亞軍。 賽后得知，三人都只猜對了一半，則得冠軍的是_?！径　?2、如果a、b、c是非零有理數(shù)，那么的所有可能值是 【3、1、-1、-3】三、 解答題（每小題20分，共60分）13、計算【2007】14、三個互不相等的有理數(shù)，既可以表示為1，的形式，也可以表示為0，的形式，試求的值【解：由于三個互不相等的有理數(shù)，既表示為1，的形式，又可以表示為0，的形式，也就是說這兩個數(shù)組的數(shù)分別對應(yīng)相等。于是可以判定與中有

8、一個是0，中有一個是1，但若，會使無意義，只能，即，于是只能是，于是1。原式2 。】15、現(xiàn)在由五個福娃帶我們?nèi)⒂^國家體育館“鳥巢”，貴賓門票是每位30元，20人以上（含20人）的團(tuán)體票8折優(yōu)惠，我們一行共有18人（包括福娃），當(dāng)領(lǐng)隊歡歡準(zhǔn)備好零錢到售票處買18張票時，愛動腦筋的晶晶喊住了歡歡，提議買20張票，歡歡不明白，明明我們只有18人，買20張票豈不是“浪費”嗎？ （1）請你算算，晶晶的提議對不對？是不是真的“浪費”呢？ （2）當(dāng)人數(shù)少于20人時，至少要有多少人去“鳥巢”，買20張票反而合算呢？【略】16、如圖，已知l1l2，mn分別和直線l1、l2交于點a、b，me分別和直線l1、l

9、2交于點c、d點p在mn上（p點與a、b、m三點不重合）（1）如果點p在a、b兩點之間運動時，、之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由（2）如果點p在a、b兩點外側(cè)運動時，、有何數(shù)量關(guān)系？（只須寫出結(jié)論）【答案：過點p作pfac，交me于點f,則= +當(dāng)點p運動到射線an上時：= +當(dāng)點p運動到線段bm上時: = +】初中二年級樣題一、 選擇題（每小題5分，共30分）1、一個多邊形的內(nèi)角和與外角和的總和為1800，則這個多邊形的邊數(shù)是（ ）【b】（a）8 （b）10 （c）12 （d）142、若直線過第一、二、四象限，那么直線不經(jīng)過（ ）【b】（a）第一象限 （b）第二象限 （c）第三象限 （d）第四象

10、限3、如圖是33正方形方格，將其中兩個方格涂黑有若干種涂法約定沿正方形abcd的對稱軸翻折能重合的圖案或繞正方形abcd中心旋轉(zhuǎn)能重合的圖案都視為同一種圖案，例如就視為同一種圖案，則不同的涂法有 ( )【c】(a)4種 (b)6種(c)8種 (d)12種。4、在中，設(shè)所對的邊分別為,若，那么等于 ( ) 【b】 (a) (b) (c) (d) 5、如右圖，正方形abcd的邊長為8，m在dc上，且dm=2，n是ac上一動點，則dn+mn的最小為（ ）（a）8 b8 c2 d10【d 提示：d點和b點關(guān)于ac對稱】6、已知長度為l0cm的線段ab，以ab為直徑向上作半圓，記該半圓的周長為c1；將a

11、b兩等分，分別以其一半線段為直徑向上作半圓，記該兩個半圓的周長之和為c2；再將ab三等分，分別以其三分之一線段為直徑向上作半圓，記該兩個半圓的周長之和為c3；如此繼續(xù)，記k等分時各半圓周長之和為 ck，那么隨著等分?jǐn)?shù)k的增加，各半圓周長之和ck的數(shù)值 ( ) （a）越來越大 （b）越來越小 （c）不變 （d）無法判斷【c不管等分?jǐn)?shù)為多少，各個半圓的周長之和始終為5】二、 填空題（每小題5分，共30分）7、如圖1，直線上放置了一個邊長為6的等邊三角形，當(dāng)?shù)冗吶切窝刂本€翻轉(zhuǎn)一次到達(dá)圖2的位置.如果等邊三角形翻轉(zhuǎn)204次，則頂點a移動的路徑總長是_ _ (用表示)【544】8、下列4個判斷： 有

12、兩邊及第三邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等； 兩個三角形的6個邊、角元素中，有5個元素分別相等的兩個三角形全等； 有兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等； 有兩邊及第三邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等； 其中正確判斷的編號是_【】9、若a、c、d都是整數(shù)，b是正整數(shù)，且abc，bcd，cda，則abcd的最大值是_ 【5 abc，bcd，cda，由得a+c+2b=c+d=a，即c= 2b 進(jìn)而得a=3b,d=b,a+b+c+d=5b,b是正整數(shù)，最大值為5】10、現(xiàn)有長為150的鐵絲，要截成若干個小段，要求每段的長度都是不小于1的整數(shù)，如果其中任意三小段都不能組成三角形，問當(dāng)切成最多

13、段時，共有_種切法.【7提示：要盡可能多的切成段，且任意三小段都不能組成三角形，只能這樣切成10段：（1）1，1，2，3，5，8，13，21，34，557（2）1，1，2，3，5，8，13，21，35，556（3） ，36，555 （4） ，37，554（593721） (5) 13,22,35,57+3 (6),22,36,57+2（593622） (7),8,14,22,36,58】11、一批旅客決定分乘幾輛大汽車，并且要使每輛車有相同的人數(shù)。起先，每輛車乘坐22人，發(fā)現(xiàn)有一人坐不上車。若是開走一輛空車，那么所有的旅客剛好平均分乘余下的汽車。已知每輛車的載客量不能多于32人，則原有 輛汽車

14、，這批旅客有 人。【提示：設(shè)原有輛汽車，開走一輛空車后，留下的每輛車乘坐個人，顯然2，32易知旅客人數(shù)等于，當(dāng)一輛空車開走以后，所有旅客的人數(shù)可以表示為，由此列出方程 。所以 。因為為正整數(shù)數(shù)，所以必為正整數(shù)，但由于23是質(zhì)數(shù)，因數(shù)只有1和23兩個，且2，所以，或。如果，則，不滿足32的條件。如果，則，符合題意。所以旅客人數(shù)等于2323529（人）】12、|叫做二階行列式，它的算法是：，將四個數(shù)2、3、4、5排成不同的二階行列式，則不同的計算結(jié)果有個，其中，數(shù)值最大的是【6，14】三、 解答題（每小題20分，共60分）13、如圖，橫向或縱向的兩個相鄰格點的距離都是1若六邊形(可以是凸的或凹的)

15、的頂點都在格點上，且面積為6，畫出三個形狀不同的這樣的六邊形【答案：如右圖,符合條件的六邊形有許多】 14、甲、乙兩車分別從a地將一批物品運往b地，再返回a地，圖6表示兩車離a地的距離（千米）隨時間（小時）變化的圖象，已知乙車到達(dá)b地后以30千米/小時的速度返回。請根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)回答：（1）甲車出發(fā)多長時間后被乙車追上？（2）甲車與乙車在距離a地多遠(yuǎn)處迎面相遇？（3）甲車從a地返回的速度多大時，才能比乙車先回到a地？【答案：（1）由圖知，可設(shè)甲車由a地前往b地的函數(shù)解析式為將代入，解得 所以由圖可知，在距a地30千米處，乙車追上甲車，所以當(dāng)千米時，（小時）。即甲車出發(fā)1.5小時后被乙車追上（

16、2）由圖知，可設(shè)乙車由a地前往b地函數(shù)的解析式為將（1.0，0）和（1.5，30）代入，得，解得所以當(dāng)乙車到達(dá)b地時，千米。代入，得小時又設(shè)乙車由b地返回a地的函數(shù)的解析式為將（1.8，48）代入，得，解得所以當(dāng)甲車與乙車迎面相遇時，有解得小時 代入，得千米即甲車與乙車在距離a地千米處迎面相遇（3）當(dāng)乙車返回到a地時，有 解得小時甲車要比乙車先回到a地，速度應(yīng)大于（千米/小時）】15、當(dāng)x=20時，一個關(guān)于x的二次三項式的值等于694若該二次三項式的各項系數(shù)及常數(shù)項都是絕對值小于10的整數(shù)，求滿足條件的所有二次三項式【答案：將x=20代入ax2+bx+c得400a+20b+c=694，于是40

17、0a=694-(20b+c)，由-10b10，-10c10得-21020b+c210故484400a904，又a為整數(shù)，a=2將a=2代入，得20b+c=-106，于是20b=-106-c，又-10c10故-11620b20000 則y=2000020+(x一20000)30 3、如果x50000 則y=2000020%十(5000020000)30+(x一50000)40 上述表達(dá)式告訴我們，計算個人所得稅時，應(yīng)先根據(jù)m計算出x，再根據(jù)x找出相應(yīng)的z，最后將x進(jìn)行分段，再計算出應(yīng)納稅額y。 數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用： 問題1：甲演員到杭州演出一場，收入3000元，應(yīng)繳納多少個人所得稅?1、m=3000

18、元4000x=m-800=3000800=2200元2、x20000 y=20x= 220020=440元問題2：乙演員到杭州演出一場，收入100000元，應(yīng)繳納多少個人所得稅?1、m=100000元40000x=0.8m=0.8100000=80000元2、x20000 y=2000020+(50000-20000)3o+(x一50000)40 =2000020+(50000-20000)30+(8000050000) 40 =25000元 從以上這些例子我們發(fā)現(xiàn)，在超額累進(jìn)稅率f，分段計稅確實比較復(fù)雜。我們能不能找出簡單一點的計算方法呢? (二)化簡數(shù)學(xué)模型 我們將上面的分段函數(shù)進(jìn)行化簡：

19、 1、如果x20000 則y=200x，這已經(jīng)很簡單了，不需要再化簡。 2、如果50000x20000 則y=2000020+(x-20000)30=30x-2000 3、如果x50000 則y=2000020+(50000-20000)30+(x-50000)40=40x一7000 分析上述三個化簡后的式子，我們可以得出以下兩個結(jié)論： 1、應(yīng)納稅額y等于應(yīng)納稅所得額x與相應(yīng)稅率z的乘積減去一個常數(shù)。假設(shè)此常數(shù)為c，則y=xz-c。 2、可以把稅率表(表1)改寫成表2表2 演出收入個人所得稅稅率表級數(shù)x(每次應(yīng)納稅所得額)z(稅率%)c（常數(shù)）1不超過20000元（含）的部分2002超過200

20、00元至50000元（含）的部分3020003超過50000元的部分407000 上述結(jié)論告訴我們，計算個人所得稅時，應(yīng)先根據(jù)m計算出x，再根據(jù)x找出相應(yīng)的z和c，代入關(guān)系式y(tǒng)=xz-c，就可以直接得出結(jié)果了。 數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用：問題3 資料同問題1。1、m=3000元4000 x=m-800=3000-800=220元2、x20000，則z=20，c=o y=xz-c=220020-0=440元問題4 資料同問題2。1、m=100000元40000元 x=0.8m=0.8100000=80000元2、x50000,則z=40%,c=7000 y=xz-c=8000040%-7000=25000

21、元 這樣計算就簡單多了!(三)再化簡數(shù)學(xué)模型經(jīng)過化簡后，計算確實簡單了許多，但它還需要轉(zhuǎn)個彎，m的前提下，只有換算成x后才能計算稅款。能不能直接用m來：答案是肯定的。因為m與x之間存在著密切的關(guān)系。下面我佃1、當(dāng)m4000吋則x=m-800，z=20c=0，代入 y=xz-c那么，y=(m一800)20% = 0.2m-160令y=0，即0.2m-160=0,得m=800所以，m的取值范圍為：800m4000即當(dāng)800m4000時，y=0.2m-1602、當(dāng)m4000時，x=o.8m，按照x的取值范圍分三種情況(1)如果x20000，則z=20，c=o，代入y=xz-c，那么，y=20%x-0

22、=0.20.8m=0.16m令x=20000,得m=x0.8=200000.8=25000所以,m的取值范圍為4000m25000即當(dāng)4000m25000時，y=0.16m(2)如果50000x20000,則z=30%，c=2000，代入y=xz-c那么，y=30%x-2000=0.30.8m-2000=0.24m-2000=0.24m-2000令x=50000，得m=x0.8=500000.8=62500所以,m的取值范圍為：25000m62500即，當(dāng)25000m62500時，y=0.24m-200020000，得m：xo 8：200000 8：25000(3)如果x50000,則z=40

23、%,c=7000,代入y=xz-c那么，y=40%x-7000=0.40.8m-7000=0.32m-7000m的取值范圍為m625000即，當(dāng)m625000時，y=0.32m-7000通過觀察上述式子，我們可以發(fā)現(xiàn)，他們都變成了一次函數(shù):y=am-b。將上述推導(dǎo)結(jié)果整理成下表（表3）表3 演出收入個人所得稅計稅系數(shù)表級數(shù)x(每次總收入)ab1超過800元至4000元（含）的0.21602超過4000元至25000元（含）的0.1603超過25000元至62500元（含）的0.2420004超過62500元的0.327000 問題5：資料同問題1m=3000元4000，則a=0.2，b=160

24、y=am-b=0.23000160=440元問題6:資料同問題2m=100000元，m62500，則a=0.32，b=7000y=amb=0.321000007000=25000元這樣的計算就更簡單了!二、由舉辦方代付稅款的數(shù)學(xué)模型 問題2中乙到杭州演出一場，總收入為100000元，繳了25000元個人所得稅后，稅后凈收入只有75000元了。她覺得報酬太低，不合算。于是丙到演出舉辦單位簽訂協(xié)議，要求演出的稅后凈收入為100000元，即個人所得稅由演出舉辦者承擔(dān)那么，舉辦者代為繳納的個人所得稅是不是25000元呢? (一)稅法規(guī)定的數(shù)學(xué)模型 假設(shè)：稅后凈收入為n，舉辦者為演員代付款為y，演出舉辦

25、方實際支出為m，m也就是演出者的總收入。顯然m=y+n。這意味著計算代付稅款時，應(yīng)當(dāng)將舉辦者支付給演員的的稅后凈收入n(或稱不含稅支付額)換算為總收入m，按規(guī)定扣除費用后得巾應(yīng)納稅所得額x，然后按規(guī)定稅率z計算出應(yīng)代付的個人所得稅款y。 現(xiàn)在n是已知條件，我們只要建立起以n為自變量、丫為因變量的函數(shù)關(guān)系式，并且將表面化中的x換算成n，就可確定z，計算出y。 根據(jù)費用扣除規(guī)定和表面化的信息，推導(dǎo)如下：1、當(dāng)m4000時，x=m-800,將x=m-800，代入y=xz-c那么，y=（m-800）z-c =（y+n-800）z-c，經(jīng)整理可得：y= 下面確定n的取值范圍。 當(dāng)m4000時，z=20,

26、c=0 令y=0，即 =0，則n=800。 令m=4000，即y=xzc=(4000800)20-0=640元，n=my=4000640=3360元。即：與m=4000元相對應(yīng)值為3360元。 也就是說,當(dāng)3360n800時，按y= 來計算稅款。此時，z=20，c=0。2、當(dāng)m4000時，x=0.8m那以，y =xz-c=0.8mz-c=0.8(y+n)z-c經(jīng)整理可得:y=下面分別就x的三種取值范圍來確定n的對應(yīng)取值范圍。（1）當(dāng)x=20000元時，y=xz-c=2000020-0=4000元m=x0.8=200000.8=25000元 n=m-y=25000-4000=20111元。即：與x=2000元相對應(yīng)的n值為21000元。 也就是說，當(dāng)21000n3360時，按y=來計算稅款。此時，z=20%,c=0。 （2）當(dāng)x=50000元時，y=xz-c=5000030%-2000=13000元 m=x0.8=500000.8=62500元，n=m-y=62500-13000=49500元，即：與x=50000元相對應(yīng)的n值為49500元。也就